Порядковое число

В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определенной упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Множества <math>S</math> и <math>S'</math> обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию <math>f</math>, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому <math>x</math> из <math>S</math> соответствует единственное <math>y = f(x)</math> из <math>S'</math>, а каждое <math>y</math> из <math>S'</math> является образом единственного <math>x</math> из <math>S</math>).

Предположим, что на множествах <math>S</math> и <math>S'</math> заданы частичные порядки <math><</math> и <math><'</math> соответственно. Тогда частично упорядоченные множества <math>(S, <)</math> и <math>(S', <')</math> называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение <math>f</math>, при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, <math>f(a) <' f(b)</math> тогда и только тогда, когда <math>a < b</math>. Любое вполне упорядоченное множество <math>(S, <)</math> изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определенного ординала (равного порядковому типу <math>(S, <)</math>).

Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число <math>\omega</math> отождествляется с кардинальным числом <math>\aleph_0</math>. Однако в случае трансфинитных чисел, больших <math>\omega</math>, ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным <math>\aleph_0</math>, число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

<math>\omega, \omega + 1, \omega + 2, ..., \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, ..., \omega^2, \omega^3, ..., \omega^\omega, ..., \omega^{\omega^\omega}, ..., \varepsilon_0, ...</math>

В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, <math>1 + \omega</math> совпадает с <math>\omega</math>, но отличается от <math>\omega + 1</math>; аналогично <math>2 \cdot \omega = \omega</math>, но не равно <math>\omega \cdot 2</math>. Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число <math>\omega_1</math>, соответствующее кардинальному числу <math>\aleph_1</math> (следующее число после <math>\aleph_0</math>). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

Обычно произвольный ординал <math>\alpha</math> определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших <math>\alpha</math>. Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого. Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью). Для заданного класса порядковых чисел можно указать его <math>\alpha</math>-й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать). Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней <math>\omega</math>. Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например, <math>\varepsilon_0 = \omega^{\varepsilon_0}</math>. Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию. Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен <math>\omega</math>. Подмножество <math>\omega + 1</math> будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит <math>\omega</math> в качестве элемента.

Порядковые числа как расширение множества натуральных чисел

Натуральные числа (к которым в данном случае относится и 0) имеют два основных применения: описание размера некоторого множества и описание позиции элемента в заданной последовательности. В случае конечных множеств эти понятия совпадают; с точностью до изоморфизма существует единственный способ расположить элементы конечного множества в виде последовательности. В случае же бесконечных множеств необходимо отличать понятие размера и связанных с ним кардинальных чисел от понятия позиции, обобщением которого служат описанные в данной статье порядковые числа. Это объясняется тем, что бесконечное множество, обладая однозначно определенным размером (мощностью), может быть вполне упорядочено более чем одним неизоморфным способом.

В то время как понятие кардинального числа, связанного с множеством, не требует задания на нем какой-либо структуры, ординалы тесно связаны с особой разновидностью множеств, которые называются вполне упорядоченными (в сущности эти понятия настолько близки, что некоторые математики не делают между ними никаких различий). Данный термин обозначает линейно упорядоченное множество (то есть множество с некоторым единообразным способом выбора наименьшего и наибольшего значения для произвольной пары элементов), в котором нет бесконечно убывающих последовательностей (хотя могут существовать бесконечно возрастающие), или — в эквивалентной формулировке — множество, в котором любое непустое подмножество содержит наименьший элемент. Порядковые числа можно использовать как для обозначения элементов любого заданного вполне упорядоченного множества (наименьший элемент получает метку 0, следующий за ним — метку 1, следующий — 2, «и так далее»), так и для измерения «размера» всего множества путём указания наименьшего ординала, который не является меткой какого-либо элемента множества. Такой «размер» называется порядковым типом множества.

Любое порядковое число определяется множеством предшествующих ординалов: фактически наиболее распространенное определение порядкового числа отождествляет его со множеством предшествующих ординалов. Так, ординал 42 представляет собой порядковый тип множества предшествующих ординалов, то есть ординалов от 0 (наименьший ординал) до 41 (непосредственный предшественник 42), и обычно отождествляется со множеством {0, 1, 2, …, 41}. Верно и обратное: любое замкнутое вниз множество ординалов <math>S</math> — то есть такое, что для любого ординала <math>\alpha \in S</math> и произвольного ординала <math>\beta < \alpha</math> ординал <math>\beta</math> также является элементом <math>S</math> — само является ординалом (либо его можно отождествить с таковым).

До этого момента мы упоминали только конечные ординалы, совпадающие с натуральными числами. Помимо них существуют также и бесконечные ординалы: наименьшим среди них является порядковый тип натуральных чисел (конечных ординалов) <math>\omega</math>, который даже можно отождествить с самим множеством натуральных чисел (действительно: множество натуральных чисел замкнуто вниз и, как любое множество ординалов, является вполне упорядоченным, — следовательно, его можно отождествить с соответствующим порядковым числом, что в точности соответствует определению <math>\omega</math>).

Вероятно, более интуитивное представление о порядковых числах можно получить, рассмотрев несколько их первых представителей: как уже упоминалось выше, множество ординалов начинается с натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, … После всех натуральных чисел располагается первый бесконечный ординал <math>\omega</math>, за которым следуют <math>\omega+1</math>, <math>\omega+2</math>, <math>\omega+3</math>, и так далее. (Точный смысл сложения будет определен далее, поэтому считайте эту запись простым обозначением) После всех таких чисел располагаются <math>\omega \cdot 2</math> (то есть <math>\omega + \omega</math>), <math>\omega \cdot 2 + 1</math>, <math>\omega \cdot 2 + 2</math>, и так далее, затем <math>\omega \cdot 3</math>, а после него — <math>\omega \cdot 4</math>. Далее, множество ординалов, которые можно записать в виде <math>\omega \cdot m + n</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — натуральные числа, также должно обладать соответствующим порядковым числом: таким числом будет <math>\omega^2</math>. За ним последуют <math>\omega^3</math>, <math>\omega^4</math>,…, <math>\omega^\omega</math>, затем <math>\omega^{\omega^2}</math> и — намного позже — <math>\varepsilon_0</math> («эпсилон-нуль») (перечисленные примеры дают представление о сравнительно небольших счетных ординалах). Этот процесс можно продолжать неограниченно (выражение «неограниченности» — это и есть сильная сторона порядковых чисел: собственно говоря, когда мы, перечисляя порядковые числа, употребляем выражение «и так далее», мы тем самым определяем порядковое число большего размера). Наименьший несчетный ординал представляет собой множество всех счетных ординалов и обозначается <math>\omega_1</math>.

Определения

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы <math>\alpha, \beta, \dots</math> Данная статья придерживается таких обозначений.

Вполне упорядоченные множества

Подробное рассмотрение темы: Вполне упорядоченное множество

Каждое непустое подмножество вполне упорядоченного множества содержит наименьший элемент. При соблюдении аксиомы зависимого выбора это утверждение эквивалентно тому, что множество линейно упорядочено и не содержит бесконечно убывающих последовательностей — последняя формулировка, вероятно, проще поддается визуализации. На практике важность понятия вполне упорядоченности объясняется возможностью применения трансфинитной индукции, основная идея которой сводится к тому, что любое свойство, переходящее от предшественников элемента к нему самому, должно выполняться для всех элементов (входящих в заданное вполне упорядоченное множество). Если вычислительные состояния (компьютерной программы или игры) можно вполне упорядочить так, что каждый последующий шаг будет «меньше» предыдущего, то процесс вычислений гарантированно завершится.

Далее, мы не хотим различать два вполне упорядоченных множества, если они отличаются только «маркировкой своих элементов», или, говоря более формальным языком, если элементы первого множества можно так соотнести с элементам второго, что в произвольно взятой паре элементов одного множества первый меньше второго тогда и только тогда, когда то же соотношение имеет место между их соответствующими партнерам из второго множества. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом, сохраняющим порядок, а два вполне упорядоченных множества называются изоморфными с сохранением порядка, или же подобными (такое подобие очевидно является отношением эквивалентности). Если два вполне упорядоченных множества изоморфны с сохранением порядка, то соответствующий изоморфизм является единственным: это обстоятельство позволяет воспринимать упомянутые множества как практически идентичные и служит основанием для поисков «каноничного» представления типов изоморфизма (классов). Порядковые числа не только играют роль такого представления, но еще и предоставляют нам каноническую маркировку элементов любого вполне упорядоченного множества.

Иными словами, мы хотим ввести понятие ординала как класса изоморфизмов вполне упорядоченных множеств, то есть класса эквивалентности, основанного на отношении «изоморфности с сохранением порядка». При таком подходе, однако, существует одна техническая сложность: определенный таким образом класс эквивалентности оказывается слишком большим, чтобы подходить под определением множества с точки зрения стандартной формализации теории множеств по Цермело-Френкелю. Тем не менее, эта сложность не создает серьезных проблем. Ординалом мы будем называть порядковый тип произвольного множества в таком классе.

Определение порядковых чисел как классов эквивалентности

В первоначальном определении порядкового числа, которое можно встретить, к примеру, в Principia Mathematica, под порядковым типом некоторого вполне-упорядочения понимается множество всех вполне-упорядочений, подобных ему (изоморфных с сохранением порядка): иначе говоря, порядковое число действительно представляет собой класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств. В ZFC-теории и связанных с ней аксиоматических системах теории множеств такое определение неприемлемо, поскольку соответствующие классы эквивалентности слишком велики, чтобы их можно было считать множествами. Тем не менее, данное определение можно использовать в теории типов и аксиоматической теории множеств Куайна (Новые основания), а также других подобных системах (в которых оно позволяет сформулировать альтернативный и довольно неожиданный способ разрешения парадокса Бурали-Форти о наибольшем порядковом числе).

Определение порядковых чисел по фон Нейману

Вместо того, чтобы определять ординал как класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств, мы отождествим его с конкретным множеством, которое служит каноничным представлением данного класса. Таким образом, ординал будет представлять собой некоторое вполне упорядоченное множество, а любое вполне упорядоченное множество будет подобно ровно одному порядковому числу.

Стандартное определение, предложенное фон Нейманом, звучит следующим образом: любой ординал есть вполне упорядоченное множество, состоящее из всех ординалов, меньших его. В символической записи: <math>\lambda = [0, \lambda)</math>. Выражаясь более формальным языком,

Множество <math>S</math> является ординалом тогда и только тогда, когда оно строго вполне упорядочено отношением <math>\in</math> и каждый элемент S одновременно является его подмножеством.

Заметим, что в соответствии с этим определением натуральные числа являются ординалами. Так, 2 принадлежит 4 = {0, 1, 2, 3} и в то же время равно {0, 1}, то есть является подмножеством {0, 1, 2, 3}.

С помощью трансфинитной индукции можно показать, что любое вполне упорядоченное множество подобно ровно одному ординалу — иначе говоря, между ними можно установить биективное соответствие, сохраняющее порядок.

Более того, элементы любого ординала сами являются ординалами. Если <math>S</math> и <math>T</math> — произвольные ординалы, то <math>S</math> принадлежит <math>T</math> тогда и только тогда, когда <math>S</math> является собственным подмножеством <math>T</math>. Далее, для любых ординалов <math>S</math> и <math>T</math> выполняется одно из соотношений: либо <math>S \in T</math>, либо <math>T \in S</math>, либо <math>S = T</math>. Таким образом, любое множество ординалов обладает линейной упорядоченностью и, кроме того, является вполне упорядоченным. Данный результат служит обобщением вполне упорядоченности натуральных чисел.

Отсюда следует, что элементы произвольного ординала <math>S</math> в точности совпадают с ординалами, строго меньшими <math>S</math>. Каждое множество ординалов, к примеру, обладает супремумом, который представляет собой ординал, равный объединению всех порядковых чисел, содержащихся в данном множестве. В силу аксиомы объединения такой ординал существует всегда, независимо от размера исходного множества.

Класс всех порядковых чисел не является множеством. В противном случае можно было бы доказать, что такое множество само является порядковым числом и, следовательно, своим собственным элементом, что противоречит строгой <math>\in</math>-упорядоченности. Это утверждение называется парадоксом Бурали-Форти. Класс порядковых чисел обозначается различными способами: «Ord», «ON», или «∞».

Порядковое число конечно тогда и только тогда, когда оно вполне упорядочено не только естественным, но и противоположным порядком — это условие выполняется в том и только в том случае, когда каждое из его подмножеств содержит наибольший элемент.

Другие варианты определений

В современной математике существуют и другие подходы к определению порядковых чисел. Так, при выполнении аксиомы регулярности следующие утверждения относительно множества x являются эквивалентными:

• x — порядковое число,
• x — транзитивное множество с трихотомичным отношением <math>\in</math>
• x — транзитивное множество, линейно упорядоченное отношением <math>\subseteq</math>. Для множества <math>X</math> определим двуместное отношение <math>\epsilon(X)</math>, состоящее из таких пар <math><a, b> \in X^{2}</math>, что <math>a \in b</math> или <math>a = b</math>. Множество <math>X</math> называется транзитивным, если из <math>b \in X</math> следует <math>b \subseteq X</math>. Множество <math>\alpha</math> называется ординалом, если оно транзитивно и <math><\alpha, \epsilon(\alpha)></math> - вполне упорядоченное множество.
• x — транзитивное множество, элементы которого также являются транзитивными множествами.

Перечисленные определения неприменимы в теориях множеств без аксиомы фундирования. В теориях с урэлементами определения необходимо уточнить, поскольку урэлементы из числа элементов порядкового числа.

Трансфинитная последовательность

Если <math>\alpha</math> — предельный ординал, а <math>X</math> — некоторое множество, то <math>\alpha</math>-индексированной последовательностью элементов <math>X</math> называется функция из <math>\alpha</math> в <math>X</math>. Введенное таким образом определение трансфинитной последовательности или последовательности, индексированной ординалами, является обобщением понятия последовательности. Обычная последовательность соответствует случаю <math>\alpha = \omega</math>.

Свойства

• Если <math>\alpha</math> — порядковое число, то каждый элемент <math>\alpha</math> — порядковое число.
• Для любых <math>\alpha, \beta</math> выполняется ровно одно из следующих соотношений: <math>\alpha \in \beta, \alpha = \beta, \beta \in \alpha.</math>
• Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением <math>\in </math> (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением <math>\in</math>), при этом <math>\bigcap x</math> — наименьший элемент множества <math>x</math>, <math>\bigcup x</math> — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества <math>x</math>. Выражения <math>\alpha < \beta</math> и <math>\alpha \in \beta</math> для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения <math>\in.</math>
• Для любого вполне упорядоченного множества <math>x</math> существует единственное порядковое число, изоморфное <math>x</math> (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
• Любое <math>\alpha</math> совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем <math>\alpha</math>.
• Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
• Пустое множество <math>\varnothing</math> — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
• <math>\alpha</math> называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно <math>\varnothing</math>, либо существует непосредственно предшествующее ему <math>\beta;</math> другими словами, если существует <math>\beta < \alpha,</math> но между ними нельзя вставить другое порядковое число <math>\beta < \gamma < \alpha.</math> В последнем случае говорят, что <math>\alpha</math> — порядковое число, следующее за <math>\beta</math>, и пишут: <math>\alpha = \beta \dot+ 1</math> (иногда просто <math>\alpha = \beta + 1,</math> что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
• Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда <math>\varnothing</math> тоже относят к предельным порядковым числам).
• <math>\alpha \dot+ 1 = \alpha\cup\{\alpha\}.</math>
• Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:

<math>\begin{align}

&0=\varnothing;\\ &1=\{0\}=0\cup\{0\}=\{\varnothing\};\\ &2=\{0,1\}=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\};\\ &3=\{0,1,2\}=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\};\\ &\dots \end{align}</math>

• Множество всех конечных порядковых чисел обозначается <math>\omega.</math> Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является <math>\omega \dot+ 1 = \omega\cup\{\omega\}.</math>
• Условие конечности <math>\alpha</math> можно записать как <math>\alpha < \omega</math> или, что то же самое, <math>\alpha \in \omega.</math>
• Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
• Каждое множество порядковых чисел <math>A</math> ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается <math>\sup A.</math> При этом <math>A \subseteq \sup A.</math>
• Если <math>\alpha</math> — предельное порядковое число или <math>\varnothing</math>, то <math>\sup \alpha = \alpha,</math> иначе <math>\sup \alpha < \alpha.</math>
• Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
• Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).

Арифметика порядковых чисел

Определения операций

• Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:

<math>\begin{align}

&\alpha + 0 = \alpha\\ &\alpha + (\beta \dot+ 1) = (\alpha + \beta) \dot+ 1\\ &\alpha + \gamma = \sup \{ \alpha + \beta | \beta < \gamma \}, \end{align}</math>

где третье правило применяется в случае, когда <math>\gamma</math> является предельным порядковым числом.

• Используя те же обозначения, определим операцию умножения:

<math>\begin{align}

&\alpha \cdot 0 = 0\\ &\alpha \cdot (\beta \dot+ 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha\\ &\alpha \cdot \gamma = \sup \{ \alpha \cdot \beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}</math>

• Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:

<math>\begin{align}

&\alpha^0 = 1\\ &\alpha^{\beta \dot+ 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha\\ &\alpha^\gamma = \sup \{ \alpha^\beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}</math>

Свойства операций

• Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности, <math>1 + \omega = \omega \ne \omega + 1.</math>
• Сложение порядковых чисел ассоциативно: <math>\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma,</math> что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
• Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из <math>\beta_1 > \beta_2</math> следует <math>\alpha + \beta_1 > \alpha + \beta_2</math> и <math>\beta_1 + \alpha \geqslant \beta_2 + \alpha.</math>
• Если <math>\alpha \geqslant \beta,</math> то существует единственный ординал <math>\gamma</math>, для которого <math>\beta + \gamma = \alpha.</math>
• Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности, <math>2 \cdot \omega = \omega \ne \omega \cdot 2.</math>
• Умножение порядковых чисел ассоциативно: <math>\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma,</math> что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
• Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность: <math>\alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma.</math>
• <math>\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha.</math>
• <math>\alpha + 1 = \alpha \dot+ 1.</math>
• <math>\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha + \omega = \omega.</math>
• <math>\alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0.</math>
• <math>\alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha.</math>
• <math>\alpha \in \omega \land \alpha \ne 0 \leftrightarrow \alpha \cdot \omega = \omega.</math>
• <math>\alpha + \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \land \beta = 0.</math>
• <math>\alpha \cdot \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \lor \beta = 0.</math>
• <math>\alpha^0 = 1.</math>
• <math>\alpha^1 = \alpha.</math>
• <math>\alpha \ne 0 \leftrightarrow 0^\alpha = 0.</math>
• <math>1^\alpha = 1.</math>
• <math>\alpha \in \omega \land \alpha > 1 \leftrightarrow \alpha^\omega = \omega.</math>
• <math>\alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta + \gamma}.</math>
• <math>(\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta \cdot \gamma}.</math>
• <math>\alpha > 1 \land \beta > \gamma \leftrightarrow \alpha^\beta > \alpha^\gamma.</math>
• <math>\beta \in \omega \to \alpha + \beta = \alpha \underbrace{\dot+ 1 \dot+ 1 \dot+ \dots \dot+ 1}_\beta.</math>
• <math>\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta = 0 \underbrace{+\alpha+\alpha+\dots+\alpha}_\beta.</math>
• <math>\beta \in \omega \to \alpha^\beta = 1 \underbrace{\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha}_\beta.</math>
• В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
• В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.

См. также

• Кардинальное число

Литература

• Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Порядковое число

Вокруг мужицкого елового стола, на котором лежали карты, планы, карандаши, бумаги, собралось так много народа, что денщики принесли еще лавку и поставили у стола. На лавку эту сели пришедшие: Ермолов, Кайсаров и Толь. Под самыми образами, на первом месте, сидел с Георгием на шее, с бледным болезненным лицом и с своим высоким лбом, сливающимся с голой головой, Барклай де Толли. Второй уже день он мучился лихорадкой, и в это самое время его знобило и ломало. Рядом с ним сидел Уваров и негромким голосом (как и все говорили) что то, быстро делая жесты, сообщал Барклаю. Маленький, кругленький Дохтуров, приподняв брови и сложив руки на животе, внимательно прислушивался. С другой стороны сидел, облокотивши на руку свою широкую, с смелыми чертами и блестящими глазами голову, граф Остерман Толстой и казался погруженным в свои мысли. Раевский с выражением нетерпения, привычным жестом наперед курчавя свои черные волосы на висках, поглядывал то на Кутузова, то на входную дверь. Твердое, красивое и доброе лицо Коновницына светилось нежной и хитрой улыбкой. Он встретил взгляд Малаши и глазами делал ей знаки, которые заставляли девочку улыбаться.
Все ждали Бенигсена, который доканчивал свой вкусный обед под предлогом нового осмотра позиции. Его ждали от четырех до шести часов, и во все это время не приступали к совещанию и тихими голосами вели посторонние разговоры.
Только когда в избу вошел Бенигсен, Кутузов выдвинулся из своего угла и подвинулся к столу, но настолько, что лицо его не было освещено поданными на стол свечами.
Бенигсен открыл совет вопросом: «Оставить ли без боя священную и древнюю столицу России или защищать ее?» Последовало долгое и общее молчание. Все лица нахмурились, и в тишине слышалось сердитое кряхтенье и покашливанье Кутузова. Все глаза смотрели на него. Малаша тоже смотрела на дедушку. Она ближе всех была к нему и видела, как лицо его сморщилось: он точно собрался плакать. Но это продолжалось недолго.
– Священную древнюю столицу России! – вдруг заговорил он, сердитым голосом повторяя слова Бенигсена и этим указывая на фальшивую ноту этих слов. – Позвольте вам сказать, ваше сиятельство, что вопрос этот не имеет смысла для русского человека. (Он перевалился вперед своим тяжелым телом.) Такой вопрос нельзя ставить, и такой вопрос не имеет смысла. Вопрос, для которого я просил собраться этих господ, это вопрос военный. Вопрос следующий: «Спасенье России в армии. Выгоднее ли рисковать потерею армии и Москвы, приняв сраженье, или отдать Москву без сражения? Вот на какой вопрос я желаю знать ваше мнение». (Он откачнулся назад на спинку кресла.)
Начались прения. Бенигсен не считал еще игру проигранною. Допуская мнение Барклая и других о невозможности принять оборонительное сражение под Филями, он, проникнувшись русским патриотизмом и любовью к Москве, предлагал перевести войска в ночи с правого на левый фланг и ударить на другой день на правое крыло французов. Мнения разделились, были споры в пользу и против этого мнения. Ермолов, Дохтуров и Раевский согласились с мнением Бенигсена. Руководимые ли чувством потребности жертвы пред оставлением столицы или другими личными соображениями, но эти генералы как бы не понимали того, что настоящий совет не мог изменить неизбежного хода дел и что Москва уже теперь оставлена. Остальные генералы понимали это и, оставляя в стороне вопрос о Москве, говорили о том направлении, которое в своем отступлении должно было принять войско. Малаша, которая, не спуская глаз, смотрела на то, что делалось перед ней, иначе понимала значение этого совета. Ей казалось, что дело было только в личной борьбе между «дедушкой» и «длиннополым», как она называла Бенигсена. Она видела, что они злились, когда говорили друг с другом, и в душе своей она держала сторону дедушки. В средине разговора она заметила быстрый лукавый взгляд, брошенный дедушкой на Бенигсена, и вслед за тем, к радости своей, заметила, что дедушка, сказав что то длиннополому, осадил его: Бенигсен вдруг покраснел и сердито прошелся по избе. Слова, так подействовавшие на Бенигсена, были спокойным и тихим голосом выраженное Кутузовым мнение о выгоде и невыгоде предложения Бенигсена: о переводе в ночи войск с правого на левый фланг для атаки правого крыла французов.
– Я, господа, – сказал Кутузов, – не могу одобрить плана графа. Передвижения войск в близком расстоянии от неприятеля всегда бывают опасны, и военная история подтверждает это соображение. Так, например… (Кутузов как будто задумался, приискивая пример и светлым, наивным взглядом глядя на Бенигсена.) Да вот хоть бы Фридландское сражение, которое, как я думаю, граф хорошо помнит, было… не вполне удачно только оттого, что войска наши перестроивались в слишком близком расстоянии от неприятеля… – Последовало, показавшееся всем очень продолжительным, минутное молчание.
Прения опять возобновились, но часто наступали перерывы, и чувствовалось, что говорить больше не о чем.
Во время одного из таких перерывов Кутузов тяжело вздохнул, как бы сбираясь говорить. Все оглянулись на него.
– Eh bien, messieurs! Je vois que c'est moi qui payerai les pots casses, [Итак, господа, стало быть, мне платить за перебитые горшки,] – сказал он. И, медленно приподнявшись, он подошел к столу. – Господа, я слышал ваши мнения. Некоторые будут несогласны со мной. Но я (он остановился) властью, врученной мне моим государем и отечеством, я – приказываю отступление.
Вслед за этим генералы стали расходиться с той же торжественной и молчаливой осторожностью, с которой расходятся после похорон.
Некоторые из генералов негромким голосом, совсем в другом диапазоне, чем когда они говорили на совете, передали кое что главнокомандующему.
Малаша, которую уже давно ждали ужинать, осторожно спустилась задом с полатей, цепляясь босыми ножонками за уступы печки, и, замешавшись между ног генералов, шмыгнула в дверь.
Отпустив генералов, Кутузов долго сидел, облокотившись на стол, и думал все о том же страшном вопросе: «Когда же, когда же наконец решилось то, что оставлена Москва? Когда было сделано то, что решило вопрос, и кто виноват в этом?»
– Этого, этого я не ждал, – сказал он вошедшему к нему, уже поздно ночью, адъютанту Шнейдеру, – этого я не ждал! Этого я не думал!
– Вам надо отдохнуть, ваша светлость, – сказал Шнейдер.
– Да нет же! Будут же они лошадиное мясо жрать, как турки, – не отвечая, прокричал Кутузов, ударяя пухлым кулаком по столу, – будут и они, только бы…


В противоположность Кутузову, в то же время, в событии еще более важнейшем, чем отступление армии без боя, в оставлении Москвы и сожжении ее, Растопчин, представляющийся нам руководителем этого события, действовал совершенно иначе.
Событие это – оставление Москвы и сожжение ее – было так же неизбежно, как и отступление войск без боя за Москву после Бородинского сражения.
Каждый русский человек, не на основании умозаключений, а на основании того чувства, которое лежит в нас и лежало в наших отцах, мог бы предсказать то, что совершилось.
Начиная от Смоленска, во всех городах и деревнях русской земли, без участия графа Растопчина и его афиш, происходило то же самое, что произошло в Москве. Народ с беспечностью ждал неприятеля, не бунтовал, не волновался, никого не раздирал на куски, а спокойно ждал своей судьбы, чувствуя в себе силы в самую трудную минуту найти то, что должно было сделать. И как только неприятель подходил, богатейшие элементы населения уходили, оставляя свое имущество; беднейшие оставались и зажигали и истребляли то, что осталось.
Сознание того, что это так будет, и всегда так будет, лежало и лежит в душе русского человека. И сознание это и, более того, предчувствие того, что Москва будет взята, лежало в русском московском обществе 12 го года. Те, которые стали выезжать из Москвы еще в июле и начале августа, показали, что они ждали этого. Те, которые выезжали с тем, что они могли захватить, оставляя дома и половину имущества, действовали так вследствие того скрытого (latent) патриотизма, который выражается не фразами, не убийством детей для спасения отечества и т. п. неестественными действиями, а который выражается незаметно, просто, органически и потому производит всегда самые сильные результаты.
«Стыдно бежать от опасности; только трусы бегут из Москвы», – говорили им. Растопчин в своих афишках внушал им, что уезжать из Москвы было позорно. Им совестно было получать наименование трусов, совестно было ехать, но они все таки ехали, зная, что так надо было. Зачем они ехали? Нельзя предположить, чтобы Растопчин напугал их ужасами, которые производил Наполеон в покоренных землях. Уезжали, и первые уехали богатые, образованные люди, знавшие очень хорошо, что Вена и Берлин остались целы и что там, во время занятия их Наполеоном, жители весело проводили время с обворожительными французами, которых так любили тогда русские мужчины и в особенности дамы.
Они ехали потому, что для русских людей не могло быть вопроса: хорошо ли или дурно будет под управлением французов в Москве. Под управлением французов нельзя было быть: это было хуже всего. Они уезжали и до Бородинского сражения, и еще быстрее после Бородинского сражения, невзирая на воззвания к защите, несмотря на заявления главнокомандующего Москвы о намерении его поднять Иверскую и идти драться, и на воздушные шары, которые должны были погубить французов, и несмотря на весь тот вздор, о котором нисал Растопчин в своих афишах. Они знали, что войско должно драться, и что ежели оно не может, то с барышнями и дворовыми людьми нельзя идти на Три Горы воевать с Наполеоном, а что надо уезжать, как ни жалко оставлять на погибель свое имущество. Они уезжали и не думали о величественном значении этой громадной, богатой столицы, оставленной жителями и, очевидно, сожженной (большой покинутый деревянный город необходимо должен был сгореть); они уезжали каждый для себя, а вместе с тем только вследствие того, что они уехали, и совершилось то величественное событие, которое навсегда останется лучшей славой русского народа. Та барыня, которая еще в июне месяце с своими арапами и шутихами поднималась из Москвы в саратовскую деревню, с смутным сознанием того, что она Бонапарту не слуга, и со страхом, чтобы ее не остановили по приказанию графа Растопчина, делала просто и истинно то великое дело, которое спасло Россию. Граф же Растопчин, который то стыдил тех, которые уезжали, то вывозил присутственные места, то выдавал никуда не годное оружие пьяному сброду, то поднимал образа, то запрещал Августину вывозить мощи и иконы, то захватывал все частные подводы, бывшие в Москве, то на ста тридцати шести подводах увозил делаемый Леппихом воздушный шар, то намекал на то, что он сожжет Москву, то рассказывал, как он сжег свой дом и написал прокламацию французам, где торжественно упрекал их, что они разорили его детский приют; то принимал славу сожжения Москвы, то отрекался от нее, то приказывал народу ловить всех шпионов и приводить к нему, то упрекал за это народ, то высылал всех французов из Москвы, то оставлял в городе г жу Обер Шальме, составлявшую центр всего французского московского населения, а без особой вины приказывал схватить и увезти в ссылку старого почтенного почт директора Ключарева; то сбирал народ на Три Горы, чтобы драться с французами, то, чтобы отделаться от этого народа, отдавал ему на убийство человека и сам уезжал в задние ворота; то говорил, что он не переживет несчастия Москвы, то писал в альбомы по французски стихи о своем участии в этом деле, – этот человек не понимал значения совершающегося события, а хотел только что то сделать сам, удивить кого то, что то совершить патриотически геройское и, как мальчик, резвился над величавым и неизбежным событием оставления и сожжения Москвы и старался своей маленькой рукой то поощрять, то задерживать течение громадного, уносившего его вместе с собой, народного потока.


Элен, возвратившись вместе с двором из Вильны в Петербург, находилась в затруднительном положении.
В Петербурге Элен пользовалась особым покровительством вельможи, занимавшего одну из высших должностей в государстве. В Вильне же она сблизилась с молодым иностранным принцем. Когда она возвратилась в Петербург, принц и вельможа были оба в Петербурге, оба заявляли свои права, и для Элен представилась новая еще в ее карьере задача: сохранить свою близость отношений с обоими, не оскорбив ни одного.
То, что показалось бы трудным и даже невозможным для другой женщины, ни разу не заставило задуматься графиню Безухову, недаром, видно, пользовавшуюся репутацией умнейшей женщины. Ежели бы она стала скрывать свои поступки, выпутываться хитростью из неловкого положения, она бы этим самым испортила свое дело, сознав себя виноватою; но Элен, напротив, сразу, как истинно великий человек, который может все то, что хочет, поставила себя в положение правоты, в которую она искренно верила, а всех других в положение виноватости.
В первый раз, как молодое иностранное лицо позволило себе делать ей упреки, она, гордо подняв свою красивую голову и вполуоборот повернувшись к нему, твердо сказала:
– Voila l'egoisme et la cruaute des hommes! Je ne m'attendais pas a autre chose. Za femme se sacrifie pour vous, elle souffre, et voila sa recompense. Quel droit avez vous, Monseigneur, de me demander compte de mes amities, de mes affections? C'est un homme qui a ete plus qu'un pere pour moi. [Вот эгоизм и жестокость мужчин! Я ничего лучшего и не ожидала. Женщина приносит себя в жертву вам; она страдает, и вот ей награда. Ваше высочество, какое имеете вы право требовать от меня отчета в моих привязанностях и дружеских чувствах? Это человек, бывший для меня больше чем отцом.]
Лицо хотело что то сказать. Элен перебила его.
– Eh bien, oui, – сказала она, – peut etre qu'il a pour moi d'autres sentiments que ceux d'un pere, mais ce n'est; pas une raison pour que je lui ferme ma porte. Je ne suis pas un homme pour etre ingrate. Sachez, Monseigneur, pour tout ce qui a rapport a mes sentiments intimes, je ne rends compte qu'a Dieu et a ma conscience, [Ну да, может быть, чувства, которые он питает ко мне, не совсем отеческие; но ведь из за этого не следует же мне отказывать ему от моего дома. Я не мужчина, чтобы платить неблагодарностью. Да будет известно вашему высочеству, что в моих задушевных чувствах я отдаю отчет только богу и моей совести.] – кончила она, дотрогиваясь рукой до высоко поднявшейся красивой груди и взглядывая на небо.
– Mais ecoutez moi, au nom de Dieu. [Но выслушайте меня, ради бога.]
– Epousez moi, et je serai votre esclave. [Женитесь на мне, и я буду вашею рабою.]
– Mais c'est impossible. [Но это невозможно.]
– Vous ne daignez pas descende jusqu'a moi, vous… [Вы не удостаиваете снизойти до брака со мною, вы…] – заплакав, сказала Элен.
Лицо стало утешать ее; Элен же сквозь слезы говорила (как бы забывшись), что ничто не может мешать ей выйти замуж, что есть примеры (тогда еще мало было примеров, но она назвала Наполеона и других высоких особ), что она никогда не была женою своего мужа, что она была принесена в жертву.
– Но законы, религия… – уже сдаваясь, говорило лицо.
– Законы, религия… На что бы они были выдуманы, ежели бы они не могли сделать этого! – сказала Элен.
Важное лицо было удивлено тем, что такое простое рассуждение могло не приходить ему в голову, и обратилось за советом к святым братьям Общества Иисусова, с которыми оно находилось в близких отношениях.
Через несколько дней после этого, на одном из обворожительных праздников, который давала Элен на своей даче на Каменном острову, ей был представлен немолодой, с белыми как снег волосами и черными блестящими глазами, обворожительный m r de Jobert, un jesuite a robe courte, [г н Жобер, иезуит в коротком платье,] который долго в саду, при свете иллюминации и при звуках музыки, беседовал с Элен о любви к богу, к Христу, к сердцу божьей матери и об утешениях, доставляемых в этой и в будущей жизни единою истинною католическою религией. Элен была тронута, и несколько раз у нее и у m r Jobert в глазах стояли слезы и дрожал голос. Танец, на который кавалер пришел звать Элен, расстроил ее беседу с ее будущим directeur de conscience [блюстителем совести]; но на другой день m r de Jobert пришел один вечером к Элен и с того времени часто стал бывать у нее.
В один день он сводил графиню в католический храм, где она стала на колени перед алтарем, к которому она была подведена. Немолодой обворожительный француз положил ей на голову руки, и, как она сама потом рассказывала, она почувствовала что то вроде дуновения свежего ветра, которое сошло ей в душу. Ей объяснили, что это была la grace [благодать].
Потом ей привели аббата a robe longue [в длинном платье], он исповедовал ее и отпустил ей грехи ее. На другой день ей принесли ящик, в котором было причастие, и оставили ей на дому для употребления. После нескольких дней Элен, к удовольствию своему, узнала, что она теперь вступила в истинную католическую церковь и что на днях сам папа узнает о ней и пришлет ей какую то бумагу.
Все, что делалось за это время вокруг нее и с нею, все это внимание, обращенное на нее столькими умными людьми и выражающееся в таких приятных, утонченных формах, и голубиная чистота, в которой она теперь находилась (она носила все это время белые платья с белыми лентами), – все это доставляло ей удовольствие; но из за этого удовольствия она ни на минуту не упускала своей цели. И как всегда бывает, что в деле хитрости глупый человек проводит более умных, она, поняв, что цель всех этих слов и хлопот состояла преимущественно в том, чтобы, обратив ее в католичество, взять с нее денег в пользу иезуитских учреждений {о чем ей делали намеки), Элен, прежде чем давать деньги, настаивала на том, чтобы над нею произвели те различные операции, которые бы освободили ее от мужа. В ее понятиях значение всякой религии состояло только в том, чтобы при удовлетворении человеческих желаний соблюдать известные приличия. И с этою целью она в одной из своих бесед с духовником настоятельно потребовала от него ответа на вопрос о том, в какой мере ее брак связывает ее.
Они сидели в гостиной у окна. Были сумерки. Из окна пахло цветами. Элен была в белом платье, просвечивающем на плечах и груди. Аббат, хорошо откормленный, а пухлой, гладко бритой бородой, приятным крепким ртом и белыми руками, сложенными кротко на коленях, сидел близко к Элен и с тонкой улыбкой на губах, мирно – восхищенным ее красотою взглядом смотрел изредка на ее лицо и излагал свой взгляд на занимавший их вопрос. Элен беспокойно улыбалась, глядела на его вьющиеся волоса, гладко выбритые чернеющие полные щеки и всякую минуту ждала нового оборота разговора. Но аббат, хотя, очевидно, и наслаждаясь красотой и близостью своей собеседницы, был увлечен мастерством своего дела.
Ход рассуждения руководителя совести был следующий. В неведении значения того, что вы предпринимали, вы дали обет брачной верности человеку, который, с своей стороны, вступив в брак и не веря в религиозное значение брака, совершил кощунство. Брак этот не имел двоякого значения, которое должен он иметь. Но несмотря на то, обет ваш связывал вас. Вы отступили от него. Что вы совершили этим? Peche veniel или peche mortel? [Грех простительный или грех смертный?] Peche veniel, потому что вы без дурного умысла совершили поступок. Ежели вы теперь, с целью иметь детей, вступили бы в новый брак, то грех ваш мог бы быть прощен. Но вопрос опять распадается надвое: первое…
– Но я думаю, – сказала вдруг соскучившаяся Элен с своей обворожительной улыбкой, – что я, вступив в истинную религию, не могу быть связана тем, что наложила на меня ложная религия.
Directeur de conscience [Блюститель совести] был изумлен этим постановленным перед ним с такою простотою Колумбовым яйцом. Он восхищен был неожиданной быстротой успехов своей ученицы, но не мог отказаться от своего трудами умственными построенного здания аргументов.
– Entendons nous, comtesse, [Разберем дело, графиня,] – сказал он с улыбкой и стал опровергать рассуждения своей духовной дочери.


Элен понимала, что дело было очень просто и легко с духовной точки зрения, но что ее руководители делали затруднения только потому, что они опасались, каким образом светская власть посмотрит на это дело.
И вследствие этого Элен решила, что надо было в обществе подготовить это дело. Она вызвала ревность старика вельможи и сказала ему то же, что первому искателю, то есть поставила вопрос так, что единственное средство получить права на нее состояло в том, чтобы жениться на ней. Старое важное лицо первую минуту было так же поражено этим предложением выйти замуж от живого мужа, как и первое молодое лицо; но непоколебимая уверенность Элен в том, что это так же просто и естественно, как и выход девушки замуж, подействовала и на него. Ежели бы заметны были хоть малейшие признаки колебания, стыда или скрытности в самой Элен, то дело бы ее, несомненно, было проиграно; но не только не было этих признаков скрытности и стыда, но, напротив, она с простотой и добродушной наивностью рассказывала своим близким друзьям (а это был весь Петербург), что ей сделали предложение и принц и вельможа и что она любит обоих и боится огорчить того и другого.
По Петербургу мгновенно распространился слух не о том, что Элен хочет развестись с своим мужем (ежели бы распространился этот слух, очень многие восстали бы против такого незаконного намерения), но прямо распространился слух о том, что несчастная, интересная Элен находится в недоуменье о том, за кого из двух ей выйти замуж. Вопрос уже не состоял в том, в какой степени это возможно, а только в том, какая партия выгоднее и как двор посмотрит на это. Были действительно некоторые закоснелые люди, не умевшие подняться на высоту вопроса и видевшие в этом замысле поругание таинства брака; но таких было мало, и они молчали, большинство же интересовалось вопросами о счастии, которое постигло Элен, и какой выбор лучше. О том же, хорошо ли или дурно выходить от живого мужа замуж, не говорили, потому что вопрос этот, очевидно, был уже решенный для людей поумнее нас с вами (как говорили) и усомниться в правильности решения вопроса значило рисковать выказать свою глупость и неумение жить в свете.
Одна только Марья Дмитриевна Ахросимова, приезжавшая в это лето в Петербург для свидания с одним из своих сыновей, позволила себе прямо выразить свое, противное общественному, мнение. Встретив Элен на бале, Марья Дмитриевна остановила ее посередине залы и при общем молчании своим грубым голосом сказала ей:
– У вас тут от живого мужа замуж выходить стали. Ты, может, думаешь, что ты это новенькое выдумала? Упредили, матушка. Уж давно выдумано. Во всех…… так то делают. – И с этими словами Марья Дмитриевна с привычным грозным жестом, засучивая свои широкие рукава и строго оглядываясь, прошла через комнату.
На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.
Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j'ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J'ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C'est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j'ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d'epouser l'autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.