Основное кинетическое уравнение

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее или управляющее уравнение. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).

Для процесса, не зависящего от прошлого системы, (марковский процесс) основное кинетическое уравнение имеет вид:

<math>\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right)</math>.

где

  • <math>P_m=\rho_{mm}</math> и <math>P_n=\rho_{nn}</math> — вероятности того, что система находится в состояниях <math>m</math> и <math>n</math>, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности <math>\rho</math>;
  • <math>w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m)</math> — вероятность перехода системы из состояния <math>n</math> в состояние <math>m</math> в единицу времени (скорость изменения вероятности);
  • <math>w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n)</math> — вероятность обратного перехода системы из состояния <math>m</math> в состояние <math>n</math> в единицу времени (скорость изменения вероятности).

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

<math>\frac{dP_n(t)}{dt}=\int\limits_{-\infty}^t\sum_m \left(w_{nm}(t-\tau)\cdot P_m(\tau)-w_{mn}(t-\tau)\cdot P_n(\tau)\right)\,d\tau</math>,

где

  • <math>w_{mn}(t-\tau)</math> — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной <math>x</math>, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности <math>W(x,t)</math>:

<math>\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int \left(w(x,x^\prime)\cdot W(x^\prime,t)-w(x^\prime,x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^\prime</math>

где

  • <math>w(x,x^\prime)</math> — плотность вероятности перехода <math>x^\prime\rarr x</math> в единицу времени.

Примеры основных уравнений:

Напишите отзыв о статье "Основное кинетическое уравнение"



Литература

Отрывок, характеризующий Основное кинетическое уравнение

Она приблизилась к нему и остановилась. Он взял ее руку и поцеловал.
– Любите ли вы меня?
– Да, да, – как будто с досадой проговорила Наташа, громко вздохнула, другой раз, чаще и чаще, и зарыдала.
– Об чем? Что с вами?
– Ах, я так счастлива, – отвечала она, улыбнулась сквозь слезы, нагнулась ближе к нему, подумала секунду, как будто спрашивая себя, можно ли это, и поцеловала его.
Князь Андрей держал ее руки, смотрел ей в глаза, и не находил в своей душе прежней любви к ней. В душе его вдруг повернулось что то: не было прежней поэтической и таинственной прелести желания, а была жалость к ее женской и детской слабости, был страх перед ее преданностью и доверчивостью, тяжелое и вместе радостное сознание долга, навеки связавшего его с нею. Настоящее чувство, хотя и не было так светло и поэтично как прежнее, было серьезнее и сильнее.
– Сказала ли вам maman, что это не может быть раньше года? – сказал князь Андрей, продолжая глядеть в ее глаза. «Неужели это я, та девочка ребенок (все так говорили обо мне) думала Наташа, неужели я теперь с этой минуты жена , равная этого чужого, милого, умного человека, уважаемого даже отцом моим. Неужели это правда! неужели правда, что теперь уже нельзя шутить жизнию, теперь уж я большая, теперь уж лежит на мне ответственность за всякое мое дело и слово? Да, что он спросил у меня?»
– Нет, – отвечала она, но она не понимала того, что он спрашивал.
– Простите меня, – сказал князь Андрей, – но вы так молоды, а я уже так много испытал жизни. Мне страшно за вас. Вы не знаете себя.
Наташа с сосредоточенным вниманием слушала, стараясь понять смысл его слов и не понимала.
– Как ни тяжел мне будет этот год, отсрочивающий мое счастье, – продолжал князь Андрей, – в этот срок вы поверите себя. Я прошу вас через год сделать мое счастье; но вы свободны: помолвка наша останется тайной и, ежели вы убедились бы, что вы не любите меня, или полюбили бы… – сказал князь Андрей с неестественной улыбкой.