Парадокс Кондорсе

Парадо́кс Кондорсе́ — парадокс теории общественного выбора, впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году.

Он заключается в том, что при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть цикличной (не транзитивна), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

Обобщён теоремой «о невозможности» Эрроу в 1951 году.

На практике идея о необходимости ранжирования кандидатов реализована в голосовании по методу Шульце.

Принцип Кондорсе

Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учётом полной ординалистской информации о предпочтениях избирателей.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому — формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.

На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

Пример применения принципа

Приведём численный пример из работы Кондорсе.

Введём для краткости обозначение: <math>A \succ B \succ C</math> будет означать, что голосующий предпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B — кандидату С.

Пусть 60 голосующих дали следующие предпочтения:

• 23 человека: <math>A \succ C \succ B</math>
• 19 человек: <math>B \succ C \succ A</math>
• 16 человек: <math>C \succ B \succ A</math>
• 2 человека: <math>C \succ A \succ B</math>

При сравнении A с B имеем: 23 + 2 = 25 человек за то, что <math>A\succ B</math>, и 19 + 16 = 35 человек за то, что <math>B\succ A</math>.

По принципу Кондорсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.

Сравнивая А и С, будем иметь: 23 человека за <math>A \succ C</math> и 37 человек за <math>C \succ A</math>. Отсюда, по Кондорсе, заключаем, что большинство предпочитает кандидата С кандидату А. Аналогично (19 человек за <math>B \succ C</math>, 41 человек за <math>C \succ B</math>) С более предпочтителен, чем B.

Таким образом, по Кондорсе воля большинства выражается в виде трех суждений: <math>C\succ B</math>; <math>B \succ A</math>; <math>C \succ A</math>, которые можно объединить в одно отношение предпочтения <math>C\succ B \succ A</math> и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует предпочесть кандидата С.

Противоречие с мажоритарной системой голосования

Сравним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоритарной системе относительного или абсолютного большинства.

• Для вышеприведённого примера голосование по системе относительного большинства даст такие результаты: за А — 23 человека, за В — 19 человек, за С — 18 человек. Таким образом, в этом случае победит кандидат А.
• При голосовании по системе абсолютного большинства в два тура кандидаты А и В выйдут во второй тур, где кандидат А получит 25 голосов, а кандидат В — 35 голосов — и победит.

Получаем, что правила игры будут определять победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования. Согласно второй, широко используемой в мире процедуре победить может кандидат, который при попарном голосовании проиграл бы отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99… Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе. Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учётом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.

Парадокс Кондорсе

В другом примере, рассмотренном Кондорсе:

• 1 человек: <math>A \succ B \succ C</math>
• 1 человек: <math>C \succ A \succ B</math>
• 1 человек: <math>B \succ C \succ A</math>

по итогам голосования двумя третями голосов получаем три утверждения: <math>B \succ C</math>, <math>C \succ A</math>, <math>A \succ B</math>. Но вместе эти утверждения противоречивы. В этом и состоит парадокс Кондорсе или парадокс коллективного выбора. Оказывается невозможным определить волю большинства и принять какое-то согласованное решение. Если для оценки согласованности предпочтений этих избирателей применить разработанный позднее коэффициент ранговой корреляции Спирмена, то коэффициенты корреляции между предпочтениями любых двух избирателей из этой тройки отрицательны и равны −0,5.

В силу симметрии в таком виде парадокс неразрешим никакими ухищрениями. Но если заменить отдельных избирателей в этом примере на три группы с близким, но не одинаковым числом избирателей, например, 9, 10 и 11, то метод Шульце позволяет формально определить победителя. Хотя парадоксальная цикличность коллективной ранжировки сохраняется.

Парадокс составного голосования

В другой форме парадокс Кондорсе возникает при постатейном принятии некоторого постановления или закона, когда каждая из статей закона принимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвергается (иногда даже стопроцентным большинством голосующих). Либо наоборот, вполне возможно, что коллективно будут приняты решения, которые на индивидуальном уровне не поддерживал ни один из голосующих.

Пример. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трем вопросам. Первый из них голосует «да» по первому вопросу, «да» по второму и «нет» по третьему («да»/«да»/«нет»), второй — «да»/«нет»/«да», третий — «нет»/«да»/«да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да»/«да»/«да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.

Альтернативное голосование

На практике идея Кондорсе о необходимости ранжирования кандидатов реализована в альтернативном голосовании. Данный метод применяется при выборах в различные органы власти Австралии, Новой Зеландии, Папуа — Новой Гвинеи, Фиджи, Ирландии, США, а также в ряде политических партий, неправительственных организаций и т. д.

Антирейтинги

С парадоксом Кондорсе перекликается идея «антирейтинга» политика. При определении антирейтингов потенциальных избирателей просят назвать не только наиболее, но и наименее поддерживаемые кандидатуры, то есть фактически проранжировать всех кандидатов по степени предпочтения.

Источники

• [web.archive.org/web/20060712094805/rrpolit.narod.ru/messen/condorse.htm Парадокс Кондорсе]
• [www.ksu.ru/infres/politology/zalyaev.doc Альтернативное голосование (с. 103)]

Литература

• Arrow K. J. Social Choice and Individual Values, London, 1951
• Granger G.G. La mathématique sociale du Marquis de Condorcet, Paris, 1956
• Sen A. K. Collective Choice and Social Welfare, London, 1970

Отрывок, характеризующий Парадокс Кондорсе

Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.
– Прислуга к орудиям! – скомандовал офицер.
И через минуту весело выбежали от костров артиллеристы и зарядили.
– Первое! – послышалась команда.
Бойко отскочил 1 й номер. Металлически, оглушая, зазвенело орудие, и через головы всех наших под горой, свистя, пролетела граната и, далеко не долетев до неприятеля, дымком показала место своего падения и лопнула.
Лица солдат и офицеров повеселели при этом звуке; все поднялись и занялись наблюдениями над видными, как на ладони, движениями внизу наших войск и впереди – движениями приближавшегося неприятеля. Солнце в ту же минуту совсем вышло из за туч, и этот красивый звук одинокого выстрела и блеск яркого солнца слились в одно бодрое и веселое впечатление.


Над мостом уже пролетели два неприятельские ядра, и на мосту была давка. В средине моста, слезши с лошади, прижатый своим толстым телом к перилам, стоял князь Несвицкий.
Он, смеючись, оглядывался назад на своего казака, который с двумя лошадьми в поводу стоял несколько шагов позади его.
Только что князь Несвицкий хотел двинуться вперед, как опять солдаты и повозки напирали на него и опять прижимали его к перилам, и ему ничего не оставалось, как улыбаться.
– Экой ты, братец, мой! – говорил казак фурштатскому солдату с повозкой, напиравшему на толпившуюся v самых колес и лошадей пехоту, – экой ты! Нет, чтобы подождать: видишь, генералу проехать.
Но фурштат, не обращая внимания на наименование генерала, кричал на солдат, запружавших ему дорогу: – Эй! землячки! держись влево, постой! – Но землячки, теснясь плечо с плечом, цепляясь штыками и не прерываясь, двигались по мосту одною сплошною массой. Поглядев за перила вниз, князь Несвицкий видел быстрые, шумные, невысокие волны Энса, которые, сливаясь, рябея и загибаясь около свай моста, перегоняли одна другую. Поглядев на мост, он видел столь же однообразные живые волны солдат, кутасы, кивера с чехлами, ранцы, штыки, длинные ружья и из под киверов лица с широкими скулами, ввалившимися щеками и беззаботно усталыми выражениями и движущиеся ноги по натасканной на доски моста липкой грязи. Иногда между однообразными волнами солдат, как взбрызг белой пены в волнах Энса, протискивался между солдатами офицер в плаще, с своею отличною от солдат физиономией; иногда, как щепка, вьющаяся по реке, уносился по мосту волнами пехоты пеший гусар, денщик или житель; иногда, как бревно, плывущее по реке, окруженная со всех сторон, проплывала по мосту ротная или офицерская, наложенная доверху и прикрытая кожами, повозка.
– Вишь, их, как плотину, прорвало, – безнадежно останавливаясь, говорил казак. – Много ль вас еще там?
– Мелион без одного! – подмигивая говорил близко проходивший в прорванной шинели веселый солдат и скрывался; за ним проходил другой, старый солдат.
– Как он (он – неприятель) таперича по мосту примется зажаривать, – говорил мрачно старый солдат, обращаясь к товарищу, – забудешь чесаться.
И солдат проходил. За ним другой солдат ехал на повозке.
– Куда, чорт, подвертки запихал? – говорил денщик, бегом следуя за повозкой и шаря в задке.
И этот проходил с повозкой. За этим шли веселые и, видимо, выпившие солдаты.
– Как он его, милый человек, полыхнет прикладом то в самые зубы… – радостно говорил один солдат в высоко подоткнутой шинели, широко размахивая рукой.
– То то оно, сладкая ветчина то. – отвечал другой с хохотом.
И они прошли, так что Несвицкий не узнал, кого ударили в зубы и к чему относилась ветчина.
– Эк торопятся, что он холодную пустил, так и думаешь, всех перебьют. – говорил унтер офицер сердито и укоризненно.
– Как оно пролетит мимо меня, дяденька, ядро то, – говорил, едва удерживаясь от смеха, с огромным ртом молодой солдат, – я так и обмер. Право, ей Богу, так испужался, беда! – говорил этот солдат, как будто хвастаясь тем, что он испугался. И этот проходил. За ним следовала повозка, непохожая на все проезжавшие до сих пор. Это был немецкий форшпан на паре, нагруженный, казалось, целым домом; за форшпаном, который вез немец, привязана была красивая, пестрая, с огромным вымем, корова. На перинах сидела женщина с грудным ребенком, старуха и молодая, багроворумяная, здоровая девушка немка. Видно, по особому разрешению были пропущены эти выселявшиеся жители. Глаза всех солдат обратились на женщин, и, пока проезжала повозка, двигаясь шаг за шагом, и, все замечания солдат относились только к двум женщинам. На всех лицах была почти одна и та же улыбка непристойных мыслей об этой женщине.
– Ишь, колбаса то, тоже убирается!
– Продай матушку, – ударяя на последнем слоге, говорил другой солдат, обращаясь к немцу, который, опустив глаза, сердито и испуганно шел широким шагом.
– Эк убралась как! То то черти!
– Вот бы тебе к ним стоять, Федотов.
– Видали, брат!
– Куда вы? – спрашивал пехотный офицер, евший яблоко, тоже полуулыбаясь и глядя на красивую девушку.
Немец, закрыв глаза, показывал, что не понимает.
– Хочешь, возьми себе, – говорил офицер, подавая девушке яблоко. Девушка улыбнулась и взяла. Несвицкий, как и все, бывшие на мосту, не спускал глаз с женщин, пока они не проехали. Когда они проехали, опять шли такие же солдаты, с такими же разговорами, и, наконец, все остановились. Как это часто бывает, на выезде моста замялись лошади в ротной повозке, и вся толпа должна была ждать.
– И что становятся? Порядку то нет! – говорили солдаты. – Куда прешь? Чорт! Нет того, чтобы подождать. Хуже того будет, как он мост подожжет. Вишь, и офицера то приперли, – говорили с разных сторон остановившиеся толпы, оглядывая друг друга, и всё жались вперед к выходу.
Оглянувшись под мост на воды Энса, Несвицкий вдруг услышал еще новый для него звук, быстро приближающегося… чего то большого и чего то шлепнувшегося в воду.