Парабола

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения).
Парабола
Коническое
сечение:
Эксцентриситет: <math>\textstyle e=1</math>
Уравнения: <math>

\begin{smallmatrix} y=x^2\\[10pt] y=ax^2+bx+c\\[10pt] Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=F \\ (B^2-4AC=0) \end{smallmatrix} </math>

гипербола  ·</span> парабола  · эллипс  · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.





Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

<math>\textstyle y^2=2px, p>0</math> (или <math>\textstyle x^2=2py</math>, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии <math>\frac{p}{2}</math> от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция <math>y=ax^2+bx+c</math> при <math>a\neq 0</math> также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и <math>y=ax^2,</math> но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

<math>x_\textrm{A}=-\frac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\frac{D}{4a},</math> где <math> D=b^2-4ac</math> — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение <math>y=ax^2+bx+c</math> может быть представлено в виде <math>y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A},</math> а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом <math>p=\frac{1}{|2a|}.</math>

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

<math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. </math>

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант <math>B^2-4AC</math> равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат <math>(\rho,\vartheta)</math> с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

<math>\rho (1 + \cos \vartheta) = p,</math>

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, <math>y = ax^2 + bx + c</math> известны координаты трёх различных точек параболы <math>(x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3}),</math> то его коэффициенты могут быть найдены так:

<math>a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \

b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.</math> Если же заданы вершина <math>(x_0;y_0)</math> и старший коэффициент <math>a</math>, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

<math>b=-2ax_0</math>
<math>c=ax_0^2+y_0</math>
<math>x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>
<math>x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>

Свойства

  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Связанные определения

Параболы в физическом пространстве

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

  • Parabolic orbit.gif

    Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

  • Bouncing ball strobe edit.jpg

    Падение баскетбольного мяча

  • Parabolic trough solar thermal electric power plant 1.jpg

    Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

  • ParabolicWaterTrajectory.jpg

    Параболические траектории струй воды

  • Parabola shape in rotating layers of fluid.jpg

    Вращающийся сосуд с жидкостью

См. также

Напишите отзыв о статье "Парабола"

Примечания

  1. ↑ Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.

Литература

Ссылки

В Викисловаре есть статья «парабола»
  • [www.pm298.ru/2step5.shtml Статья] в справочнике «Прикладная математика».
  • [files.school-collection.edu.ru/dlrstore/102a56fb-ff41-ba07-824f-df2d64d5e750/parabola.html Анимированные рисунки], иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
  • [mysite.du.edu/~jcalvert/math/parabola.htm Информация] (англ.) о связи параболы с физикой.
  • [www.kvantmultfilm.ru/de_mal.php?en=14 Учебный фильм о параболе]