Отношение (теория множеств)

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех её ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объёма — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике, где отношение — пропозициональная функция, то есть выражение с неопределённым переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в универсальной алгебре, где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных, методологически основанные на формальной алгебре отношений.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, такими как симметричность, транзитивность, рефлексивность.





Формальные определения и обозначения

<math>n</math>-местным (<math>n</math>-арным) отношением <math>R</math>, заданным на множествах <math>M_1,M_2,\ldots,M_n</math>, называется подмножество декартова произведения этих множеств: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. Факт связи <math>n</math>-ки элементов <math>\langle m_1 \in M_1, m_2 \in M_2, \dots m_n \in M_n \rangle</math> отношением <math>R</math> обозначается <math>R (m_1, m_2, \dots, m_n)</math> или <math>(m_1, m_2, \dots, m_n) \in R</math>.

Факт связи объектов <math>m_1 \in M_1</math> и <math>m_2 \in M_2</math> бинарным отношением <math>R \subset M_1 \times M_2</math> обычно обозначают с помощью инфиксной записи: <math>m_1 \, R \, m_2</math>. Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения (тернарные), четырёхместные отношения (кватернанрые); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о «мультиарных», «многоместных».

Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: <math>R = M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество: <math>R = \varnothing \subset M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>.

Функциональное отношение — отношение, образующее функцию: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n \dots M_{n+1}</math> является функциональным, если из выполнения <math>R (m_1, \dots, m_n, x)</math> и <math>R (m_1, \dots, m_n, y)</math> следует, что <math>x=y</math> (обеспечивается единственность значения функции).

Общие свойства и виды бинарных отношений

Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством (<math>R \subseteq M^2</math>), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами[1]:

В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:

Важную роль играет отношение равенства — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.

Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, симметрично и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел, обычно обозначаемое символом <math>|</math>, оно состоит из пар вида <math>\langle x, y\rangle</math>, где <math>x</math> делит <math>y</math> нацело. Пример тернарного отношения — образование пифагоровой тройки тремя числами, нахождение в отношении пифагоровой четвёрки — пример кватернарного отношения.

Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в теории графов: неориентированный граф может быть определён как множество вершин с симметричным бинарным отношением над ним, а ориентированный граф — как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.

Алгебры отношений

Все <math>n</math>-арные отношения над декартовым произведением <math>M_1 \times \dots \times M_n</math> образуют булеву алгебру относительно теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения.

Реляционная алгебра — широко применяемая в информатике формальная система, позволяющая производить некоторые операции с отношениями разных типов (разной арности, над разными декартовыми произведениями), например, такие как проекция, соединение. Основная аналогия, заложенная в реляционный подход к базам данных — возможность представления табличной справочной информации как отношения над некоторым декартовым произведением предметных областей; например телефонный справочник с заголовком:

Телефон ФИО абонента Название организации Адрес

можно рассматривать как отношение над декартовым произведением областей телефонных номеров, персоналий, организаций и адресов.

Напишите отзыв о статье "Отношение (теория множеств)"

Примечания

  1. В формулах опущены кванторы всеобщности

Литература

Отрывок, характеризующий Отношение (теория множеств)

– Отчего? – спросила Наташа, внимательно глядя в глаза Пьеру.
– Как отчего? – сказала княжна Марья. – Одна мысль о том, что ждет там…
Наташа, не дослушав княжны Марьи, опять вопросительно поглядела на Пьера.
– И оттого, – продолжал Пьер, – что только тот человек, который верит в то, что есть бог, управляющий нами, может перенести такую потерю, как ее и… ваша, – сказал Пьер.
Наташа раскрыла уже рот, желая сказать что то, но вдруг остановилась. Пьер поспешил отвернуться от нее и обратился опять к княжне Марье с вопросом о последних днях жизни своего друга. Смущение Пьера теперь почти исчезло; но вместе с тем он чувствовал, что исчезла вся его прежняя свобода. Он чувствовал, что над каждым его словом, действием теперь есть судья, суд, который дороже ему суда всех людей в мире. Он говорил теперь и вместе с своими словами соображал то впечатление, которое производили его слова на Наташу. Он не говорил нарочно того, что бы могло понравиться ей; но, что бы он ни говорил, он с ее точки зрения судил себя.
Княжна Марья неохотно, как это всегда бывает, начала рассказывать про то положение, в котором она застала князя Андрея. Но вопросы Пьера, его оживленно беспокойный взгляд, его дрожащее от волнения лицо понемногу заставили ее вдаться в подробности, которые она боялась для самой себя возобновлять в воображенье.
– Да, да, так, так… – говорил Пьер, нагнувшись вперед всем телом над княжной Марьей и жадно вслушиваясь в ее рассказ. – Да, да; так он успокоился? смягчился? Он так всеми силами души всегда искал одного; быть вполне хорошим, что он не мог бояться смерти. Недостатки, которые были в нем, – если они были, – происходили не от него. Так он смягчился? – говорил Пьер. – Какое счастье, что он свиделся с вами, – сказал он Наташе, вдруг обращаясь к ней и глядя на нее полными слез глазами.
Лицо Наташи вздрогнуло. Она нахмурилась и на мгновенье опустила глаза. С минуту она колебалась: говорить или не говорить?
– Да, это было счастье, – сказала она тихим грудным голосом, – для меня наверное это было счастье. – Она помолчала. – И он… он… он говорил, что он желал этого, в ту минуту, как я пришла к нему… – Голос Наташи оборвался. Она покраснела, сжала руки на коленах и вдруг, видимо сделав усилие над собой, подняла голову и быстро начала говорить:
– Мы ничего не знали, когда ехали из Москвы. Я не смела спросить про него. И вдруг Соня сказала мне, что он с нами. Я ничего не думала, не могла представить себе, в каком он положении; мне только надо было видеть его, быть с ним, – говорила она, дрожа и задыхаясь. И, не давая перебивать себя, она рассказала то, чего она еще никогда, никому не рассказывала: все то, что она пережила в те три недели их путешествия и жизни в Ярославль.
Пьер слушал ее с раскрытым ртом и не спуская с нее своих глаз, полных слезами. Слушая ее, он не думал ни о князе Андрее, ни о смерти, ни о том, что она рассказывала. Он слушал ее и только жалел ее за то страдание, которое она испытывала теперь, рассказывая.
Княжна, сморщившись от желания удержать слезы, сидела подле Наташи и слушала в первый раз историю этих последних дней любви своего брата с Наташей.
Этот мучительный и радостный рассказ, видимо, был необходим для Наташи.
Она говорила, перемешивая ничтожнейшие подробности с задушевнейшими тайнами, и, казалось, никогда не могла кончить. Несколько раз она повторяла то же самое.
За дверью послышался голос Десаля, спрашивавшего, можно ли Николушке войти проститься.
– Да вот и все, все… – сказала Наташа. Она быстро встала, в то время как входил Николушка, и почти побежала к двери, стукнулась головой о дверь, прикрытую портьерой, и с стоном не то боли, не то печали вырвалась из комнаты.
Пьер смотрел на дверь, в которую она вышла, и не понимал, отчего он вдруг один остался во всем мире.
Княжна Марья вызвала его из рассеянности, обратив его внимание на племянника, который вошел в комнату.
Лицо Николушки, похожее на отца, в минуту душевного размягчения, в котором Пьер теперь находился, так на него подействовало, что он, поцеловав Николушку, поспешно встал и, достав платок, отошел к окну. Он хотел проститься с княжной Марьей, но она удержала его.
– Нет, мы с Наташей не спим иногда до третьего часа; пожалуйста, посидите. Я велю дать ужинать. Подите вниз; мы сейчас придем.
Прежде чем Пьер вышел, княжна сказала ему:
– Это в первый раз она так говорила о нем.


Пьера провели в освещенную большую столовую; через несколько минут послышались шаги, и княжна с Наташей вошли в комнату. Наташа была спокойна, хотя строгое, без улыбки, выражение теперь опять установилось на ее лице. Княжна Марья, Наташа и Пьер одинаково испытывали то чувство неловкости, которое следует обыкновенно за оконченным серьезным и задушевным разговором. Продолжать прежний разговор невозможно; говорить о пустяках – совестно, а молчать неприятно, потому что хочется говорить, а этим молчанием как будто притворяешься. Они молча подошли к столу. Официанты отодвинули и пододвинули стулья. Пьер развернул холодную салфетку и, решившись прервать молчание, взглянул на Наташу и княжну Марью. Обе, очевидно, в то же время решились на то же: у обеих в глазах светилось довольство жизнью и признание того, что, кроме горя, есть и радости.
– Вы пьете водку, граф? – сказала княжна Марья, и эти слова вдруг разогнали тени прошедшего.
– Расскажите же про себя, – сказала княжна Марья. – Про вас рассказывают такие невероятные чудеса.
– Да, – с своей, теперь привычной, улыбкой кроткой насмешки отвечал Пьер. – Мне самому даже рассказывают про такие чудеса, каких я и во сне не видел. Марья Абрамовна приглашала меня к себе и все рассказывала мне, что со мной случилось, или должно было случиться. Степан Степаныч тоже научил меня, как мне надо рассказывать. Вообще я заметил, что быть интересным человеком очень покойно (я теперь интересный человек); меня зовут и мне рассказывают.
Наташа улыбнулась и хотела что то сказать.
– Нам рассказывали, – перебила ее княжна Марья, – что вы в Москве потеряли два миллиона. Правда это?
– А я стал втрое богаче, – сказал Пьер. Пьер, несмотря на то, что долги жены и необходимость построек изменили его дела, продолжал рассказывать, что он стал втрое богаче.
– Что я выиграл несомненно, – сказал он, – так это свободу… – начал он было серьезно; но раздумал продолжать, заметив, что это был слишком эгоистический предмет разговора.
– А вы строитесь?
– Да, Савельич велит.
– Скажите, вы не знали еще о кончине графини, когда остались в Москве? – сказала княжна Марья и тотчас же покраснела, заметив, что, делая этот вопрос вслед за его словами о том, что он свободен, она приписывает его словам такое значение, которого они, может быть, не имели.