Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование <math>A</math> евклидова пространства <math>L</math>, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов <math>x,y \in L</math> выполняется равенство

<math>\langle A(x),\,A(y) \rangle = \langle x,\,y \rangle, </math>

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение <math> \langle x,\,y \rangle</math> в пространстве <math>L</math>.

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования <math>A</math> является равенство

  <math>A^*=A^{-1}, \qquad (*)</math>

где <math>A^*</math> — сопряжённое, а <math>A^{-1}</math> — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы <math>A</math> является равенство (*), где <math>A^*</math> — транспонированная, а <math>A^{-1}</math> — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований равны <math>1</math> или <math>-1</math>, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
• Определитель ортогонального преобразования равен <math> 1</math> (собственное ортогональное преобразование) или <math> -1</math> (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном <math> n</math>-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность «два»

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол <math> \varphi</math>, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

<math>\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.

</math>

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

<math>\begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.

</math> Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

<math>\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix},

</math> то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

<math>\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.

</math>

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования <math>A\colon L \to L</math> евклидова <math>n</math>-мерного пространства <math>L</math> справедливо такое разложение <math> L = L_1 \oplus L_{-1} \oplus M_{\varphi_1} \oplus \ldots \oplus M_{\varphi_k},</math> где все подпространства <math>L_{1},</math> <math>L_{-1}</math> и <math>M_{\varphi_i}</math> попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования <math>A</math>, причём: ограничение <math>A</math> на <math>L_1</math> есть <math>E</math> (тождественное преобразование), ограничение <math>A</math> на <math>L_{-1}</math> есть <math>-E</math>, все пространства <math>M_{\varphi_i}</math> двумерны (плоскости), и ограничение <math>A</math> на <math>M_{\varphi_i}</math> есть поворот плоскости <math>M_{\varphi_i}</math> на угол <math>\varphi_i</math>.

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица <math>A</math> имеет блочно-диагональный вид: <math> A = \left(\begin{matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & \ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \\ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & \ddots & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_1} & {} & {} \\ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_k} \\ \end{matrix}\right), </math> где <math>A_{\varphi_i}</math> — матрица поворота на угол <math>{\varphi_i}</math> (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства <math>L_{1}</math> и число минус единиц равно размерности подпространства <math>L_{-1}</math>.

Такая запись матрицы <math>A</math> ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

• Ортогональная матрица
• Дискретное ортогональное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
• Гельфанд И. М., [www.nature.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=index.html Линейная алгебра]. Курс лекций.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Отрывок, характеризующий Ортогональное преобразование

– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.
Боссе, закрыв глаза и склонив голову, глубоко вздохнул, этим жестом показывая, как он умел ценить и понимать слова императора.


Весь этот день 25 августа, как говорят его историки, Наполеон провел на коне, осматривая местность, обсуживая планы, представляемые ему его маршалами, и отдавая лично приказания своим генералам.
Первоначальная линия расположения русских войск по Ко лоче была переломлена, и часть этой линии, именно левый фланг русских, вследствие взятия Шевардинского редута 24 го числа, была отнесена назад. Эта часть линии была не укреплена, не защищена более рекою, и перед нею одною было более открытое и ровное место. Очевидно было для всякого военного и невоенного, что эту часть линии и должно было атаковать французам. Казалось, что для этого не нужно было много соображений, не нужно было такой заботливости и хлопотливости императора и его маршалов и вовсе не нужно той особенной высшей способности, называемой гениальностью, которую так любят приписывать Наполеону; но историки, впоследствии описывавшие это событие, и люди, тогда окружавшие Наполеона, и он сам думали иначе.
Наполеон ездил по полю, глубокомысленно вглядывался в местность, сам с собой одобрительно или недоверчиво качал головой и, не сообщая окружавшим его генералам того глубокомысленного хода, который руководил его решеньями, передавал им только окончательные выводы в форме приказаний. Выслушав предложение Даву, называемого герцогом Экмюльским, о том, чтобы обойти левый фланг русских, Наполеон сказал, что этого не нужно делать, не объясняя, почему это было не нужно. На предложение же генерала Компана (который должен был атаковать флеши), провести свою дивизию лесом, Наполеон изъявил свое согласие, несмотря на то, что так называемый герцог Эльхингенский, то есть Ней, позволил себе заметить, что движение по лесу опасно и может расстроить дивизию.
Осмотрев местность против Шевардинского редута, Наполеон подумал несколько времени молча и указал на места, на которых должны были быть устроены к завтрему две батареи для действия против русских укреплений, и места, где рядом с ними должна была выстроиться полевая артиллерия.
Отдав эти и другие приказания, он вернулся в свою ставку, и под его диктовку была написана диспозиция сражения.
Диспозиция эта, про которую с восторгом говорят французские историки и с глубоким уважением другие историки, была следующая:
«С рассветом две новые батареи, устроенные в ночи, на равнине, занимаемой принцем Экмюльским, откроют огонь по двум противостоящим батареям неприятельским.
В это же время начальник артиллерии 1 го корпуса, генерал Пернетти, с 30 ю орудиями дивизии Компана и всеми гаубицами дивизии Дессе и Фриана, двинется вперед, откроет огонь и засыплет гранатами неприятельскую батарею, против которой будут действовать!
24 орудия гвардейской артиллерии,
30 орудий дивизии Компана
и 8 орудий дивизии Фриана и Дессе,
Всего – 62 орудия.
Начальник артиллерии 3 го корпуса, генерал Фуше, поставит все гаубицы 3 го и 8 го корпусов, всего 16, по флангам батареи, которая назначена обстреливать левое укрепление, что составит против него вообще 40 орудий.
Генерал Сорбье должен быть готов по первому приказанию вынестись со всеми гаубицами гвардейской артиллерии против одного либо другого укрепления.
В продолжение канонады князь Понятовский направится на деревню, в лес и обойдет неприятельскую позицию.
Генерал Компан двинется чрез лес, чтобы овладеть первым укреплением.
По вступлении таким образом в бой будут даны приказания соответственно действиям неприятеля.
Канонада на левом фланге начнется, как только будет услышана канонада правого крыла. Стрелки дивизии Морана и дивизии вице короля откроют сильный огонь, увидя начало атаки правого крыла.
Вице король овладеет деревней [Бородиным] и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Морана и Жерара, которые, под его предводительством, направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками армии.