Парадокс Бертрана (вероятность)

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс Бертрана — проблема классического определения теории вероятностей. Жозеф Бертран описал парадокс в своей работе Calcul des probabilités (1888) в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины [1].





Формулировка Бертрана

Парадокс Бертрана заключается в следующем: рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?

Бертран предложил три решения, очевидно верных, но дающих различный результат.

  1. Метод «случайных концов»: наудачу выберем две точки на окружности и проведём через них хорду. Чтобы посчитать искомую вероятность, представим, что треугольник повёрнут так, что одна из его вершин совпадает с концом хорды. Заметим, что если другой конец хорды лежит на дуге между двумя другими вершинами треугольника, то длина хорды больше стороны треугольника. Длина рассмотренной дуги равна трети длины окружности, следуя классическому определению, искомая вероятность равна <math>\frac{1}{3}</math>.
  2. Метод «случайного радиуса»: зафиксируем радиус окружности, наудачу выберем точку на радиусе. Построим хорду, перпендикулярную зафиксированному радиусу, проходящую через выбранную точку. Для нахождения искомой вероятности, представим, что треугольник повёрнут так, что одна из его сторон перпендикулярна зафиксированному радиусу. Хорда длиннее стороны треугольника, если её центр ближе к центру, чем точка пересечения треугольника с зафиксированным радиусом. Сторона треугольника делит пополам радиус, следовательно вероятность выбрать хорду длиннее стороны треугольника <math>\frac{1}{2}</math>.
  3. Метод «случайного центра»: выберем наудачу произвольную точку внутри круга и построим хорду с центром в выбранной точке. Хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, если выбранная точка находится внутри круга, вписанного в треугольник. Площадь вписанного круга есть 1/4 от площади большего, значит исходная вероятность равна <math>\frac{1}{4}</math>.

Выбор метода также может быть изображён следующим образом. Хорда однозначно задаётся её серединой. Все три метода, описанные выше, дают различное, каждый своё, распределение середины. Методы 1 и 2 представляют два разных неравномерных распределения, в то время как третий метод даёт равномерное распределение. С другой стороны, если посмотреть на изображения хорд ниже, то заметно, что хорды в методе 2 дают равномерно закрашенный круг, а 1-й и 3-й методы не дают такой картины.


Могут быть придуманы и другие распределения; многие из них дадут разные доли хорд, имеющих большую длину, чем сторона вписанного треугольника.

Классическое решение

Классическое решение проблемы, таким образом, зависит от метода, которым случайно выбрана хорда. Тогда и только тогда, когда метод случайного выбора задан, проблема имеет чётко определённое решение. Метод отбора не уникален, поэтому не может быть единственного решения. Три решения, представленные Бертраном, соответствуют различным методам отбора, и в отсутствие дополнительной информации нет оснований предпочесть какой-либо один.

Этот и другие парадоксы классического определения вероятности оправдывают более строгие формулировки, включающие частотные вероятности и субъективные Байесовские вероятности.

Решение Джейнса с использованием принципа неопределенности

Эдвин Джейнс в своей работе 1973 года «Корректно поставленная проблема»[2] предложил решение парадокса Бертрана, основанное на принципе неопределённости: мы не должны использовать информацию, которая не дана в условии. Джейнс указал, что проблема Бертрана не задаёт положение или размер круга, и утверждал, что в таком случае любые точные и объективные решения должны быть «безразличны» к размеру и положению. Иными словами, решение должно быть инвариантно к размерам и трансформациям.

Для иллюстрации: допустим, хорды случайно лежат в круге с диаметром 2 (скажем, после того как в круг с расстояния были брошены соломинки). Затем другой круг с меньшим диаметром (например, 1.1) накладывается на большой. Теперь распределение хорд в меньшем круге должно быть таким же, как и в большем. Если перемещать меньший круг по большему, вероятность не должна меняться. Это должно быть наглядно выражено в случае изменений в методе 3: распределение хорд в маленьком круге может выглядеть качественно другим, нежели их распределение в большом круге.

Та же ситуация с методом 1, хотя она более сложна в графическом изображении. Единственно метод 2 инвариантен как размерно, так и трансформационно, метод 3 имеет только размерную инвариантность, метод 1 — ни одной.

Однако Джейнс использовал не только инвариантность для принятия или отвержения данных методов: это означало бы то же самое, что оставить возможность существования ещё не описанного метода, отвечающего критериям здравого смысла. Джейнс использовал интегральные уравнения, описывая инвариантность, для точного определения вероятности распределения. Для данной задачи интегральные равенства действительно имеют единственное решение — то, что названо выше методом 2, методом случайного радиуса.

Физические эксперименты

Метод 2 — единственное решение, обладающее трансформационной инвариантностью, которая присутствует в определённых физических системах (таких так статистическая механика и физика газов), а также и в предлагаемом Джеймсом эксперименте со случайным бросанием соломинок с расстояния в круг. Тем не менее, кто-то может провести иные эксперименты, дающие результаты касательно других методов. Например, для того чтобы прийти к решению в методе 1, методе случайных концов, можно прикрепить вращающийся указатель в центр круга и позволить результатам двух независимых вращений отмечать начальную и конечную точки хорд. Для того, чтобы прийти к решению в методе 3, нужно покрыть круг патокой и отмечать первую точку, куда случайно приземлится муха, как серединную точку хорды. Несколько наблюдателей разработали эксперименты для получения различных решений и верификации результатов опытным путём.[3][4][5]

Напишите отзыв о статье "Парадокс Бертрана (вероятность)"

Примечания

  1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистике. — М.: Мир, 1990. — С. 50-54. — 240 с.
  2. Jaynes, E. T. (1973), "[bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf The Well-Posed Problem]", Foundations of Physics Т. 3: 477–493, doi:[dx.doi.org/10.1007%2FBF00709116 10.1007/BF00709116], <bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf>  (англ.)
  3. Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, The University of Chicago Press, сс. 223–226, ISBN 978-0226282534  (англ.)
  4. Tissler, P.E. (March 1984), "[dx.doi.org/10.2307%2F3615385 Bertrand's Paradox]", The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) . — Т. 68 (443): 15–19, DOI 10.2307/3615385  (англ.)
  5. Kac, Mark (May–June 1984), "Marginalia: more on randomness", American Scientist Т. 72 (3): 282–283  (англ.)

Отрывок, характеризующий Парадокс Бертрана (вероятность)

Благотворительность и та не принесла желаемых результатов. Фальшивые ассигнации и нефальшивые наполняли Москву и не имели цены. Для французов, собиравших добычу, нужно было только золото. Не только фальшивые ассигнации, которые Наполеон так милостиво раздавал несчастным, не имели цены, но серебро отдавалось ниже своей стоимости за золото.
Но самое поразительное явление недействительности высших распоряжений в то время было старание Наполеона остановить грабежи и восстановить дисциплину.
Вот что доносили чины армии.
«Грабежи продолжаются в городе, несмотря на повеление прекратить их. Порядок еще не восстановлен, и нет ни одного купца, отправляющего торговлю законным образом. Только маркитанты позволяют себе продавать, да и то награбленные вещи».
«La partie de mon arrondissement continue a etre en proie au pillage des soldats du 3 corps, qui, non contents d'arracher aux malheureux refugies dans des souterrains le peu qui leur reste, ont meme la ferocite de les blesser a coups de sabre, comme j'en ai vu plusieurs exemples».
«Rien de nouveau outre que les soldats se permettent de voler et de piller. Le 9 octobre».
«Le vol et le pillage continuent. Il y a une bande de voleurs dans notre district qu'il faudra faire arreter par de fortes gardes. Le 11 octobre».
[«Часть моего округа продолжает подвергаться грабежу солдат 3 го корпуса, которые не довольствуются тем, что отнимают скудное достояние несчастных жителей, попрятавшихся в подвалы, но еще и с жестокостию наносят им раны саблями, как я сам много раз видел».
«Ничего нового, только что солдаты позволяют себе грабить и воровать. 9 октября».
«Воровство и грабеж продолжаются. Существует шайка воров в нашем участке, которую надо будет остановить сильными мерами. 11 октября».]
«Император чрезвычайно недоволен, что, несмотря на строгие повеления остановить грабеж, только и видны отряды гвардейских мародеров, возвращающиеся в Кремль. В старой гвардии беспорядки и грабеж сильнее, нежели когда либо, возобновились вчера, в последнюю ночь и сегодня. С соболезнованием видит император, что отборные солдаты, назначенные охранять его особу, долженствующие подавать пример подчиненности, до такой степени простирают ослушание, что разбивают погреба и магазины, заготовленные для армии. Другие унизились до того, что не слушали часовых и караульных офицеров, ругали их и били».
«Le grand marechal du palais se plaint vivement, – писал губернатор, – que malgre les defenses reiterees, les soldats continuent a faire leurs besoins dans toutes les cours et meme jusque sous les fenetres de l'Empereur».
[«Обер церемониймейстер дворца сильно жалуется на то, что, несмотря на все запрещения, солдаты продолжают ходить на час во всех дворах и даже под окнами императора».]
Войско это, как распущенное стадо, топча под ногами тот корм, который мог бы спасти его от голодной смерти, распадалось и гибло с каждым днем лишнего пребывания в Москве.
Но оно не двигалось.
Оно побежало только тогда, когда его вдруг охватил панический страх, произведенный перехватами обозов по Смоленской дороге и Тарутинским сражением. Это же самое известие о Тарутинском сражении, неожиданно на смотру полученное Наполеоном, вызвало в нем желание наказать русских, как говорит Тьер, и он отдал приказание о выступлении, которого требовало все войско.
Убегая из Москвы, люди этого войска захватили с собой все, что было награблено. Наполеон тоже увозил с собой свой собственный tresor [сокровище]. Увидав обоз, загромождавший армию. Наполеон ужаснулся (как говорит Тьер). Но он, с своей опытностью войны, не велел сжечь всо лишние повозки, как он это сделал с повозками маршала, подходя к Москве, но он посмотрел на эти коляски и кареты, в которых ехали солдаты, и сказал, что это очень хорошо, что экипажи эти употребятся для провианта, больных и раненых.
Положение всего войска было подобно положению раненого животного, чувствующего свою погибель и не знающего, что оно делает. Изучать искусные маневры Наполеона и его войска и его цели со времени вступления в Москву и до уничтожения этого войска – все равно, что изучать значение предсмертных прыжков и судорог смертельно раненного животного. Очень часто раненое животное, заслышав шорох, бросается на выстрел на охотника, бежит вперед, назад и само ускоряет свой конец. То же самое делал Наполеон под давлением всего его войска. Шорох Тарутинского сражения спугнул зверя, и он бросился вперед на выстрел, добежал до охотника, вернулся назад, опять вперед, опять назад и, наконец, как всякий зверь, побежал назад, по самому невыгодному, опасному пути, но по знакомому, старому следу.
Наполеон, представляющийся нам руководителем всего этого движения (как диким представлялась фигура, вырезанная на носу корабля, силою, руководящею корабль), Наполеон во все это время своей деятельности был подобен ребенку, который, держась за тесемочки, привязанные внутри кареты, воображает, что он правит.


6 го октября, рано утром, Пьер вышел из балагана и, вернувшись назад, остановился у двери, играя с длинной, на коротких кривых ножках, лиловой собачонкой, вертевшейся около него. Собачонка эта жила у них в балагане, ночуя с Каратаевым, но иногда ходила куда то в город и опять возвращалась. Она, вероятно, никогда никому не принадлежала, и теперь она была ничья и не имела никакого названия. Французы звали ее Азор, солдат сказочник звал ее Фемгалкой, Каратаев и другие звали ее Серый, иногда Вислый. Непринадлежание ее никому и отсутствие имени и даже породы, даже определенного цвета, казалось, нисколько не затрудняло лиловую собачонку. Пушной хвост панашем твердо и кругло стоял кверху, кривые ноги служили ей так хорошо, что часто она, как бы пренебрегая употреблением всех четырех ног, поднимала грациозно одну заднюю и очень ловко и скоро бежала на трех лапах. Все для нее было предметом удовольствия. То, взвизгивая от радости, она валялась на спине, то грелась на солнце с задумчивым и значительным видом, то резвилась, играя с щепкой или соломинкой.
Одеяние Пьера теперь состояло из грязной продранной рубашки, единственном остатке его прежнего платья, солдатских порток, завязанных для тепла веревочками на щиколках по совету Каратаева, из кафтана и мужицкой шапки. Пьер очень изменился физически в это время. Он не казался уже толст, хотя и имел все тот же вид крупности и силы, наследственной в их породе. Борода и усы обросли нижнюю часть лица; отросшие, спутанные волосы на голове, наполненные вшами, курчавились теперь шапкою. Выражение глаз было твердое, спокойное и оживленно готовое, такое, какого никогда не имел прежде взгляд Пьера. Прежняя его распущенность, выражавшаяся и во взгляде, заменилась теперь энергической, готовой на деятельность и отпор – подобранностью. Ноги его были босые.
Пьер смотрел то вниз по полю, по которому в нынешнее утро разъездились повозки и верховые, то вдаль за реку, то на собачонку, притворявшуюся, что она не на шутку хочет укусить его, то на свои босые ноги, которые он с удовольствием переставлял в различные положения, пошевеливая грязными, толстыми, большими пальцами. И всякий раз, как он взглядывал на свои босые ноги, на лице его пробегала улыбка оживления и самодовольства. Вид этих босых ног напоминал ему все то, что он пережил и понял за это время, и воспоминание это было ему приятно.