Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности (<math>\sim</math>) на множестве <math>X</math> — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: <math>a \sim a</math> для любого <math>a</math> в <math>X</math>,
2. Симметричность: если <math>a \sim b</math>, то <math>b \sim a</math>,
3. Транзитивность: если <math>a \sim b</math> и <math>b \sim c</math>, то <math>a \sim c</math>.

Запись вида «<math>a \sim b</math>» читается как «<math>a</math> эквивалентно <math>b</math>».

Связанные определения

Классом эквивалентности <math>C(a)</math> элемента <math>a</math> называется подмножество элементов, эквивалентных <math>a</math>. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если <math>b \in C(a)</math>, то <math>C(a) = C(b)</math>.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества <math>X</math> по заданному отношению <math>\sim</math>, обозначается <math>X/{\sim}</math>.

Для класса эквивалентности элемента <math>a</math> используются следующие обозначения: <math>[a]</math>, <math>a / {\sim}</math>, <math>\overline{a}</math>.

Множество классов эквивалентности по отношению <math>\sim</math> является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

• Равенство («<math>\;=</math>»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («<math>\cong</math>»).
  • Отношение подобия («<math>\ \sim</math>»).
  • Отношение параллельности прямых («<math>\|</math>»).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция <math>f(x)</math> эквивалентна функции <math>g(x)</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>, если она допускает представление вида <math>f(x) = \alpha(x) g(x)</math>, где <math>\alpha(x) \rightarrow 1</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>. В этом случае пишут <math>f(x) \sim g(x)</math>, напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при <math>x \rightarrow x_0</math>. Если <math>g(x) \ne 0</math> при <math>x \ne x_0</math>, эквивалентность функций <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>, очевидно, равносильна соотношению <math>\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1</math>.

• Отношение равномощности множеств.

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности <math>\sim</math>, обозначается символом <math>X/{\sim}</math> и называется фактор-множеством относительно <math>\sim</math>. При этом сюръективное отображение

<math>p\colon x \mapsto C_x</math>

называется естественным отображением (или канонической проекцией) <math>X</math> на фактор-множество <math>X/{\sim}</math>.

Пусть <math>X</math>, <math>Y</math> — множества, <math>f\colon X \to Y</math> — отображение, тогда бинарное отношение <math>x \, {R_f} \,y</math> определённое правилом

<math>x \mathop{R_f} y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X</math>

является отношением эквивалентности на <math>X</math>. При этом отображение <math>f</math> индуцирует отображение <math>\overline{f}\colon X/R_f \to Y</math>, определяемое правилом

<math>\overline{f}(C_x) = f(x)</math>

или, что то же самое,

<math>(\overline{f}\circ p)(x) = f(x)</math>.

При этом получается факторизация отображения <math>f</math> на сюръективное отображение <math>p</math> и инъективное отображение <math>\overline{f}</math>.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.

Отрывок, характеризующий Отношение эквивалентности

– Послушайте, помните вы наш спор в Петербурге, – сказал Пьер, помните о…
– Помню, – поспешно отвечал князь Андрей, – я говорил, что падшую женщину надо простить, но я не говорил, что я могу простить. Я не могу.
– Разве можно это сравнивать?… – сказал Пьер. Князь Андрей перебил его. Он резко закричал:
– Да, опять просить ее руки, быть великодушным, и тому подобное?… Да, это очень благородно, но я не способен итти sur les brisees de monsieur [итти по стопам этого господина]. – Ежели ты хочешь быть моим другом, не говори со мною никогда про эту… про всё это. Ну, прощай. Так ты передашь…
Пьер вышел и пошел к старому князю и княжне Марье.
Старик казался оживленнее обыкновенного. Княжна Марья была такая же, как и всегда, но из за сочувствия к брату, Пьер видел в ней радость к тому, что свадьба ее брата расстроилась. Глядя на них, Пьер понял, какое презрение и злобу они имели все против Ростовых, понял, что нельзя было при них даже и упоминать имя той, которая могла на кого бы то ни было променять князя Андрея.
За обедом речь зашла о войне, приближение которой уже становилось очевидно. Князь Андрей не умолкая говорил и спорил то с отцом, то с Десалем, швейцарцем воспитателем, и казался оживленнее обыкновенного, тем оживлением, которого нравственную причину так хорошо знал Пьер.


В этот же вечер, Пьер поехал к Ростовым, чтобы исполнить свое поручение. Наташа была в постели, граф был в клубе, и Пьер, передав письма Соне, пошел к Марье Дмитриевне, интересовавшейся узнать о том, как князь Андрей принял известие. Через десять минут Соня вошла к Марье Дмитриевне.
– Наташа непременно хочет видеть графа Петра Кирилловича, – сказала она.
– Да как же, к ней что ль его свести? Там у вас не прибрано, – сказала Марья Дмитриевна.
– Нет, она оделась и вышла в гостиную, – сказала Соня.
Марья Дмитриевна только пожала плечами.
– Когда это графиня приедет, измучила меня совсем. Ты смотри ж, не говори ей всего, – обратилась она к Пьеру. – И бранить то ее духу не хватает, так жалка, так жалка!
Наташа, исхудавшая, с бледным и строгим лицом (совсем не пристыженная, какою ее ожидал Пьер) стояла по середине гостиной. Когда Пьер показался в двери, она заторопилась, очевидно в нерешительности, подойти ли к нему или подождать его.
Пьер поспешно подошел к ней. Он думал, что она ему, как всегда, подаст руку; но она, близко подойдя к нему, остановилась, тяжело дыша и безжизненно опустив руки, совершенно в той же позе, в которой она выходила на середину залы, чтоб петь, но совсем с другим выражением.
– Петр Кирилыч, – начала она быстро говорить – князь Болконский был вам друг, он и есть вам друг, – поправилась она (ей казалось, что всё только было, и что теперь всё другое). – Он говорил мне тогда, чтобы обратиться к вам…
Пьер молча сопел носом, глядя на нее. Он до сих пор в душе своей упрекал и старался презирать ее; но теперь ему сделалось так жалко ее, что в душе его не было места упреку.
– Он теперь здесь, скажите ему… чтобы он прост… простил меня. – Она остановилась и еще чаще стала дышать, но не плакала.
– Да… я скажу ему, – говорил Пьер, но… – Он не знал, что сказать.
Наташа видимо испугалась той мысли, которая могла притти Пьеру.
– Нет, я знаю, что всё кончено, – сказала она поспешно. – Нет, это не может быть никогда. Меня мучает только зло, которое я ему сделала. Скажите только ему, что я прошу его простить, простить, простить меня за всё… – Она затряслась всем телом и села на стул.
Еще никогда не испытанное чувство жалости переполнило душу Пьера.
– Я скажу ему, я всё еще раз скажу ему, – сказал Пьер; – но… я бы желал знать одно…