Ортогональные многочлены

Поделись знанием:


Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Перейти к: навигация, поиск

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

<math>p_0(x),\ p_1(x),\ p_2(x),\ \ldots</math>,

где каждый многочлен <math>p_n(x)</math> имеет степень <math>n</math>, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве <math>L^2</math>.


Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.





Определение

Ортогональность с весом

Пусть <math>(a,b)</math> — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

<math>w : ~(a,b) \to \mathbb{R}</math>

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка <math>(a,b)</math> функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция <math>w(x)</math> связана с пространством функций <math>L_{2}</math>, для которых сходится интеграл

<math>\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty </math>.

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

<math>\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx</math> для вещественных функций,
<math>\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx</math> для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю <math>\langle f, g \rangle = 0</math>, то такие функции называются ортогональными с весом <math>w(x)</math>. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Классическая формулировка

Систему многочленов

<math>p_0(x),p_1(x),\cdots,p_n(x),\cdots</math>

называют ортогональной, если

  1. <math>p_n(x)</math> — многочлен степени <math>n</math>,
  2. <math>\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}</math>, где <math>\delta_{mn}</math> — символ Кронекера, <math>h_{n}</math> — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму <math>||p_n||=h_n=1</math>. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения <math>h_n</math> отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов

Рекуррентные соотношения

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

<math>{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},</math>

где

<math>A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n-1} h_{n-1}}, </math>
<math>r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle</math>,
<math>k_n</math> и <math>k'_n</math> — коэффициенты при членах <math>x^n</math> и <math>x^{n-1}</math> в полиноме <math>p_n(x).</math>

Эта формула остаётся справедливой и для <math>n=0</math>, если положить <math>p_{-1}(x)=0</math>.


Формула Кристоффеля-Дарбу

<math>\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y}</math>,

или при <math>y \to x</math>

<math>\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_{n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\right]</math>

Корни многочленов

Все корни многочлена <math>p_n(x)</math> являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности <math>\left[a;b\right]</math>.

Между двумя последовательными корнями многочлена <math>p_n(x)</math> расположен в точности один корень многочлена <math>p_{n+1}(x)</math> и, по крайней мере, один корень многочлена <math>p_m(x)</math>, при <math>m>n</math>.

Минимальность нормы

Каждый многочлен <math>p_n(x)</math> в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов <math>P_n(x)</math> такой же степени и с таким же первым коэффициентом.


Полнота системы

Система ортогональных многочленов <math>p_i(x)</math> является полной. Это значит, что любой многочлен <math>S(x)</math> степени n может быть представлен в виде ряда

<math>S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)</math>,

где <math>\alpha</math> коэффициенты разложения.


Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

<math>{Q(x)}\,f + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0,</math>

где <math>Q(x)</math> и <math>L(x)</math> заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а <math>f(x)</math> и <math>\lambda</math> неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

<math>(R(x)y')' + W(x)\,\lambda\,y = 0,</math>

где <math>R(x) = e^{\int\frac{L(x)}{Q(x)}\,dx},\, W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}.</math> Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел <math>{\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots</math> и множеству собственных функций <math>P_0, P_1, P_2, \dots</math>, обладающих следующими свойствами:

  • <math>P_n(x)</math> — полином степени n, зависящий от <math>{\lambda}_n</math>
  • последовательность <math>P_0, P_1, P_2, \dots</math> ортогональна с весовой функцией <math>W(x)</math>
  • Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности
  • Числа <math>\lambda_n</math> и полиномы <math>P_n(x)</math> могут быть получены из формул
<math>{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q + L' \right)</math>
<math>P_n(x) = \frac{1}{e_n\,W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)</math> формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены
Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к <math>Q(x)=1-x^2</math> с интервалом ортогональности <math>[-1,1]</math>. Решениями являются многочлены Якоби <math>P_n^{(\alpha, \beta)}(x)</math> или их частные случаи многочлены Гегенбауэра <math>C_n^{(\alpha)}(x)</math>, Лежандра <math>P_n(x)</math> или Чебышёва обоих типов <math>T_n(x)</math>, <math>U_n(x)</math>.
2. Лагерроподобные многочлены
Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к <math>Q(x)=x</math> и интервалу ортогональности <math>[0,\infty)</math>. Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> или их частному случаю многочленам Лагерра <math>L_n(x)</math>.
3. Эрмитоподобные многочлены
Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к <math>Q(x)=1</math> и интервалу ортогональности <math>(-\infty,\infty)</math>. Решениями являются многочлены Эрмита <math>H_n(x)</math>.

Производные ортогональных полиномов

Обозначим <math>P_n^{m}(x)</math> как m-ую производную полинома <math>P_n(x)</math>. Производная <math>P_n^{m}(x)</math> является полиномом степени <math>n-m</math> и обладает следующими свойствами:

  • ортогональность
Для заданного m последовательность полиномов <math>P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots</math> ортогональна с весовой функцией <math>W(x)[Q(x)]^m</math>
<math>P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(W(x)[Q(x)]^m\right)</math>
  • дифференциальное уравнение
<math>{Q(x)}\,y + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0</math>, где <math>y(x)=P_n^{m}(x)</math>
  • дифференциальное уравнение второго вида
<math>(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0</math>, где <math>y(x)=P_n^{m}(x)</math>
  • рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)
<math>P_n^{m}(x) = aP_{n+1}^{m+1}(x) + bP_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),</math>
<math>P_n^{m}(x) = (ax+b)P_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),</math>
<math>Q(x)P_n^{m+1}(x) = (ax+b)P_n^{m}(x) + cP_{n-1}^{m}(x).</math>

Классические ортогональные многочлены

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби

Многочлены Якоби обозначаются <math>P_n^{(\alpha, \beta)}(x)</math>, где параметры <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> вещественные числа больше −1. Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки <math>x=0</math>.

  • Весовая функция <math>W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta</math> на промежутке ортогональности <math>[-1,1]</math>
  • Дифференциальные уравнения
<math>(1-x^2)\,y + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)</math>
  • Рекуррентная формула
<math>P_{n+1}(x) = (A_n\,x+B_n)\,P_n(x) - C_n\,P_{n-1}(x),</math>
где
<math>A_n=\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)},</math>
<math>B_n=\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)},</math>
<math>C_n=\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}</math>
  • Нормировка
<math>P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}

{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!</math>

Многочлены Гегенбауэра

Многочлены Гегенбауэра обозначаются <math>C_n^{(\alpha)}(x)</math>, где параметр <math>\alpha</math> вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>

<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \ P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.</math>

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром <math>\alpha</math> и соответствующей нормализацией.

  • Весовая функция <math>W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}</math> на промежутке ортогональности <math>[-1,1]</math>
  • Дифференциальные уравнения
<math>(1-x^2)\,y - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = n(n+2\alpha)</math>
  • Рекуррентная формула
<math>(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha)}(x) = 2(n+\alpha)x\,C_n^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-1)\,C_{n-1}^{(\alpha)}(x)</math>
  • Нормировка
<math>C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}</math> если <math>\alpha\ne0,\qquad</math> <math> h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}

{\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}</math>

  • Прочие свойства
<math>C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)</math>

Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра обозначаются <math>P_n(x)</math> и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром <math>\alpha=1/2</math>

<math>P_n(x) = C_n^{(1/2)}(x).</math>

  • Весовая функция <math>W(x)=1</math> на промежутке ортогональности <math>[-1,1]</math>
  • Дифференциальные уравнения
<math>(1-x^2)\,y - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = n(n+1)</math>
  • Рекуррентная формула
<math>(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x) - n\,P_{n-1}(x)</math>
  • Нормировка
<math>P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!</math>
  • Первые несколько многочленов
<math>P_0(x)=1;</math>
<math>P_1(x)=x;</math>
<math>P_2(x)=(3x^2-1) / 2;</math>
<math>P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;</math>
<math>P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;</math>

Многочлены Чебышёва

Многочлен Чебышёва <math>T_n(x)</math> часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени <math>n</math>, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале <math>[-1,1]</math>

<math>T_n(x) = \cos(n\,arccos(x)).</math>

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра <math>\alpha \to 0</math>

<math>T_n(x) = \lim_{\alpha \to 0}n\,\Gamma(\alpha)\,C_n^{(\alpha)}.</math>

  • Дифференциальное уравнение
<math>(1-x^2)\,y - x\,y' + {\lambda}\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = n^2</math>
  • Рекуррентная формула
<math>T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x)</math>
  • Нормировка
<math>T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{

\begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}} </math>

Многочлен Чебышёва второго рода <math>U_n(x)</math> характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале <math>[-1, +1]</math> меньше всего отклоняется от нуля

<math>U_n = \frac{1}{n+1}\,T_{n+1}'</math>

  • Весовая функция <math>W(x)=(1-x^2)^{1/2}</math> на промежутке ортогональности <math>[-1,1]</math>
  • Дифференциальное уравнение
<math>(1-x^2)\,y - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0</math>
  • Нормировка
<math>U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}</math>

Многочлены Лагерра

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math>, где параметр <math>\alpha</math> вещественное число больше -1. Для <math>\alpha = 0</math> обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

<math>L_n(x) = L_n^{(0)}(x).</math>

  • Весовая функция <math>W(x)=x^{\alpha}e^{-x}</math> на промежутке ортогональности <math>[0,\infty)</math>
  • Дифференциальные уравнения
<math>x\,y + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^{\alpha}\,e^{-x}\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = n</math>
  • Рекуррентная формула
<math>(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x)</math>
  • Нормировка
<math>k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!</math>
  • Прочие свойства
<math>L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)</math>

Многочлены Эрмита

  • Весовая функция <math>W(x)=e^{-x^2}</math> на промежутке ортогональности <math>[-\infty,\infty]</math>
  • Дифференциальные уравнения
<math>y - 2xy' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0</math>
  • Собственные числа
<math>\lambda_n = 2n</math>
  • Рекуррентная формула
<math>H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x)</math>
  • Нормировка
<math>k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n</math>
  • Первые несколько многочленов
<math>H_0(x) = 1</math>
<math>H_1(x) = 2x</math>
<math>H_2(x) = 4x^2-2</math>
<math>H_3(x) = 8x^3-12x</math>
<math>H_4(x) = 16x^4-48x^2+12</math>

Построение ортогональных многочленов

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Система ортогональных многочленов <math>f_1, f_2, \ldots, f_k</math> может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов <math>g_k(x)=x^k</math> следующим образом. Определим проектор как

<math>\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)</math>,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

<math>

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align} </math>

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функции

Весовая функция <math>w(x)</math>, заданная на промежутке <math>\left[a;b\right]</math>, однозначно определяет систему ортогональных многочленов <math>\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}</math> с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

<math>\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}</math>

моменты весовой функции, тогда многочлен <math>p_n(x)</math> может быть представлен в виде:

<math> p_n(x) = \det\left[

\begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] </math>.

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум <math>O(n^3)</math> операций.


По рекуррентным формулам

Если выбрать нормировку многочлена <math>p_n(x)</math> таким образом, что коэффициент <math>k_n</math> при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

<math>{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},</math>

где

<math>\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}</math>.

Применение ортогональных многочленов

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул

<math> \int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i), </math>

где <math>x_i</math> и <math>w_i</math> являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов <math>f(x)</math> до степени <math>2n-1</math> включительно. При этом узлы <math>x_i</math> есть корни n-го полинома из последовательности полиномов <math>p_0(x),p_1(x), ...</math>, ортогональных с весовой функцией <math>w(x)</math>. Веса <math>w_i</math> вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого <math>T_n(x)</math> и второго <math>U_n(x)</math> типа часто используется для аппроксимации функций.

Напишите отзыв о статье "Ортогональные многочлены"

Примечания

Ссылки

  • Gabor Szego. Orthogonal Polynomials. — Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. — ISBN 0-8218-1023-5.
  • Dunham Jackson. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. — New York: Dover, 1941, 2004. — ISBN 0-486-43808-2.
  • Refaat El Attar. Special Functions and Orthogonal Polynomials. — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9.
  • Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 0-677-04150-0.

Для дальнейшего чтения

  • Ismail, Mourad E. H. [www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521782012 Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable]. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. — ISBN 0-521-78201-5.
  • Vilmos Totik (2005). «[arxiv.org/abs/math.CA/0512424 Orthogonal Polynomials]». Surveys in Approximation Theory 1: 70–125.


Отрывок, характеризующий Ортогональные многочлены



Кроме общего чувства отчуждения от всех людей, Наташа в это время испытывала особенное чувство отчуждения от лиц своей семьи. Все свои: отец, мать, Соня, были ей так близки, привычны, так будничны, что все их слова, чувства казались ей оскорблением того мира, в котором она жила последнее время, и она не только была равнодушна, но враждебно смотрела на них. Она слышала слова Дуняши о Петре Ильиче, о несчастии, но не поняла их.
«Какое там у них несчастие, какое может быть несчастие? У них все свое старое, привычное и покойное», – мысленно сказала себе Наташа.
Когда она вошла в залу, отец быстро выходил из комнаты графини. Лицо его было сморщено и мокро от слез. Он, видимо, выбежал из той комнаты, чтобы дать волю давившим его рыданиям. Увидав Наташу, он отчаянно взмахнул руками и разразился болезненно судорожными всхлипываниями, исказившими его круглое, мягкое лицо.
– Пе… Петя… Поди, поди, она… она… зовет… – И он, рыдая, как дитя, быстро семеня ослабевшими ногами, подошел к стулу и упал почти на него, закрыв лицо руками.
Вдруг как электрический ток пробежал по всему существу Наташи. Что то страшно больно ударило ее в сердце. Она почувствовала страшную боль; ей показалось, что что то отрывается в ней и что она умирает. Но вслед за болью она почувствовала мгновенно освобождение от запрета жизни, лежавшего на ней. Увидав отца и услыхав из за двери страшный, грубый крик матери, она мгновенно забыла себя и свое горе. Она подбежала к отцу, но он, бессильно махая рукой, указывал на дверь матери. Княжна Марья, бледная, с дрожащей нижней челюстью, вышла из двери и взяла Наташу за руку, говоря ей что то. Наташа не видела, не слышала ее. Она быстрыми шагами вошла в дверь, остановилась на мгновение, как бы в борьбе с самой собой, и подбежала к матери.
Графиня лежала на кресле, странно неловко вытягиваясь, и билась головой об стену. Соня и девушки держали ее за руки.
– Наташу, Наташу!.. – кричала графиня. – Неправда, неправда… Он лжет… Наташу! – кричала она, отталкивая от себя окружающих. – Подите прочь все, неправда! Убили!.. ха ха ха ха!.. неправда!
Наташа стала коленом на кресло, нагнулась над матерью, обняла ее, с неожиданной силой подняла, повернула к себе ее лицо и прижалась к ней.
– Маменька!.. голубчик!.. Я тут, друг мой. Маменька, – шептала она ей, не замолкая ни на секунду.
Она не выпускала матери, нежно боролась с ней, требовала подушки, воды, расстегивала и разрывала платье на матери.
– Друг мой, голубушка… маменька, душенька, – не переставая шептала она, целуя ее голову, руки, лицо и чувствуя, как неудержимо, ручьями, щекоча ей нос и щеки, текли ее слезы.
Графиня сжала руку дочери, закрыла глаза и затихла на мгновение. Вдруг она с непривычной быстротой поднялась, бессмысленно оглянулась и, увидав Наташу, стала из всех сил сжимать ее голову. Потом она повернула к себе ее морщившееся от боли лицо и долго вглядывалась в него.
– Наташа, ты меня любишь, – сказала она тихим, доверчивым шепотом. – Наташа, ты не обманешь меня? Ты мне скажешь всю правду?
Наташа смотрела на нее налитыми слезами глазами, и в лице ее была только мольба о прощении и любви.
– Друг мой, маменька, – повторяла она, напрягая все силы своей любви на то, чтобы как нибудь снять с нее на себя излишек давившего ее горя.
И опять в бессильной борьбе с действительностью мать, отказываясь верить в то, что она могла жить, когда был убит цветущий жизнью ее любимый мальчик, спасалась от действительности в мире безумия.
Наташа не помнила, как прошел этот день, ночь, следующий день, следующая ночь. Она не спала и не отходила от матери. Любовь Наташи, упорная, терпеливая, не как объяснение, не как утешение, а как призыв к жизни, всякую секунду как будто со всех сторон обнимала графиню. На третью ночь графиня затихла на несколько минут, и Наташа закрыла глаза, облокотив голову на ручку кресла. Кровать скрипнула. Наташа открыла глаза. Графиня сидела на кровати и тихо говорила.
– Как я рада, что ты приехал. Ты устал, хочешь чаю? – Наташа подошла к ней. – Ты похорошел и возмужал, – продолжала графиня, взяв дочь за руку.
– Маменька, что вы говорите!..
– Наташа, его нет, нет больше! – И, обняв дочь, в первый раз графиня начала плакать.


Княжна Марья отложила свой отъезд. Соня, граф старались заменить Наташу, но не могли. Они видели, что она одна могла удерживать мать от безумного отчаяния. Три недели Наташа безвыходно жила при матери, спала на кресле в ее комнате, поила, кормила ее и не переставая говорила с ней, – говорила, потому что один нежный, ласкающий голос ее успокоивал графиню.
Душевная рана матери не могла залечиться. Смерть Пети оторвала половину ее жизни. Через месяц после известия о смерти Пети, заставшего ее свежей и бодрой пятидесятилетней женщиной, она вышла из своей комнаты полумертвой и не принимающею участия в жизни – старухой. Но та же рана, которая наполовину убила графиню, эта новая рана вызвала Наташу к жизни.
Душевная рана, происходящая от разрыва духовного тела, точно так же, как и рана физическая, как ни странно это кажется, после того как глубокая рана зажила и кажется сошедшейся своими краями, рана душевная, как и физическая, заживает только изнутри выпирающею силой жизни.
Так же зажила рана Наташи. Она думала, что жизнь ее кончена. Но вдруг любовь к матери показала ей, что сущность ее жизни – любовь – еще жива в ней. Проснулась любовь, и проснулась жизнь.
Последние дни князя Андрея связали Наташу с княжной Марьей. Новое несчастье еще более сблизило их. Княжна Марья отложила свой отъезд и последние три недели, как за больным ребенком, ухаживала за Наташей. Последние недели, проведенные Наташей в комнате матери, надорвали ее физические силы.
Однажды княжна Марья, в середине дня, заметив, что Наташа дрожит в лихорадочном ознобе, увела ее к себе и уложила на своей постели. Наташа легла, но когда княжна Марья, опустив сторы, хотела выйти, Наташа подозвала ее к себе.
– Мне не хочется спать. Мари, посиди со мной.
– Ты устала – постарайся заснуть.
– Нет, нет. Зачем ты увела меня? Она спросит.
– Ей гораздо лучше. Она нынче так хорошо говорила, – сказала княжна Марья.
Наташа лежала в постели и в полутьме комнаты рассматривала лицо княжны Марьи.
«Похожа она на него? – думала Наташа. – Да, похожа и не похожа. Но она особенная, чужая, совсем новая, неизвестная. И она любит меня. Что у ней на душе? Все доброе. Но как? Как она думает? Как она на меня смотрит? Да, она прекрасная».
– Маша, – сказала она, робко притянув к себе ее руку. – Маша, ты не думай, что я дурная. Нет? Маша, голубушка. Как я тебя люблю. Будем совсем, совсем друзьями.
И Наташа, обнимая, стала целовать руки и лицо княжны Марьи. Княжна Марья стыдилась и радовалась этому выражению чувств Наташи.
С этого дня между княжной Марьей и Наташей установилась та страстная и нежная дружба, которая бывает только между женщинами. Они беспрестанно целовались, говорили друг другу нежные слова и большую часть времени проводили вместе. Если одна выходила, то другаябыла беспокойна и спешила присоединиться к ней. Они вдвоем чувствовали большее согласие между собой, чем порознь, каждая сама с собою. Между ними установилось чувство сильнейшее, чем дружба: это было исключительное чувство возможности жизни только в присутствии друг друга.
Иногда они молчали целые часы; иногда, уже лежа в постелях, они начинали говорить и говорили до утра. Они говорили большей частию о дальнем прошедшем. Княжна Марья рассказывала про свое детство, про свою мать, про своего отца, про свои мечтания; и Наташа, прежде с спокойным непониманием отворачивавшаяся от этой жизни, преданности, покорности, от поэзии христианского самоотвержения, теперь, чувствуя себя связанной любовью с княжной Марьей, полюбила и прошедшее княжны Марьи и поняла непонятную ей прежде сторону жизни. Она не думала прилагать к своей жизни покорность и самоотвержение, потому что она привыкла искать других радостей, но она поняла и полюбила в другой эту прежде непонятную ей добродетель. Для княжны Марьи, слушавшей рассказы о детстве и первой молодости Наташи, тоже открывалась прежде непонятная сторона жизни, вера в жизнь, в наслаждения жизни.
Они всё точно так же никогда не говорили про него с тем, чтобы не нарушать словами, как им казалось, той высоты чувства, которая была в них, а это умолчание о нем делало то, что понемногу, не веря этому, они забывали его.
Наташа похудела, побледнела и физически так стала слаба, что все постоянно говорили о ее здоровье, и ей это приятно было. Но иногда на нее неожиданно находил не только страх смерти, но страх болезни, слабости, потери красоты, и невольно она иногда внимательно разглядывала свою голую руку, удивляясь на ее худобу, или заглядывалась по утрам в зеркало на свое вытянувшееся, жалкое, как ей казалось, лицо. Ей казалось, что это так должно быть, и вместе с тем становилось страшно и грустно.
Один раз она скоро взошла наверх и тяжело запыхалась. Тотчас же невольно она придумала себе дело внизу и оттуда вбежала опять наверх, пробуя силы и наблюдая за собой.
Другой раз она позвала Дуняшу, и голос ее задребезжал. Она еще раз кликнула ее, несмотря на то, что она слышала ее шаги, – кликнула тем грудным голосом, которым она певала, и прислушалась к нему.
Она не знала этого, не поверила бы, но под казавшимся ей непроницаемым слоем ила, застлавшим ее душу, уже пробивались тонкие, нежные молодые иглы травы, которые должны были укорениться и так застлать своими жизненными побегами задавившее ее горе, что его скоро будет не видно и не заметно. Рана заживала изнутри. В конце января княжна Марья уехала в Москву, и граф настоял на том, чтобы Наташа ехала с нею, с тем чтобы посоветоваться с докторами.


После столкновения при Вязьме, где Кутузов не мог удержать свои войска от желания опрокинуть, отрезать и т. д., дальнейшее движение бежавших французов и за ними бежавших русских, до Красного, происходило без сражений. Бегство было так быстро, что бежавшая за французами русская армия не могла поспевать за ними, что лошади в кавалерии и артиллерии становились и что сведения о движении французов были всегда неверны.
Люди русского войска были так измучены этим непрерывным движением по сорок верст в сутки, что не могли двигаться быстрее.
Чтобы понять степень истощения русской армии, надо только ясно понять значение того факта, что, потеряв ранеными и убитыми во все время движения от Тарутина не более пяти тысяч человек, не потеряв сотни людей пленными, армия русская, вышедшая из Тарутина в числе ста тысяч, пришла к Красному в числе пятидесяти тысяч.
Быстрое движение русских за французами действовало на русскую армию точно так же разрушительно, как и бегство французов. Разница была только в том, что русская армия двигалась произвольно, без угрозы погибели, которая висела над французской армией, и в том, что отсталые больные у французов оставались в руках врага, отсталые русские оставались у себя дома. Главная причина уменьшения армии Наполеона была быстрота движения, и несомненным доказательством тому служит соответственное уменьшение русских войск.
Вся деятельность Кутузова, как это было под Тарутиным и под Вязьмой, была направлена только к тому, чтобы, – насколько то было в его власти, – не останавливать этого гибельного для французов движения (как хотели в Петербурге и в армии русские генералы), а содействовать ему и облегчить движение своих войск.
Но, кроме того, со времени выказавшихся в войсках утомления и огромной убыли, происходивших от быстроты движения, еще другая причина представлялась Кутузову для замедления движения войск и для выжидания. Цель русских войск была – следование за французами. Путь французов был неизвестен, и потому, чем ближе следовали наши войска по пятам французов, тем больше они проходили расстояния. Только следуя в некотором расстоянии, можно было по кратчайшему пути перерезывать зигзаги, которые делали французы. Все искусные маневры, которые предлагали генералы, выражались в передвижениях войск, в увеличении переходов, а единственно разумная цель состояла в том, чтобы уменьшить эти переходы. И к этой цели во всю кампанию, от Москвы до Вильны, была направлена деятельность Кутузова – не случайно, не временно, но так последовательно, что он ни разу не изменил ей.
Кутузов знал не умом или наукой, а всем русским существом своим знал и чувствовал то, что чувствовал каждый русский солдат, что французы побеждены, что враги бегут и надо выпроводить их; но вместе с тем он чувствовал, заодно с солдатами, всю тяжесть этого, неслыханного по быстроте и времени года, похода.
Но генералам, в особенности не русским, желавшим отличиться, удивить кого то, забрать в плен для чего то какого нибудь герцога или короля, – генералам этим казалось теперь, когда всякое сражение было и гадко и бессмысленно, им казалось, что теперь то самое время давать сражения и побеждать кого то. Кутузов только пожимал плечами, когда ему один за другим представляли проекты маневров с теми дурно обутыми, без полушубков, полуголодными солдатами, которые в один месяц, без сражений, растаяли до половины и с которыми, при наилучших условиях продолжающегося бегства, надо было пройти до границы пространство больше того, которое было пройдено.
В особенности это стремление отличиться и маневрировать, опрокидывать и отрезывать проявлялось тогда, когда русские войска наталкивались на войска французов.
Так это случилось под Красным, где думали найти одну из трех колонн французов и наткнулись на самого Наполеона с шестнадцатью тысячами. Несмотря на все средства, употребленные Кутузовым, для того чтобы избавиться от этого пагубного столкновения и чтобы сберечь свои войска, три дня у Красного продолжалось добивание разбитых сборищ французов измученными людьми русской армии.
Толь написал диспозицию: die erste Colonne marschiert [первая колонна направится туда то] и т. д. И, как всегда, сделалось все не по диспозиции. Принц Евгений Виртембергский расстреливал с горы мимо бегущие толпы французов и требовал подкрепления, которое не приходило. Французы, по ночам обегая русских, рассыпались, прятались в леса и пробирались, кто как мог, дальше.
Милорадович, который говорил, что он знать ничего не хочет о хозяйственных делах отряда, которого никогда нельзя было найти, когда его было нужно, «chevalier sans peur et sans reproche» [«рыцарь без страха и упрека»], как он сам называл себя, и охотник до разговоров с французами, посылал парламентеров, требуя сдачи, и терял время и делал не то, что ему приказывали.
– Дарю вам, ребята, эту колонну, – говорил он, подъезжая к войскам и указывая кавалеристам на французов. И кавалеристы на худых, ободранных, еле двигающихся лошадях, подгоняя их шпорами и саблями, рысцой, после сильных напряжений, подъезжали к подаренной колонне, то есть к толпе обмороженных, закоченевших и голодных французов; и подаренная колонна кидала оружие и сдавалась, чего ей уже давно хотелось.
Под Красным взяли двадцать шесть тысяч пленных, сотни пушек, какую то палку, которую называли маршальским жезлом, и спорили о том, кто там отличился, и были этим довольны, но очень сожалели о том, что не взяли Наполеона или хоть какого нибудь героя, маршала, и упрекали в этом друг друга и в особенности Кутузова.
Люди эти, увлекаемые своими страстями, были слепыми исполнителями только самого печального закона необходимости; но они считали себя героями и воображали, что то, что они делали, было самое достойное и благородное дело. Они обвиняли Кутузова и говорили, что он с самого начала кампании мешал им победить Наполеона, что он думает только об удовлетворении своих страстей и не хотел выходить из Полотняных Заводов, потому что ему там было покойно; что он под Красным остановил движенье только потому, что, узнав о присутствии Наполеона, он совершенно потерялся; что можно предполагать, что он находится в заговоре с Наполеоном, что он подкуплен им, [Записки Вильсона. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ] и т. д., и т. д.
Мало того, что современники, увлекаемые страстями, говорили так, – потомство и история признали Наполеона grand, a Кутузова: иностранцы – хитрым, развратным, слабым придворным стариком; русские – чем то неопределенным – какой то куклой, полезной только по своему русскому имени…


В 12 м и 13 м годах Кутузова прямо обвиняли за ошибки. Государь был недоволен им. И в истории, написанной недавно по высочайшему повелению, сказано, что Кутузов был хитрый придворный лжец, боявшийся имени Наполеона и своими ошибками под Красным и под Березиной лишивший русские войска славы – полной победы над французами. [История 1812 года Богдановича: характеристика Кутузова и рассуждение о неудовлетворительности результатов Красненских сражений. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ]
Такова судьба не великих людей, не grand homme, которых не признает русский ум, а судьба тех редких, всегда одиноких людей, которые, постигая волю провидения, подчиняют ей свою личную волю. Ненависть и презрение толпы наказывают этих людей за прозрение высших законов.
Для русских историков – странно и страшно сказать – Наполеон – это ничтожнейшее орудие истории – никогда и нигде, даже в изгнании, не выказавший человеческого достоинства, – Наполеон есть предмет восхищения и восторга; он grand. Кутузов же, тот человек, который от начала и до конца своей деятельности в 1812 году, от Бородина и до Вильны, ни разу ни одним действием, ни словом не изменяя себе, являет необычайный s истории пример самоотвержения и сознания в настоящем будущего значения события, – Кутузов представляется им чем то неопределенным и жалким, и, говоря о Кутузове и 12 м годе, им всегда как будто немножко стыдно.
А между тем трудно себе представить историческое лицо, деятельность которого так неизменно постоянно была бы направлена к одной и той же цели. Трудно вообразить себе цель, более достойную и более совпадающую с волею всего народа. Еще труднее найти другой пример в истории, где бы цель, которую поставило себе историческое лицо, была бы так совершенно достигнута, как та цель, к достижению которой была направлена вся деятельность Кутузова в 1812 году.
Кутузов никогда не говорил о сорока веках, которые смотрят с пирамид, о жертвах, которые он приносит отечеству, о том, что он намерен совершить или совершил: он вообще ничего не говорил о себе, не играл никакой роли, казался всегда самым простым и обыкновенным человеком и говорил самые простые и обыкновенные вещи. Он писал письма своим дочерям и m me Stael, читал романы, любил общество красивых женщин, шутил с генералами, офицерами и солдатами и никогда не противоречил тем людям, которые хотели ему что нибудь доказывать. Когда граф Растопчин на Яузском мосту подскакал к Кутузову с личными упреками о том, кто виноват в погибели Москвы, и сказал: «Как же вы обещали не оставлять Москвы, не дав сраженья?» – Кутузов отвечал: «Я и не оставлю Москвы без сражения», несмотря на то, что Москва была уже оставлена. Когда приехавший к нему от государя Аракчеев сказал, что надо бы Ермолова назначить начальником артиллерии, Кутузов отвечал: «Да, я и сам только что говорил это», – хотя он за минуту говорил совсем другое. Какое дело было ему, одному понимавшему тогда весь громадный смысл события, среди бестолковой толпы, окружавшей его, какое ему дело было до того, к себе или к нему отнесет граф Растопчин бедствие столицы? Еще менее могло занимать его то, кого назначат начальником артиллерии.