Ортогональный базис
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
- <math> ( e_i, e_j ) = \delta_{ij}\ </math>
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (<math>i\ne j</math>), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
- <math>\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n} </math>
можно найти так:
- <math>\ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})} </math>.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора <math>\mathbf{a}</math> квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
- <math>(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,</math>
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов <math>e_1,e_2,...,e_n,...</math> гильбертова пространства <math>X</math> такая, что любой элемент <math>x\in X</math> однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
- <math>x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,</math>
называемого рядом Фурье элемента <math>x</math> по системе <math>\{e_n\}</math>.
Часто базис <math>\{e_n\}</math> выбирается так, что <math>|e_n|=1</math>, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа <math>a_n</math>, называются коэффициентами Фурье элемента <math>x</math> по ортонормированному базису <math>\{e_n\}</math>, имеют вид
- <math>a_n=( x,e_n )</math>.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система <math>\{e_n\}</math> была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел <math>\{a_n\}</math> такая, что <math>\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty</math>, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом <math>\{e_n\}</math> ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_ne_n</math> — сходится по норме к некоторому элементу <math>x\in X</math>. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству <math>l_2</math> (теорема Рисса — Фишера).
Примеры
- Стандартный базис <math>e_1=(1, 0,\ldots,0)^\mathrm{T}, e_2=(0, 1,\ldots, 0)^\mathrm{T}, \ldots e_n=(0, 0,\ldots,1)^\mathrm{T}</math> в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
- Множество <math>\{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, n \in \mathbb{Z}\}</math> образует ортонормированый базис в L2([-π, π]).
Напишите отзыв о статье "Ортогональный базис"
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.
См. также
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Ортогональный базис
28 го октября Кутузов с армией перешел на левый берег Дуная и в первый раз остановился, положив Дунай между собой и главными силами французов. 30 го он атаковал находившуюся на левом берегу Дуная дивизию Мортье и разбил ее. В этом деле в первый раз взяты трофеи: знамя, орудия и два неприятельские генерала. В первый раз после двухнедельного отступления русские войска остановились и после борьбы не только удержали поле сражения, но прогнали французов. Несмотря на то, что войска были раздеты, изнурены, на одну треть ослаблены отсталыми, ранеными, убитыми и больными; несмотря на то, что на той стороне Дуная были оставлены больные и раненые с письмом Кутузова, поручавшим их человеколюбию неприятеля; несмотря на то, что большие госпитали и дома в Кремсе, обращенные в лазареты, не могли уже вмещать в себе всех больных и раненых, – несмотря на всё это, остановка при Кремсе и победа над Мортье значительно подняли дух войска. Во всей армии и в главной квартире ходили самые радостные, хотя и несправедливые слухи о мнимом приближении колонн из России, о какой то победе, одержанной австрийцами, и об отступлении испуганного Бонапарта.Князь Андрей находился во время сражения при убитом в этом деле австрийском генерале Шмите. Под ним была ранена лошадь, и сам он был слегка оцарапан в руку пулей. В знак особой милости главнокомандующего он был послан с известием об этой победе к австрийскому двору, находившемуся уже не в Вене, которой угрожали французские войска, а в Брюнне. В ночь сражения, взволнованный, но не усталый(несмотря на свое несильное на вид сложение, князь Андрей мог переносить физическую усталость гораздо лучше самых сильных людей), верхом приехав с донесением от Дохтурова в Кремс к Кутузову, князь Андрей был в ту же ночь отправлен курьером в Брюнн. Отправление курьером, кроме наград, означало важный шаг к повышению.
Ночь была темная, звездная; дорога чернелась между белевшим снегом, выпавшим накануне, в день сражения. То перебирая впечатления прошедшего сражения, то радостно воображая впечатление, которое он произведет известием о победе, вспоминая проводы главнокомандующего и товарищей, князь Андрей скакал в почтовой бричке, испытывая чувство человека, долго ждавшего и, наконец, достигшего начала желаемого счастия. Как скоро он закрывал глаза, в ушах его раздавалась пальба ружей и орудий, которая сливалась со стуком колес и впечатлением победы. То ему начинало представляться, что русские бегут, что он сам убит; но он поспешно просыпался, со счастием как будто вновь узнавал, что ничего этого не было, и что, напротив, французы бежали. Он снова вспоминал все подробности победы, свое спокойное мужество во время сражения и, успокоившись, задремывал… После темной звездной ночи наступило яркое, веселое утро. Снег таял на солнце, лошади быстро скакали, и безразлично вправе и влеве проходили новые разнообразные леса, поля, деревни.
На одной из станций он обогнал обоз русских раненых. Русский офицер, ведший транспорт, развалясь на передней телеге, что то кричал, ругая грубыми словами солдата. В длинных немецких форшпанах тряслось по каменистой дороге по шести и более бледных, перевязанных и грязных раненых. Некоторые из них говорили (он слышал русский говор), другие ели хлеб, самые тяжелые молча, с кротким и болезненным детским участием, смотрели на скачущего мимо их курьера.
Князь Андрей велел остановиться и спросил у солдата, в каком деле ранены. «Позавчера на Дунаю», отвечал солдат. Князь Андрей достал кошелек и дал солдату три золотых.
– На всех, – прибавил он, обращаясь к подошедшему офицеру. – Поправляйтесь, ребята, – обратился он к солдатам, – еще дела много.
– Что, г. адъютант, какие новости? – спросил офицер, видимо желая разговориться.
– Хорошие! Вперед, – крикнул он ямщику и поскакал далее.
Уже было совсем темно, когда князь Андрей въехал в Брюнн и увидал себя окруженным высокими домами, огнями лавок, окон домов и фонарей, шумящими по мостовой красивыми экипажами и всею тою атмосферой большого оживленного города, которая всегда так привлекательна для военного человека после лагеря. Князь Андрей, несмотря на быструю езду и бессонную ночь, подъезжая ко дворцу, чувствовал себя еще более оживленным, чем накануне. Только глаза блестели лихорадочным блеском, и мысли изменялись с чрезвычайною быстротой и ясностью. Живо представились ему опять все подробности сражения уже не смутно, но определенно, в сжатом изложении, которое он в воображении делал императору Францу. Живо представились ему случайные вопросы, которые могли быть ему сделаны,и те ответы,которые он сделает на них.Он полагал,что его сейчас же представят императору. Но у большого подъезда дворца к нему выбежал чиновник и, узнав в нем курьера, проводил его на другой подъезд.
