Парадокс Монти Холла

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Загадка (значения).

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.





Формулировка

Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы — участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза

Одним из объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. То есть, с вероятностью 2⁄3. Потому что изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½, вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, то есть парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, как бы никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, так как вероятность правильного выбора будет уже ⅓. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

Дадим ещё одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, то есть из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените своё решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, то есть, если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 2⁄3, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

Еще более наглядное объяснение можно дать, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту которую выбрал игрок и еще одну. Очевидно, что вероятность нахождения приза за каждой из них вовсе не ½. Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 2⁄3.

Еще одна альтернатива объяснения — заменить условие эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 66 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

Другое поведение ведущего

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

Возможное поведение ведущего
Поведение ведущего Результат
«Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная.[1] Смена всегда даст козу.
«Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная.[2] Смена всегда даст автомобиль.
«Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля.[3][4][5] Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» — правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.
Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь. Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q=1−p.[6][4][5] Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью <math>\frac{1}{1+p}</math>. Если правую — <math>\frac{1}{1+q}</math>. Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь — независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью <math>\frac{1+q}{3}</math>.
То же самое, p=q=½ (классический случай). Смена даёт выигрыш с вероятностью 2⁄3.
То же самое, p=1, q=0 («бессильный Монти» — усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе). Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую — вероятность ½.
Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае.[7] Смена даёт выигрыш с вероятностью ½.
Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.[8][9] Равновесие Нэша: ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2⁄3). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще. Равновесие Нэша: ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓.

См. также

Напишите отзыв о статье "Парадокс Монти Холла"

Примечания

  1. ↑ Tierney, John (July 21, 1991), "[query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?]", The New York Times, <query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260>. Проверено 18 января 2008. 
  2. ↑ Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-312-30463-3, ([books.google.com/books?id=jNndlc2W4pAC&pg restricted online copy] в Google Книгах).
  3. ↑ Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711–729.
  4. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005a). «Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl». Math Horizons: September issue, 5–7. [probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf Online reprint, 2008].
  5. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.
  6. ↑ Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). [www.jstor.org/stable/2684453 "Let's make a deal: The player's dilemma,"] American Statistician 45: 284–287.
  7. ↑ Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). [econpapers.repec.org/paper/wpawuwpex/9906001.htm "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making"], University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.
  8. ↑ Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858–863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [arxiv.org/pdf/1002.3878v2]
  9. ↑ Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it's a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58–71, February 2011. Eprint [arxiv.org/pdf/1002.0651v3]

Ссылки

Парадокс Монти Холла в Викиучебнике?
  • [www.smartvideos.ru/probabilit-problem Объясняющий видеоролик] на сайте [www.smartvideos.ru/ Smart Videos .ru]
  • Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html Парадокс Монти Холла] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • [www.letsmakeadeal.com/problem.htm Парадокс Монти Холла] на сайте телешоу [www.letsmakeadeal.com Let’s Make a deal]
  • [univertv.ru/video/matematika/matematicheskaya_smes/matematicheskie_zagadki_i_paradoksy/paradoks_monti_holla/?mark=popular Ron Clarke Парадокс Монти Холла]
  • [dr-piliulkin.livejournal.com/47055.html Отрывок из книги С.Лукьяненко], в котором используется парадокс Монти Холла
  • [www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=6624&t=6618 Ещё одно решение по Байесу] Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета

Литература

  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha [www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf «The Mondee Gills Game.»] Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Отрывок, характеризующий Парадокс Монти Холла

– Il faut distinguer entre le cabinet de Vienne et l'Empereur d'Autriche, – сказал МorteMariet. – L'Empereur d'Autriche n'a jamais pu penser a une chose pareille, ce n'est que le cabinet qui le dit. [Необходимо различать венский кабинет и австрийского императора. Австрийский император никогда не мог этого думать, это говорит только кабинет.]
– Eh, mon cher vicomte, – вмешалась Анна Павловна, – l'Urope (она почему то выговаривала l'Urope, как особенную тонкость французского языка, которую она могла себе позволить, говоря с французом) l'Urope ne sera jamais notre alliee sincere. [Ах, мой милый виконт, Европа никогда не будет нашей искренней союзницей.]
Вслед за этим Анна Павловна навела разговор на мужество и твердость прусского короля с тем, чтобы ввести в дело Бориса.
Борис внимательно слушал того, кто говорит, ожидая своего череда, но вместе с тем успевал несколько раз оглядываться на свою соседку, красавицу Элен, которая с улыбкой несколько раз встретилась глазами с красивым молодым адъютантом.
Весьма естественно, говоря о положении Пруссии, Анна Павловна попросила Бориса рассказать свое путешествие в Глогау и положение, в котором он нашел прусское войско. Борис, не торопясь, чистым и правильным французским языком, рассказал весьма много интересных подробностей о войсках, о дворе, во всё время своего рассказа старательно избегая заявления своего мнения насчет тех фактов, которые он передавал. На несколько времени Борис завладел общим вниманием, и Анна Павловна чувствовала, что ее угощенье новинкой было принято с удовольствием всеми гостями. Более всех внимания к рассказу Бориса выказала Элен. Она несколько раз спрашивала его о некоторых подробностях его поездки и, казалось, весьма была заинтересована положением прусской армии. Как только он кончил, она с своей обычной улыбкой обратилась к нему:
– Il faut absolument que vous veniez me voir, [Необходимо нужно, чтоб вы приехали повидаться со мною,] – сказала она ему таким тоном, как будто по некоторым соображениям, которые он не мог знать, это было совершенно необходимо.
– Mariedi entre les 8 et 9 heures. Vous me ferez grand plaisir. [Во вторник, между 8 и 9 часами. Вы мне сделаете большое удовольствие.] – Борис обещал исполнить ее желание и хотел вступить с ней в разговор, когда Анна Павловна отозвала его под предлогом тетушки, которая желала его cлышать.
– Вы ведь знаете ее мужа? – сказала Анна Павловна, закрыв глаза и грустным жестом указывая на Элен. – Ах, это такая несчастная и прелестная женщина! Не говорите при ней о нем, пожалуйста не говорите. Ей слишком тяжело!


Когда Борис и Анна Павловна вернулись к общему кружку, разговором в нем завладел князь Ипполит.
Он, выдвинувшись вперед на кресле, сказал: Le Roi de Prusse! [Прусский король!] и сказав это, засмеялся. Все обратились к нему: Le Roi de Prusse? – спросил Ипполит, опять засмеялся и опять спокойно и серьезно уселся в глубине своего кресла. Анна Павловна подождала его немного, но так как Ипполит решительно, казалось, не хотел больше говорить, она начала речь о том, как безбожный Бонапарт похитил в Потсдаме шпагу Фридриха Великого.
– C'est l'epee de Frederic le Grand, que je… [Это шпага Фридриха Великого, которую я…] – начала было она, но Ипполит перебил ее словами:
– Le Roi de Prusse… – и опять, как только к нему обратились, извинился и замолчал. Анна Павловна поморщилась. MorteMariet, приятель Ипполита, решительно обратился к нему:
– Voyons a qui en avez vous avec votre Roi de Prusse? [Ну так что ж о прусском короле?]
Ипполит засмеялся, как будто ему стыдно было своего смеха.
– Non, ce n'est rien, je voulais dire seulement… [Нет, ничего, я только хотел сказать…] (Он намерен был повторить шутку, которую он слышал в Вене, и которую он целый вечер собирался поместить.) Je voulais dire seulement, que nous avons tort de faire la guerre рour le roi de Prusse. [Я только хотел сказать, что мы напрасно воюем pour le roi de Prusse . (Непереводимая игра слов, имеющая значение: «по пустякам».)]
Борис осторожно улыбнулся так, что его улыбка могла быть отнесена к насмешке или к одобрению шутки, смотря по тому, как она будет принята. Все засмеялись.
– Il est tres mauvais, votre jeu de mot, tres spirituel, mais injuste, – грозя сморщенным пальчиком, сказала Анна Павловна. – Nous ne faisons pas la guerre pour le Roi de Prusse, mais pour les bons principes. Ah, le mechant, ce prince Hippolytel [Ваша игра слов не хороша, очень умна, но несправедлива; мы не воюем pour le roi de Prusse (т. e. по пустякам), а за добрые начала. Ах, какой он злой, этот князь Ипполит!] – сказала она.
Разговор не утихал целый вечер, обращаясь преимущественно около политических новостей. В конце вечера он особенно оживился, когда дело зашло о наградах, пожалованных государем.
– Ведь получил же в прошлом году NN табакерку с портретом, – говорил l'homme a l'esprit profond, [человек глубокого ума,] – почему же SS не может получить той же награды?
– Je vous demande pardon, une tabatiere avec le portrait de l'Empereur est une recompense, mais point une distinction, – сказал дипломат, un cadeau plutot. [Извините, табакерка с портретом Императора есть награда, а не отличие; скорее подарок.]
– Il y eu plutot des antecedents, je vous citerai Schwarzenberg. [Были примеры – Шварценберг.]
– C'est impossible, [Это невозможно,] – возразил другой.
– Пари. Le grand cordon, c'est different… [Лента – это другое дело…]
Когда все поднялись, чтоб уезжать, Элен, очень мало говорившая весь вечер, опять обратилась к Борису с просьбой и ласковым, значительным приказанием, чтобы он был у нее во вторник.
– Мне это очень нужно, – сказала она с улыбкой, оглядываясь на Анну Павловну, и Анна Павловна той грустной улыбкой, которая сопровождала ее слова при речи о своей высокой покровительнице, подтвердила желание Элен. Казалось, что в этот вечер из каких то слов, сказанных Борисом о прусском войске, Элен вдруг открыла необходимость видеть его. Она как будто обещала ему, что, когда он приедет во вторник, она объяснит ему эту необходимость.
Приехав во вторник вечером в великолепный салон Элен, Борис не получил ясного объяснения, для чего было ему необходимо приехать. Были другие гости, графиня мало говорила с ним, и только прощаясь, когда он целовал ее руку, она с странным отсутствием улыбки, неожиданно, шопотом, сказала ему: Venez demain diner… le soir. Il faut que vous veniez… Venez. [Приезжайте завтра обедать… вечером. Надо, чтоб вы приехали… Приезжайте.]
В этот свой приезд в Петербург Борис сделался близким человеком в доме графини Безуховой.


Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.
Князь Андрей, после Аустерлицкой кампании, твердо pешил никогда не служить более в военной службе; и когда началась война, и все должны были служить, он, чтобы отделаться от действительной службы, принял должность под начальством отца по сбору ополчения. Старый князь с сыном как бы переменились ролями после кампании 1805 года. Старый князь, возбужденный деятельностью, ожидал всего хорошего от настоящей кампании; князь Андрей, напротив, не участвуя в войне и в тайне души сожалея о том, видел одно дурное.
26 февраля 1807 года, старый князь уехал по округу. Князь Андрей, как и большею частью во время отлучек отца, оставался в Лысых Горах. Маленький Николушка был нездоров уже 4 й день. Кучера, возившие старого князя, вернулись из города и привезли бумаги и письма князю Андрею.
Камердинер с письмами, не застав молодого князя в его кабинете, прошел на половину княжны Марьи; но и там его не было. Камердинеру сказали, что князь пошел в детскую.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, Петруша с бумагами пришел, – сказала одна из девушек помощниц няни, обращаясь к князю Андрею, который сидел на маленьком детском стуле и дрожащими руками, хмурясь, капал из стклянки лекарство в рюмку, налитую до половины водой.
– Что такое? – сказал он сердито, и неосторожно дрогнув рукой, перелил из стклянки в рюмку лишнее количество капель. Он выплеснул лекарство из рюмки на пол и опять спросил воды. Девушка подала ему.
В комнате стояла детская кроватка, два сундука, два кресла, стол и детские столик и стульчик, тот, на котором сидел князь Андрей. Окна были завешаны, и на столе горела одна свеча, заставленная переплетенной нотной книгой, так, чтобы свет не падал на кроватку.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Парадокс_Монти_Холла&oldid=81088633»