Ортогональная система координат

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

<math>

ds^{2} = \sum_{k=1}^{d} \left( h_{k} dq^{k} \right)^{2} </math> где d размерность пространства. Скалярный фактор

<math>

h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k| </math> равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ek .

В ортогональных системах координат q = (q¹, q², …, q^d) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

<math>e_{i}\cdot e_{j}=0,\begin{matrix}

  {} & i\ne j  \\

\end{matrix}</math> В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых <math>e_{i}^{\left( n \right)}=\frac{e_{i}}{\left| e_{i} \right|}</math>

Для нормированных базисных векторов <math>e_{i}\cdot e_{j}=\delta _{ij}</math>, где

<math>\delta _{ij}</math> — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

<math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum h_i^2 x^i y^i = \sum \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum x^i y_i = \sum x_i y^i</math>

Векторное произведение

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле:

<math>\mathbf x \times \mathbf y = \sum x^i \mathbf e_i \times \sum y^i \mathbf e_i =

\sum x^i h_i \hat \mathbf e_i \times \sum y^i h_i \hat \mathbf e_i</math>

Отрывок, характеризующий Ортогональная система координат

– Господи, создатель мой! Внял ты молитве нашей… – дрожащим голосом сказал он, сложив руки. – Спасена Россия. Благодарю тебя, господи! – И он заплакал.


Со времени этого известия и до конца кампании вся деятельность Кутузова заключается только в том, чтобы властью, хитростью, просьбами удерживать свои войска от бесполезных наступлений, маневров и столкновений с гибнущим врагом. Дохтуров идет к Малоярославцу, но Кутузов медлит со всей армией и отдает приказания об очищении Калуги, отступление за которую представляется ему весьма возможным.
Кутузов везде отступает, но неприятель, не дожидаясь его отступления, бежит назад, в противную сторону.
Историки Наполеона описывают нам искусный маневр его на Тарутино и Малоярославец и делают предположения о том, что бы было, если бы Наполеон успел проникнуть в богатые полуденные губернии.
Но не говоря о том, что ничто не мешало Наполеону идти в эти полуденные губернии (так как русская армия давала ему дорогу), историки забывают то, что армия Наполеона не могла быть спасена ничем, потому что она в самой себе несла уже тогда неизбежные условия гибели. Почему эта армия, нашедшая обильное продовольствие в Москве и не могшая удержать его, а стоптавшая его под ногами, эта армия, которая, придя в Смоленск, не разбирала продовольствия, а грабила его, почему эта армия могла бы поправиться в Калужской губернии, населенной теми же русскими, как и в Москве, и с тем же свойством огня сжигать то, что зажигают?
Армия не могла нигде поправиться. Она, с Бородинского сражения и грабежа Москвы, несла в себе уже как бы химические условия разложения.
Люди этой бывшей армии бежали с своими предводителями сами не зная куда, желая (Наполеон и каждый солдат) только одного: выпутаться лично как можно скорее из того безвыходного положения, которое, хотя и неясно, они все сознавали.
Только поэтому, на совете в Малоярославце, когда, притворяясь, что они, генералы, совещаются, подавая разные мнения, последнее мнение простодушного солдата Мутона, сказавшего то, что все думали, что надо только уйти как можно скорее, закрыло все рты, и никто, даже Наполеон, не мог сказать ничего против этой всеми сознаваемой истины.