Основная теорема о вычетах

Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Теорема

Если <math>f</math> аналитична в некоторой замкнутой односвязной области <math>\overline G\subset\mathbb C</math>, за вычетом конечного числа особых точек <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math>, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру <math>\partial G</math>, то справедлива следующая формула:

<math>\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z)</math>,

где <math>\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f</math> — вычет функции <math>f</math> в точке <math>a_k</math>.

Обход контура <math>\partial G</math> производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx</math>

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру <math>C</math>, указанному на рисунке (<math>a>1</math>). Интеграл равен

<math>\int\limits_C {f(z)}\,dz =\int\limits_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.</math>

Так как <math>e^{itz}</math> — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где <math>z^2+1=0</math>. Т.к. <math>z^2+1=(z+i)(z-i)</math>, это возможно лишь при <math>z=i</math> или <math>z=-i</math>. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

<math>\frac{e^{itz}}{z^2+1}</math>	<math>{}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)</math>
	<math>{}=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} ,</math>

Вычет <math>f(z)</math> в <math>z=i</math> равен

<math>\operatorname{res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.</math>

Тогда, по основной теореме о вычетах:

<math>\int\limits_C f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname{res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.</math>

Контур <math>C</math> можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

<math>\int\limits_{\mbox{straight}}+\int\limits_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.</math>

Поэтому

<math>\int\limits_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int\limits_{\mbox{arc}}.</math>

Можно показать, что при <math>t>0</math>:

<math>\int\limits_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz

\rightarrow 0; \quad a\rightarrow\infty.</math>

Поэтому, если <math>t>0</math>, то

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.</math>

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку <math>-i</math> вместо <math>i</math>, можно показать, что при <math>t<0</math>:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,</math>

В итоге получаем:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.</math>

(При <math>t=0</math> интеграл вычислим обычными методами анализа и равен <math>\pi</math>)

Внешние ссылки

• [mathworld.wolfram.com/ResidueTheorem.html Residue theorem] in MathWorld
• [math.fullerton.edu/mathews/c2003/ResidueCalcMod.html Residue Theorem Module by John H. Mathews]

См. также

• Теорема Мореры
• Вычет

Отрывок, характеризующий Основная теорема о вычетах

Пьер улыбнулся, но по его улыбке видно было, что он понимал, что не анекдот Сергея Кузьмича интересовал в это время князя Василия; и князь Василий понял, что Пьер понимал это. Князь Василий вдруг пробурлил что то и вышел. Пьеру показалось, что даже князь Василий был смущен. Вид смущенья этого старого светского человека тронул Пьера; он оглянулся на Элен – и она, казалось, была смущена и взглядом говорила: «что ж, вы сами виноваты».
«Надо неизбежно перешагнуть, но не могу, я не могу», думал Пьер, и заговорил опять о постороннем, о Сергее Кузьмиче, спрашивая, в чем состоял этот анекдот, так как он его не расслышал. Элен с улыбкой отвечала, что она тоже не знает.
Когда князь Василий вошел в гостиную, княгиня тихо говорила с пожилой дамой о Пьере.
– Конечно, c'est un parti tres brillant, mais le bonheur, ma chere… – Les Marieiages se font dans les cieux, [Конечно, это очень блестящая партия, но счастье, моя милая… – Браки совершаются на небесах,] – отвечала пожилая дама.
Князь Василий, как бы не слушая дам, прошел в дальний угол и сел на диван. Он закрыл глаза и как будто дремал. Голова его было упала, и он очнулся.
– Aline, – сказал он жене, – allez voir ce qu'ils font. [Алина, посмотри, что они делают.]
Княгиня подошла к двери, прошлась мимо нее с значительным, равнодушным видом и заглянула в гостиную. Пьер и Элен так же сидели и разговаривали.
– Всё то же, – отвечала она мужу.
Князь Василий нахмурился, сморщил рот на сторону, щеки его запрыгали с свойственным ему неприятным, грубым выражением; он, встряхнувшись, встал, закинул назад голову и решительными шагами, мимо дам, прошел в маленькую гостиную. Он скорыми шагами, радостно подошел к Пьеру. Лицо князя было так необыкновенно торжественно, что Пьер испуганно встал, увидав его.
– Слава Богу! – сказал он. – Жена мне всё сказала! – Он обнял одной рукой Пьера, другой – дочь. – Друг мой Леля! Я очень, очень рад. – Голос его задрожал. – Я любил твоего отца… и она будет тебе хорошая жена… Бог да благословит вас!…
Он обнял дочь, потом опять Пьера и поцеловал его дурно пахучим ртом. Слезы, действительно, омочили его щеки.
– Княгиня, иди же сюда, – прокричал он.
Княгиня вышла и заплакала тоже. Пожилая дама тоже утиралась платком. Пьера целовали, и он несколько раз целовал руку прекрасной Элен. Через несколько времени их опять оставили одних.
«Всё это так должно было быть и не могло быть иначе, – думал Пьер, – поэтому нечего спрашивать, хорошо ли это или дурно? Хорошо, потому что определенно, и нет прежнего мучительного сомнения». Пьер молча держал руку своей невесты и смотрел на ее поднимающуюся и опускающуюся прекрасную грудь.
– Элен! – сказал он вслух и остановился.
«Что то такое особенное говорят в этих случаях», думал он, но никак не мог вспомнить, что такое именно говорят в этих случаях. Он взглянул в ее лицо. Она придвинулась к нему ближе. Лицо ее зарумянилось.
– Ах, снимите эти… как эти… – она указывала на очки.
Пьер снял очки, и глаза его сверх той общей странности глаз людей, снявших очки, глаза его смотрели испуганно вопросительно. Он хотел нагнуться над ее рукой и поцеловать ее; но она быстрым и грубым движеньем головы пeрехватила его губы и свела их с своими. Лицо ее поразило Пьера своим изменившимся, неприятно растерянным выражением.