Основная теорема арифметики

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:[1][2]

Каждое натуральное число <math>n>1</math> можно представить в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Если формально условиться, что произведение пустого множества чисел равно 1, то условие <math>n>1</math> в формулировке можно опустить, тогда для единицы подразумевается разложение на пустое множество простых: <math>1=1</math>[3][4].

Как следствие, каждое натуральное число <math>n</math> единственным образом представимо в виде

<math>n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k},</math> где <math>p_1 < p_2 < \dots < p_k</math> — простые числа, и <math>d_1,\dots,d_k</math> — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа <math>n</math> называется его каноническим разложением на простые сомножители.





История

В древнегреческой математике основная теорема арифметики в современной формулировке не встречается. Однако в «Началах» Евклида есть предложения, которые ей эквивалентны. В частности, теорема легко следует из так называемой леммы Евклида (предложение 30 в VII книге). Нет точной формулировки и в книге «Введение в теорию чисел» (фр. Essai sur la Théorie des Nombres) Лежандра, написанной в 1798 году. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге Гаусса «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), изданной в 1801 году.[5]

Следствия

Н. О. Д.<math>(a,b) = p_1^{min(d_1,d_1')}\cdot p_2^{min(d_2,d_2')}\cdot p_3^{min(d_3,d_3')}\cdot p_4^{min(d_4,d_4')}\cdots = \prod p_i^{min(d_i,d_i')},</math>
Н. О. К.<math>(a,b) = p_1^{max(d_1,d_1')}\cdot p_2^{max(d_2,d_2')}\cdot p_3^{max(d_3,d_3')}\cdot p_4^{max(d_4,d_4')}\cdots = \prod p_i^{max(d_i,d_i')},</math>


  • Зная разложение числа на множители, можно сразу указать все делители этого числа.

Пример: <math> N = 1164 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 97 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 97^1</math>.

Используя различные комбинации простых чисел из разложения, можно составить множество всех делителей исходного числа. Для нашего примера это будут следующие делители:

<math> 1, 2, 3, 97, 2\cdot2, 2\cdot3, 2\cdot97, 3\cdot97, 2\cdot2\cdot3, 2\cdot2\cdot97, 2\cdot3\cdot97, 2\cdot2\cdot3\cdot97</math>

Для того, чтобы найти количество всех делителей исходного числа, достаточно посмотреть на каноническое разложение, указанное в начале статьи. Натуральные числа <math>d_1,...,d_k</math> — это не что иное, как количество соответствующих простых чисел <math>p_1,...,p_k</math>, встречающихся в разложении исходного числа. Таким образом, если мы хотим найти количество всех делителей данного числа, достаточно подсчитать количество всевозможных комбинаций значений чисел <math>d_1,...,d_k</math>. В нашем примере число 2 встречается 2 раза. Следовательно, при нахождении делителей числа <math>N</math>, <math>d_3</math> может принимать целые значения от 0 до 2, то есть всего 3 значения. Значит, чтобы посчитать общее количество делителей, нужно перемножить количество всевозможных значений у разных <math>d_k</math>. В нашем случае <math>m_{del} = 2\cdot2\cdot3 = 12 </math>

  • Вычисление произведения двух чисел можно провести таким образом:
<math>a\cdot b = p_1^{d_1+d_1'}\,p_2^{d_2+d_2'}\,p_3^{d_3+d_3'}\,p_4^{d_4+d_4'}\cdots = \prod p_i^{d_i+d_i'}.</math>

Пример: <math>68\cdot 36 = (2\cdot2\cdot17)\cdot(2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot) = 2^4\cdot 3^2\cdot17</math>

  • Иногда, находя общие делители, можно заметно упростить вычисление суммы (разности) двух чисел.

Пример (упростить выражение): <math>8^5 + 8^3 \cdot 61 = 8^3 \cdot (8^2 + 61) = 8^3 \cdot 125 = 8^3 \cdot 5^3 = ... </math>

Доказательство (метод индукции)

Существование: Докажем существование разложения числа <math>n</math>, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, которое меньше <math>n</math>. Если <math>n</math> — простое, то существование доказано. Если <math>n</math> — составное, то оно может быть представлено в виде произведения двух чисел <math>a</math> и <math>b</math>, каждое из которых больше 1, но меньше <math>n</math>. Числа <math>a</math> и <math>b</math> либо являются простыми, либо могут быть разложены в произведение простых (уже доказано ранее). Подставив их разложение в <math> n = a\cdot b</math>, получим разложение исходного числа <math>n</math> на простые. Существование доказано.[6]

Единственность: Сначала докажем следующую лемму: если разложение числа <math>m</math> на простые множители единственно, то каждый простой делитель <math>m</math> должен входить в это разложение. Пусть число <math>m</math> делится на <math>p</math> и при этом <math>p</math> — простое. Тогда можно представить исходное число как <math>m = p\cdot m_1</math>, где <math>m_1</math> — натуральное число. Тогда разложение <math>m</math> — есть разложение числа <math>m_1</math>, с добавленным множителем <math>p</math>. По нашему предположению, существует только одно разложение числа <math>m</math>, следовательно, <math>p</math> должно встретиться в нём. Лемма доказана.

Теперь докажем единственность методом математической индукции, то есть докажем единственность разложения числа <math>n</math>, если уже доказана единственность разложения всех чисел, которые меньше <math>n</math>. Если <math>n</math> — простое, то единственность очевидна. Если <math>n</math> — составное, то предположим, что существуют два разных разложения числа <math>n</math> в произведение простых:

<math>n = p_0\cdot p_1 \cdot p_2\cdot p_3 \cdot ... = q_0\cdot q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot ...</math>, где <math>p_i, q_i</math> — простые числа.

Никакое простое число не может встретиться в обоих разложениях сразу, так как, если бы встретилось, то мы могли бы сократить на него и получили бы различные разложения числа, меньшего <math>n</math>, что противоречит предположению индукции.

Пусть <math>p_0</math> — наименьший из простых множителей, которые встречаются в первом разложении. Так как <math>n</math> — составное, то существует ещё хотя бы один множитель в разложении. И, так как <math>p_0</math> — наименьший из всех множителей, то <math>n \geqslant p_0^2</math>. Во втором разложении аналогично: <math> n \geqslant q_0^2</math>. Так как <math> p_0 \neq q_0 </math>, то одно из этих неравенств — строгое, следовательно, <math>p_0\cdot q_0 < n</math>

Число <math> n - p_0 \cdot q_0 </math> — натуральное число, которое меньше <math>n</math>, следовательно, оно может быть представлено как произведение простых единственным способом. Так как <math>n</math> делится на <math>p_0</math>, то и <math>n - p_0\cdot q_0</math> делится на <math>p_0</math>, следовательно, согласно лемме, <math>p_0</math> должно входить в разложение числа <math> n - p_0\cdot q_0</math>. Аналогично, <math> q_0</math> тоже должно входить в разложение этого числа.

Отсюда следует, что число <math> n</math> делится на <math>p_0\cdot q_0</math>, следовательно, <math> p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ...</math> делится на <math>q_0</math>. Однако это противоречит доказанной лемме, так как число <math> p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... < n </math> и <math>q_0</math> не является одним из <math> p_1, p_2, p_3, ...</math>. Полученное противоречие доказывает единственность разложения числа <math>n</math> на простые множители. [7]

Другое доказательство (алгоритм Евклида)

Можно доказать основную теорему арифметики с помощью алгоритма Евклида.[8] Здесь алгоритм Евклида будет присутствовать не в явном виде, а будет использоваться следствие из него:

Наибольший общий делитель <math> n\cdot a</math> и <math>n\cdot b </math> есть <math>n</math> раз взятый наибольший общий делитель a и b.

Из данного следствия можно доказать лемму Евклида:

Если p — простое число и произведение двух чисел делится на p, то хотя бы один из двух множителей делится на p.

Теперь используем данную лемму, чтобы доказать основную теорему арифметики.

Существование: является следствием леммы Евклида. Для доказательства этой теоремы рассмотрим простое число p и произведение <math> n \cdot a </math>. Пусть <math> n\cdot a</math> делится на p, но a не делится на p. Так как p — простое, то его единственными делителями являются 1 и p. Тогда 1 — единственный общий делитель p и a. Следовательно, Н. О. Д. <math>n\cdot p</math> и <math> n\cdot a</math> равен n. Очевидно, что <math> n\cdot p</math> делится на p. Следовательно, так как каждый общий делитель двух чисел также является и делителем их Н. О.Д, а p является общим делителем <math>n\cdot p</math> и <math> n\cdot a</math>, то n делится на p.

Единственность: пусть число n имеет два разных разложения на простые числа:

<math> n = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ... = p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot ... </math>

Так как <math> p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot ... </math> делится на <math>p_1</math>, то либо <math>p'_1</math>, либо <math> p'_2\cdot p'_3\cdot ...</math> делится на <math>p_1</math>. Если <math> p'_1</math> делится на <math>p_1</math>, то <math> p'_1 = p_1</math>, так как оба эти числа являются простыми. Если же <math> p'_2\cdot p'_3\cdot ...</math> делится на <math>p_1</math>, то продолжим предыдущие рассуждения. В конце концов, придем к результату, что какое-либо из чисел <math> p'_1, p'_2, p'_3, ...</math> равно числу <math> p_1</math>. Следовательно, в конце придем к выводу, что оба разложения числа совпадают. Таким образом доказана единственность разложения.

Основная теорема арифметики в кольцах

Рассмотрим основную теорему арифметики в более общем случае: в кольцах с нормой и в евклидовых кольцах.

Основная теорема арифметики в кольце целых гауссовых чисел

Основная теорема арифметики имеет место в кольце гауссовых целых чисел. Идея доказательства состоит в нахождении алгоритма деления с остатком в данном кольце чисел.[9] Кольцо, в котором имеется алгоритм деления с остатком, называется евклидовым. Для любого евклидова кольца доказательство основной теоремы арифметики можно провести точно так же, как для натуральных чисел.

Неединственность разложения в кольце

Однако действие данной теоремы не распространяется на все кольца[9].

Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида <math> a = m + i\cdot n\cdot \sqrt{5} </math>, где <math> m</math>,<math>n</math> — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида. Тогда получим кольцо с нормой <math> N(a) = m^2 + 5 \cdot n^2 = |a|^2 </math>.

Для числа 6 в этом кольце существуют два различных разложения: <math> 6 = 2\cdot3 = (1 - i\cdot \sqrt{5})\cdot(1 + i\cdot \sqrt{5}) </math>. Остаётся доказать, что числа <math>2, 3, 1\pm i\cdot \sqrt{5} </math> являются простыми. Докажем, что число 2 — простое. Пусть <math> 2 = (m_1 + i\cdot n_1 \cdot \sqrt{5}) \cdot (m_2 + i\cdot n_2 \cdot \sqrt{5}) </math>. Тогда <math> 4 = (m_1^2 + 5\cdot n_1^2)\cdot(m_2^2 + 5\cdot n_2^2) </math>. Следовательно, <math> m_1^2 + 5\cdot n_1^2 = m_2^2 + 5\cdot n_2^2 = 2 </math>.

Но в нашем кольце нет чисел с нормой 2, следовательно, такое разложение невозможно, поэтому число 2 — простое. Аналогично рассматриваются числа <math> 3, 1\pm i\cdot \sqrt{5} </math>.

Кольца, в которых основная теорема арифметики всё же выполняется, называются факториальными.

См. также

Напишите отзыв о статье "Основная теорема арифметики"

Примечания

Литература

  • Виноградов И. М. [www.mccme.ru/free-books/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел]. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
  • Ошибка Lua : attempt to index local 'entity' (a nil value).
  • Жиков В.В. [www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0003_112.pdf Основная теорема арифметики] // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112–117.
  • Калужнин Л. А. [plm.mccme.ru/ann/a47.htm Основная теорема арифметики]. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
  • Курант Р., Роббинс Г. Дополнение к главе I, § 4.2 // [www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] — МЦНМО, 2000. — 568 с.
  • Ошибка Lua : attempt to index local 'entity' (a nil value).

Отрывок, характеризующий Основная теорема арифметики

Пьеру давно уже приходила мысль поступить в военную службу, и он бы исполнил ее, ежели бы не мешала ему, во первых, принадлежность его к тому масонскому обществу, с которым он был связан клятвой и которое проповедывало вечный мир и уничтожение войны, и, во вторых, то, что ему, глядя на большое количество москвичей, надевших мундиры и проповедывающих патриотизм, было почему то совестно предпринять такой шаг. Главная же причина, по которой он не приводил в исполнение своего намерения поступить в военную службу, состояла в том неясном представлении, что он l'Russe Besuhof, имеющий значение звериного числа 666, что его участие в великом деле положения предела власти зверю, глаголящему велика и хульна, определено предвечно и что поэтому ему не должно предпринимать ничего и ждать того, что должно совершиться.


У Ростовых, как и всегда по воскресениям, обедал кое кто из близких знакомых.
Пьер приехал раньше, чтобы застать их одних.
Пьер за этот год так потолстел, что он был бы уродлив, ежели бы он не был так велик ростом, крупен членами и не был так силен, что, очевидно, легко носил свою толщину.
Он, пыхтя и что то бормоча про себя, вошел на лестницу. Кучер его уже не спрашивал, дожидаться ли. Он знал, что когда граф у Ростовых, то до двенадцатого часу. Лакеи Ростовых радостно бросились снимать с него плащ и принимать палку и шляпу. Пьер, по привычке клубной, и палку и шляпу оставлял в передней.
Первое лицо, которое он увидал у Ростовых, была Наташа. Еще прежде, чем он увидал ее, он, снимая плащ в передней, услыхал ее. Она пела солфеджи в зале. Он внал, что она не пела со времени своей болезни, и потому звук ее голоса удивил и обрадовал его. Он тихо отворил дверь и увидал Наташу в ее лиловом платье, в котором она была у обедни, прохаживающуюся по комнате и поющую. Она шла задом к нему, когда он отворил дверь, но когда она круто повернулась и увидала его толстое, удивленное лицо, она покраснела и быстро подошла к нему.
– Я хочу попробовать опять петь, – сказала она. – Все таки это занятие, – прибавила она, как будто извиняясь.
– И прекрасно.
– Как я рада, что вы приехали! Я нынче так счастлива! – сказала она с тем прежним оживлением, которого уже давно не видел в ней Пьер. – Вы знаете, Nicolas получил Георгиевский крест. Я так горда за него.
– Как же, я прислал приказ. Ну, я вам не хочу мешать, – прибавил он и хотел пройти в гостиную.
Наташа остановила его.
– Граф, что это, дурно, что я пою? – сказала она, покраснев, но, не спуская глаз, вопросительно глядя на Пьера.
– Нет… Отчего же? Напротив… Но отчего вы меня спрашиваете?
– Я сама не знаю, – быстро отвечала Наташа, – но я ничего бы не хотела сделать, что бы вам не нравилось. Я вам верю во всем. Вы не знаете, как вы для меля важны и как вы много для меня сделали!.. – Она говорила быстро и не замечая того, как Пьер покраснел при этих словах. – Я видела в том же приказе он, Болконский (быстро, шепотом проговорила она это слово), он в России и опять служит. Как вы думаете, – сказала она быстро, видимо, торопясь говорить, потому что она боялась за свои силы, – простит он меня когда нибудь? Не будет он иметь против меня злого чувства? Как вы думаете? Как вы думаете?
– Я думаю… – сказал Пьер. – Ему нечего прощать… Ежели бы я был на его месте… – По связи воспоминаний, Пьер мгновенно перенесся воображением к тому времени, когда он, утешая ее, сказал ей, что ежели бы он был не он, а лучший человек в мире и свободен, то он на коленях просил бы ее руки, и то же чувство жалости, нежности, любви охватило его, и те же слова были у него на устах. Но она не дала ему времени сказать их.
– Да вы – вы, – сказала она, с восторгом произнося это слово вы, – другое дело. Добрее, великодушнее, лучше вас я не знаю человека, и не может быть. Ежели бы вас не было тогда, да и теперь, я не знаю, что бы было со мною, потому что… – Слезы вдруг полились ей в глаза; она повернулась, подняла ноты к глазам, запела и пошла опять ходить по зале.
В это же время из гостиной выбежал Петя.
Петя был теперь красивый, румяный пятнадцатилетний мальчик с толстыми, красными губами, похожий на Наташу. Он готовился в университет, но в последнее время, с товарищем своим Оболенским, тайно решил, что пойдет в гусары.
Петя выскочил к своему тезке, чтобы переговорить о деле.
Он просил его узнать, примут ли его в гусары.
Пьер шел по гостиной, не слушая Петю.
Петя дернул его за руку, чтоб обратить на себя его вниманье.
– Ну что мое дело, Петр Кирилыч. Ради бога! Одна надежда на вас, – говорил Петя.
– Ах да, твое дело. В гусары то? Скажу, скажу. Нынче скажу все.
– Ну что, mon cher, ну что, достали манифест? – спросил старый граф. – А графинюшка была у обедни у Разумовских, молитву новую слышала. Очень хорошая, говорит.
– Достал, – отвечал Пьер. – Завтра государь будет… Необычайное дворянское собрание и, говорят, по десяти с тысячи набор. Да, поздравляю вас.
– Да, да, слава богу. Ну, а из армии что?
– Наши опять отступили. Под Смоленском уже, говорят, – отвечал Пьер.
– Боже мой, боже мой! – сказал граф. – Где же манифест?
– Воззвание! Ах, да! – Пьер стал в карманах искать бумаг и не мог найти их. Продолжая охлопывать карманы, он поцеловал руку у вошедшей графини и беспокойно оглядывался, очевидно, ожидая Наташу, которая не пела больше, но и не приходила в гостиную.
– Ей богу, не знаю, куда я его дел, – сказал он.
– Ну уж, вечно растеряет все, – сказала графиня. Наташа вошла с размягченным, взволнованным лицом и села, молча глядя на Пьера. Как только она вошла в комнату, лицо Пьера, до этого пасмурное, просияло, и он, продолжая отыскивать бумаги, несколько раз взглядывал на нее.
– Ей богу, я съезжу, я дома забыл. Непременно…
– Ну, к обеду опоздаете.
– Ах, и кучер уехал.
Но Соня, пошедшая в переднюю искать бумаги, нашла их в шляпе Пьера, куда он их старательно заложил за подкладку. Пьер было хотел читать.
– Нет, после обеда, – сказал старый граф, видимо, в этом чтении предвидевший большое удовольствие.
За обедом, за которым пили шампанское за здоровье нового Георгиевского кавалера, Шиншин рассказывал городские новости о болезни старой грузинской княгини, о том, что Метивье исчез из Москвы, и о том, что к Растопчину привели какого то немца и объявили ему, что это шампиньон (так рассказывал сам граф Растопчин), и как граф Растопчин велел шампиньона отпустить, сказав народу, что это не шампиньон, а просто старый гриб немец.
– Хватают, хватают, – сказал граф, – я графине и то говорю, чтобы поменьше говорила по французски. Теперь не время.
– А слышали? – сказал Шиншин. – Князь Голицын русского учителя взял, по русски учится – il commence a devenir dangereux de parler francais dans les rues. [становится опасным говорить по французски на улицах.]
– Ну что ж, граф Петр Кирилыч, как ополченье то собирать будут, и вам придется на коня? – сказал старый граф, обращаясь к Пьеру.
Пьер был молчалив и задумчив во все время этого обеда. Он, как бы не понимая, посмотрел на графа при этом обращении.
– Да, да, на войну, – сказал он, – нет! Какой я воин! А впрочем, все так странно, так странно! Да я и сам не понимаю. Я не знаю, я так далек от военных вкусов, но в теперешние времена никто за себя отвечать не может.
После обеда граф уселся покойно в кресло и с серьезным лицом попросил Соню, славившуюся мастерством чтения, читать.
– «Первопрестольной столице нашей Москве.
Неприятель вошел с великими силами в пределы России. Он идет разорять любезное наше отечество», – старательно читала Соня своим тоненьким голоском. Граф, закрыв глаза, слушал, порывисто вздыхая в некоторых местах.
Наташа сидела вытянувшись, испытующе и прямо глядя то на отца, то на Пьера.
Пьер чувствовал на себе ее взгляд и старался не оглядываться. Графиня неодобрительно и сердито покачивала головой против каждого торжественного выражения манифеста. Она во всех этих словах видела только то, что опасности, угрожающие ее сыну, еще не скоро прекратятся. Шиншин, сложив рот в насмешливую улыбку, очевидно приготовился насмехаться над тем, что первое представится для насмешки: над чтением Сони, над тем, что скажет граф, даже над самым воззванием, ежели не представится лучше предлога.
Прочтя об опасностях, угрожающих России, о надеждах, возлагаемых государем на Москву, и в особенности на знаменитое дворянство, Соня с дрожанием голоса, происходившим преимущественно от внимания, с которым ее слушали, прочла последние слова: «Мы не умедлим сами стать посреди народа своего в сей столице и в других государства нашего местах для совещания и руководствования всеми нашими ополчениями, как ныне преграждающими пути врагу, так и вновь устроенными на поражение оного, везде, где только появится. Да обратится погибель, в которую он мнит низринуть нас, на главу его, и освобожденная от рабства Европа да возвеличит имя России!»
– Вот это так! – вскрикнул граф, открывая мокрые глаза и несколько раз прерываясь от сопенья, как будто к носу ему подносили склянку с крепкой уксусной солью. – Только скажи государь, мы всем пожертвуем и ничего не пожалеем.
Шиншин еще не успел сказать приготовленную им шутку на патриотизм графа, как Наташа вскочила с своего места и подбежала к отцу.
– Что за прелесть, этот папа! – проговорила она, целуя его, и она опять взглянула на Пьера с тем бессознательным кокетством, которое вернулось к ней вместе с ее оживлением.
– Вот так патриотка! – сказал Шиншин.
– Совсем не патриотка, а просто… – обиженно отвечала Наташа. – Вам все смешно, а это совсем не шутка…
– Какие шутки! – повторил граф. – Только скажи он слово, мы все пойдем… Мы не немцы какие нибудь…
– А заметили вы, – сказал Пьер, – что сказало: «для совещания».
– Ну уж там для чего бы ни было…
В это время Петя, на которого никто не обращал внимания, подошел к отцу и, весь красный, ломающимся, то грубым, то тонким голосом, сказал:
– Ну теперь, папенька, я решительно скажу – и маменька тоже, как хотите, – я решительно скажу, что вы пустите меня в военную службу, потому что я не могу… вот и всё…
Графиня с ужасом подняла глаза к небу, всплеснула руками и сердито обратилась к мужу.
– Вот и договорился! – сказала она.
Но граф в ту же минуту оправился от волнения.
– Ну, ну, – сказал он. – Вот воин еще! Глупости то оставь: учиться надо.
– Это не глупости, папенька. Оболенский Федя моложе меня и тоже идет, а главное, все равно я не могу ничему учиться теперь, когда… – Петя остановился, покраснел до поту и проговорил таки: – когда отечество в опасности.
– Полно, полно, глупости…
– Да ведь вы сами сказали, что всем пожертвуем.
– Петя, я тебе говорю, замолчи, – крикнул граф, оглядываясь на жену, которая, побледнев, смотрела остановившимися глазами на меньшого сына.
– А я вам говорю. Вот и Петр Кириллович скажет…
– Я тебе говорю – вздор, еще молоко не обсохло, а в военную службу хочет! Ну, ну, я тебе говорю, – и граф, взяв с собой бумаги, вероятно, чтобы еще раз прочесть в кабинете перед отдыхом, пошел из комнаты.