Метод максимального правдоподобия

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE — англ. maximum likelihood estimation) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения оценки параметров модели.

Метод максимального правдоподобия соответствует многим известным методам оценки в области статистики. Например, вы интересуетесь таким антропометрическим параметром, как рост жителей России. Предположим, у вас имеются данные о росте некоторого количества людей, а не всего населения. Кроме того предполагается, что рост является нормально распределённой величиной с неизвестной дисперсией и средним значением. Среднее значение и дисперсия роста в выборке являются максимально правдоподобными к среднему значению и дисперсии всего населения.

Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

Метод оценки максимального правдоподобия применяется для широкого круга статистических моделей, в том числе:

• линейные модели и обобщённые линейные модели;
• факторный анализ;
• моделирование структурных уравнений;
• многие ситуации, в рамках проверки гипотезы и доверительного интервала формирования;
• дискретные модели выбора.

Сущность метода

Пусть есть выборка <math>X_1,\ldots,X_n</math> из распределения <math>\mathbb{P}_{\theta}</math>, где <math>\theta \in \Theta</math> — неизвестные параметры. Пусть <math>L(\mathbf{x} \mid \theta)\colon \Theta \to \mathbb{R}</math> — функция правдоподобия, где <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>. Точечная оценка

<math>\hat{\theta}_{\mathrm{M\Pi}} = \hat{\theta}_{\mathrm{M\Pi}} (X_1,\ldots, X_n) = \arg \max\limits_{\theta \in \Theta} L(X_1 ,\ldots, X_n \mid \theta )</math>

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра <math>\theta</math>. Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Часто вместо функции правдоподобия <math>L</math> используют логарифмическую функцию правдоподобия <math>l=\ln L</math>. Так как функция <math>x \to \ln x,\; x > 0</math> монотонно возрастает на всей области определения, максимум любой функции <math>L(\theta)</math> является максимумом функции <math> \ln L(\theta)</math>, и наоборот. Таким образом,

<math>\hat{\theta}_{\mathrm{M\Pi}} = \arg \max\limits_{\theta \in \Theta} l(X_1 ,\ldots, X_n \mid \theta )</math>,

Если функция правдоподобия дифференцируема, то необходимое условие экстремума — равенство нулю её градиента:

<math>g(\theta)=\frac {\partial l(\mathbf{x},\theta_0)}{\partial \theta}=0</math>

Достаточное условие экстремума может быть сформулировано как отрицательная определённость гессиана — матрицы вторых производных:

<math>H=\frac {\partial^2 l(\mathbf{x},\theta_0)}{\partial \theta \partial \theta^T}</math>

Важное значение для оценки свойств оценок метода максимального правдоподобия играет так называемая информационная матрица, равная по определению:

<math>I(\theta)=E[g(\theta)g(\theta)^T]</math>

В оптимальной точке информационная матрица совпадает с математическим ожиданием гессиана, взятым со знаком минус:

<math>I=-E(H_0)</math>

Свойства

• Оценки максимального правдоподобия, вообще говоря, могут быть смещёнными (см. примеры), но являются состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными оценками. Асимптотическая нормальность означает, что

<math>\sqrt {n}(\hat{\theta}-\theta) \xrightarrow d N(0,\boldsymbol{I}^{-1}_{\infty})</math>

где <math>\boldsymbol{I}_{\infty}=-\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {1}{n} \mathbb{E}(\boldsymbol{H}) </math> — асимптотическая информационная матрица.

Асимптотическая эффективность означает, что асимптотическая ковариационная матрица <math>\boldsymbol{I}^{-1}_{\infty}</math> является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок.

• Если <math>\hat{\theta}</math> — оценка метода максимального правдоподобия, параметров <math>\theta</math>, то <math>g(\hat{\theta})</math> является оценкой максимального правдоподобия для <math>g(\theta)</math>, где g — непрерывная функция (функциональная инвариантность). Таким образом, законы распределения данных можно параметризовать различным образом.

Примеры

• Пусть <math>X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm{U}[0,\theta]</math> — независимая выборка из непрерывного равномерного распределения на отрезке <math>[0,\theta]</math>, где <math>\theta > 0</math> — неизвестный параметр. Тогда функция правдоподобия имеет вид

<math>f(\mathbf{x} \mid \theta ) =

\begin{cases} \frac{1}{\theta^n}, & \mathbf{x} \in [0,\theta]^n \subset \mathbb{R}^n \\ 0, & \mathbf{x} \not\in [0,\theta]^n \end{cases} . </math> Последнее равенство может быть переписано в виде:

<math>f(\mathbf{x} \mid \theta ) =

\begin{cases} \frac{1}{\theta^n}, & \theta \ge \max(x_1,\ldots,x_n) \\ 0, & \theta < \max(x_1,\ldots,x_n) \end{cases} , </math> где <math>\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)^{\top}</math>, откуда видно, что своего максимума функция правдоподобия достигает в точке <math>\theta = \max(x_1,\ldots,x_n)</math>. Таким образом

<math>\hat{\theta}_{\mathrm{M\Pi}} = \max(X_1,\ldots, X_n)</math>.

Такая оценка будет смещенной: <math>P\{\max(X_1,\ldots, X_n) \le x \}= \left(\frac{x}{\theta}\right)^n</math>, откуда <math>E\hat{\theta}_{\mathrm{M\Pi}} = \int_0^\theta x d\left(\frac{x}{\theta}\right)^n = \frac{n}{n+1}\theta</math>

• Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения с неизвестными средним и дисперсией. Построим оценку максимального правдоподобия <math>\left(\widehat{\mu}_{\mathrm{M\Pi}}, \widehat{\sigma^2}_{\mathrm{M\Pi}}\right)^{\rm T}</math> для неизвестного вектора параметров <math>\left(\mu,\sigma^2\right)^{\rm T}</math>. Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид

<math>L(\mathbf{x} \mid\mu, \sigma^2) = - \frac{n}{2} \ln (2 \pi \sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum\limits_{i=1}^n (X_i - \mu)^2</math>.

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные:

<math>

\left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial \mu} L(\mathbf{x} \mid \mu, \sigma^2 ) = 0 \\[10pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial \sigma^2} L(\mathbf{x} \mid \mu, \sigma^2 ) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{ \sum\limits_{i=1}^n X_i - n \mu}{\sigma^2} = 0 \\[10pt] \displaystyle -\frac{n}{2 \sigma^2} +\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{2 \left(\sigma^2\right)^2} = 0 \\ \end{matrix} \right., </math> откуда

<math>\hat{\mu}_{\mathrm{M\Pi}} = \bar{X}</math> — выборочное среднее, а

<math>\widehat{\sigma^2}_{\mathrm{M\Pi}} = S^2_n</math> — выборочная дисперсия.

Применение метода

Обработка эксперимента

Предположим, что мы измеряем некоторую величину <math display="inline">a</math>. Сделав одно измерение, получили её значение <math display="inline">x_1</math> с ошибкой <math display="inline"> \sigma_1 </math>: <math display="inline"> x_1 \pm \sigma_1 </math>. Запишем плотность вероятности того, что величина a примет значение <math display="inline">x_1</math>:

<math> W(a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}} \exp \left[-\frac{(x_1 - a)^2}{2\sigma_1^2}\right] </math>.

Теперь предположим, что мы провели несколько таких измерений и получили <math display="inline"> x_1 \pm \sigma_1, x_2 \pm \sigma_2 \ldots x_n \pm \sigma_n </math>. Вероятность того, что величина a примет значения <math display="inline"> x_1, x_2 \ldots x_n </math>, будет:

<math> W(a) = \prod^n_{i=1} {\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}} \exp \left[-\frac{(x_i - a)^2}{2\sigma_i^2}\right]} </math>.

Эта функция называется функцией правдоподобия. Наиболее вероятное значение измеряемой величины <math display="inline">a^*</math> определяется по максимуму функции правдоподобия. Более удобной является логарифмическая функция правдоподобия:

<math> L(a) = \ln W(a) = - \sum_{i=1}^n {\frac{(x_i - a)^2}{2\sigma_i^2}} + \sum_{i=1}^n {\ln{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}}} </math>.

Продифференцируем логарифмическую функцию правдоподобия по <math display="inline"> a </math>:

<math> \frac{\partial{L}}{\partial{a}} = \sum_{i=1}^n {\frac{x_i - a}{\sigma_i^2}} </math>.

Приравняем <math> \frac{\partial{L}}{\partial{a}} </math> к <math display="inline"> 0 </math> и получим некоторое значение <math display="inline"> a = a^* </math>:

<math> a^* = \frac{\sum\limits^{n}_{i=1} {\frac{x_i}{\sigma_i^2}}}{\sum\limits^{n}_{i=1} {\frac{1}{\sigma_i^2}}} </math>.

Крамер сформулировал следующую теорему:

Теорема: Не существует другого метода обработки результатов эксперимента, который дал бы лучшее приближение к истине, чем метод максимального правдоподобия.

Ошибки измерений.

Предположим, что мы провели серию измерений и получили серию значений <math display="inline">a^*</math>, естественно записать, что это распределение будет иметь гауссовский вид:

<math> W(a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{a^*}^2}} \exp \left[-\frac{(a^* - a)^2}{2\sigma_{a^*}^2}\right] </math>.

Запишем логарифмическую функцию правдоподобия:<math> L(a) = \ln W(a) = -{\frac{(a^* - a)^2}{2\sigma_{a^*}^2}} + {\ln{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{a^*}^2}}}} </math>.

Возьмем первую производную:

<math> \frac{\partial{L}}{\partial{a}} = \frac{a^* - a}{\sigma_{a^*}^2} </math>.

Если <math> \frac{\partial{L}}{\partial{a}} = 0 </math> , то <math> a = a^* </math>. Теперь возьмем вторую производную:

<math> \frac{\partial^2{L}}{\partial{a}^2} = -\frac{1}{\sigma_{a^*}^2} </math>, откуда

<math> \sigma_{a^*} = \left(-\frac{\partial^2{L}}{\partial{a}^2} \Big|_{a = a^*} \right)^{-1/2} </math>.

Это называется первой магической формулой.

Условный метод максимального правдоподобия

Условный метод максимального правдоподобия (Conditional ML) используется в регрессионных моделях. Суть метода заключается в том, что используется не полное совместное распределение всех переменных (зависимой и регрессоров), а только условное распределение зависимой переменной по факторам, то есть фактически распределение случайных ошибок регрессионной модели. Полная функция правдоподобия есть произведение «условной функции правдоподобия» и плотности распределения факторов. Условный ММП эквивалентен полному варианту ММП в том случае, когда распределение факторов никак не зависит от оцениваемых параметров. Это условие часто нарушается в моделях временных рядов, например в авторегрессионной модели. В данном случае, регрессорами являются прошлые значения зависимой переменной, а значит их значения также подчиняются той же AR-модели, то есть распределение регрессоров зависит от оцениваемых параметров. В таких случаях результаты применения условного и полного метода максимального правдоподобия будут различаться.

См. также

• Правдоподобие принятой последовательности
• Метод моментов
• Обобщенный метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• EM-алгоритм

Литература

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
• Остапенко Р. И. Основы структурного моделирования в психологии и педагогике: учебно-методическое пособие для студентов психолого-педагогического факультета. — Воронеж.: ВГПУ, 2012. — 116 с. — ISBN 978-5-88519-886-8.
• Никулин М. С. Отношения правдоподобия критерий // Математическая энциклопедия / Виноградов И. М. (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 151. — 1216 с.

Отрывок, характеризующий Метод максимального правдоподобия

Красивая Вера презрительно улыбнулась, видимо не чувствуя ни малейшего оскорбления.
– Ежели бы вы мне сказали давно, маменька, я бы тотчас ушла, – сказала она, и пошла в свою комнату.
Но, проходя мимо диванной, она заметила, что в ней у двух окошек симметрично сидели две пары. Она остановилась и презрительно улыбнулась. Соня сидела близко подле Николая, который переписывал ей стихи, в первый раз сочиненные им. Борис с Наташей сидели у другого окна и замолчали, когда вошла Вера. Соня и Наташа с виноватыми и счастливыми лицами взглянули на Веру.
Весело и трогательно было смотреть на этих влюбленных девочек, но вид их, очевидно, не возбуждал в Вере приятного чувства.
– Сколько раз я вас просила, – сказала она, – не брать моих вещей, у вас есть своя комната.
Она взяла от Николая чернильницу.
– Сейчас, сейчас, – сказал он, мокая перо.
– Вы всё умеете делать не во время, – сказала Вера. – То прибежали в гостиную, так что всем совестно сделалось за вас.
Несмотря на то, или именно потому, что сказанное ею было совершенно справедливо, никто ей не отвечал, и все четверо только переглядывались между собой. Она медлила в комнате с чернильницей в руке.
– И какие могут быть в ваши года секреты между Наташей и Борисом и между вами, – всё одни глупости!
– Ну, что тебе за дело, Вера? – тихеньким голоском, заступнически проговорила Наташа.
Она, видимо, была ко всем еще более, чем всегда, в этот день добра и ласкова.
– Очень глупо, – сказала Вера, – мне совестно за вас. Что за секреты?…
– У каждого свои секреты. Мы тебя с Бергом не трогаем, – сказала Наташа разгорячаясь.
– Я думаю, не трогаете, – сказала Вера, – потому что в моих поступках никогда ничего не может быть дурного. А вот я маменьке скажу, как ты с Борисом обходишься.
– Наталья Ильинишна очень хорошо со мной обходится, – сказал Борис. – Я не могу жаловаться, – сказал он.
– Оставьте, Борис, вы такой дипломат (слово дипломат было в большом ходу у детей в том особом значении, какое они придавали этому слову); даже скучно, – сказала Наташа оскорбленным, дрожащим голосом. – За что она ко мне пристает? Ты этого никогда не поймешь, – сказала она, обращаясь к Вере, – потому что ты никогда никого не любила; у тебя сердца нет, ты только madame de Genlis [мадам Жанлис] (это прозвище, считавшееся очень обидным, было дано Вере Николаем), и твое первое удовольствие – делать неприятности другим. Ты кокетничай с Бергом, сколько хочешь, – проговорила она скоро.
– Да уж я верно не стану перед гостями бегать за молодым человеком…
– Ну, добилась своего, – вмешался Николай, – наговорила всем неприятностей, расстроила всех. Пойдемте в детскую.
Все четверо, как спугнутая стая птиц, поднялись и пошли из комнаты.
– Мне наговорили неприятностей, а я никому ничего, – сказала Вера.
– Madame de Genlis! Madame de Genlis! – проговорили смеющиеся голоса из за двери.
Красивая Вера, производившая на всех такое раздражающее, неприятное действие, улыбнулась и видимо не затронутая тем, что ей было сказано, подошла к зеркалу и оправила шарф и прическу. Глядя на свое красивое лицо, она стала, повидимому, еще холоднее и спокойнее.

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n'est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.
– Что он постарел, князь Василий? – спросила графиня. – Я его не видала с наших театров у Румянцевых. И думаю, забыл про меня. Il me faisait la cour, [Он за мной волочился,] – вспомнила графиня с улыбкой.
– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.
И с приемами петербургской деловой барыни, умеющей пользоваться временем, Анна Михайловна послала за сыном и вместе с ним вышла в переднюю.
– Прощай, душа моя, – сказала она графине, которая провожала ее до двери, – пожелай мне успеха, – прибавила она шопотом от сына.
– Вы к графу Кириллу Владимировичу, ma chere? – сказал граф из столовой, выходя тоже в переднюю. – Коли ему лучше, зовите Пьера ко мне обедать. Ведь он у меня бывал, с детьми танцовал. Зовите непременно, ma chere. Ну, посмотрим, как то отличится нынче Тарас. Говорит, что у графа Орлова такого обеда не бывало, какой у нас будет.


– Mon cher Boris, [Дорогой Борис,] – сказала княгиня Анна Михайловна сыну, когда карета графини Ростовой, в которой они сидели, проехала по устланной соломой улице и въехала на широкий двор графа Кирилла Владимировича Безухого. – Mon cher Boris, – сказала мать, выпрастывая руку из под старого салопа и робким и ласковым движением кладя ее на руку сына, – будь ласков, будь внимателен. Граф Кирилл Владимирович всё таки тебе крестный отец, и от него зависит твоя будущая судьба. Помни это, mon cher, будь мил, как ты умеешь быть…
– Ежели бы я знал, что из этого выйдет что нибудь, кроме унижения… – отвечал сын холодно. – Но я обещал вам и делаю это для вас.
Несмотря на то, что чья то карета стояла у подъезда, швейцар, оглядев мать с сыном (которые, не приказывая докладывать о себе, прямо вошли в стеклянные сени между двумя рядами статуй в нишах), значительно посмотрев на старенький салоп, спросил, кого им угодно, княжен или графа, и, узнав, что графа, сказал, что их сиятельству нынче хуже и их сиятельство никого не принимают.
– Мы можем уехать, – сказал сын по французски.
– Mon ami! [Друг мой!] – сказала мать умоляющим голосом, опять дотрогиваясь до руки сына, как будто это прикосновение могло успокоивать или возбуждать его.
Борис замолчал и, не снимая шинели, вопросительно смотрел на мать.
– Голубчик, – нежным голоском сказала Анна Михайловна, обращаясь к швейцару, – я знаю, что граф Кирилл Владимирович очень болен… я затем и приехала… я родственница… Я не буду беспокоить, голубчик… А мне бы только надо увидать князя Василия Сергеевича: ведь он здесь стоит. Доложи, пожалуйста.
Швейцар угрюмо дернул снурок наверх и отвернулся.
– Княгиня Друбецкая к князю Василию Сергеевичу, – крикнул он сбежавшему сверху и из под выступа лестницы выглядывавшему официанту в чулках, башмаках и фраке.
Мать расправила складки своего крашеного шелкового платья, посмотрелась в цельное венецианское зеркало в стене и бодро в своих стоптанных башмаках пошла вверх по ковру лестницы.
– Mon cher, voue m'avez promis, [Мой друг, ты мне обещал,] – обратилась она опять к Сыну, прикосновением руки возбуждая его.
Сын, опустив глаза, спокойно шел за нею.
Они вошли в залу, из которой одна дверь вела в покои, отведенные князю Василью.
В то время как мать с сыном, выйдя на середину комнаты, намеревались спросить дорогу у вскочившего при их входе старого официанта, у одной из дверей повернулась бронзовая ручка и князь Василий в бархатной шубке, с одною звездой, по домашнему, вышел, провожая красивого черноволосого мужчину. Мужчина этот был знаменитый петербургский доктор Lorrain.
– C'est donc positif? [Итак, это верно?] – говорил князь.
– Mon prince, «errare humanum est», mais… [Князь, человеку ошибаться свойственно.] – отвечал доктор, грассируя и произнося латинские слова французским выговором.
– C'est bien, c'est bien… [Хорошо, хорошо…]
Заметив Анну Михайловну с сыном, князь Василий поклоном отпустил доктора и молча, но с вопросительным видом, подошел к ним. Сын заметил, как вдруг глубокая горесть выразилась в глазах его матери, и слегка улыбнулся.
– Да, в каких грустных обстоятельствах пришлось нам видеться, князь… Ну, что наш дорогой больной? – сказала она, как будто не замечая холодного, оскорбительного, устремленного на нее взгляда.
Князь Василий вопросительно, до недоумения, посмотрел на нее, потом на Бориса. Борис учтиво поклонился. Князь Василий, не отвечая на поклон, отвернулся к Анне Михайловне и на ее вопрос отвечал движением головы и губ, которое означало самую плохую надежду для больного.