Парадокс Эренфеста

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс Эренфестамысленный эксперимент, рассматривающий диск, вращающийся с околосветовой скоростью.

В современном понимании показывает несовместимость некоторых понятий классической механики со специальной теорией относительности, а также возможность различного определения понятий времени и расстояния во вращающихся системах отсчёта.

Данный парадокс был выдвинут Эренфестом в 1909 году после разработки Эйнштейном специальной теории относительности.





Суть парадокса

Рассмотрим окружность (или полый цилиндр), вращающуюся вокруг своей оси. Так как скорость каждого элемента окружности направлена по касательной, то она (окружность) должна испытывать лоренцево сокращение, то есть её размер для внешнего наблюдателя должен казаться меньше, чем её собственная длина.

Если окружность имеет радиус <math>R</math>, то для внешнего наблюдателя её длина равна <math>2\pi R</math>.

Однако, учитывая лоренцево сокращение, собственная длина окружности окажется больше:

<math>l = \frac{2\pi R}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = \frac{2\pi R}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\omega R}{c}\right)^2}},</math>

где <math>\omega</math> — круговая частота, <math>c</math> — скорость света.

Таким образом, изначально неподвижная жёсткая окружность после её раскручивания должна парадоксальным образом уменьшать свой радиус, чтобы сохранить длину.

По рассуждениям Эренфеста абсолютно твёрдое тело невозможно привести во вращательное движение[1], поскольку в радиальном направлении лоренцева сжатия быть не должно. Следовательно диск, бывший в покоящемся состоянии плоским, при раскручивании должен как-то изменить свою форму.

Теоретический анализ

Вращение в теории относительности

Рассуждение Эренфеста показывает невозможность приведения абсолютно твёрдого тела (изначально покоившегося) во вращение.

Оно, тем не менее, не опровергает существования жёстких равномерно вращающихся дисков. Однако их пространственная геометрия должна быть отлична от евклидовой.

Пространственно-временно́е описание такого диска возможно при помощи координат Борна, однако течение времени на нём будет отличаться от галилеева.

Скорость времени будет зависеть от расстояния до центра, а скорости света вперёд и назад по направлению вращения в координатах Борна окажутся различны (см. также эффект Саньяка). Построить ортогональную пространственно-временную систему координат, привязанную ко вращающемуся диску, оказывается невозможно.

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

Геометрия вращающегося диска

Пользуясь координатами Борна, мы можем определить собственное расстояние между очень близкими[2] точками диска. Их можно представлять, например, соседними молекулами или атомами в металле, из которого сделан диск.

Локально расстояние оказывается устроено именно так, как полагал Эренфест: вдоль окружностей собственное расстояние превышает видимое в точности по закону лоренцева сокращения, а в направлении радиусов оказывается неизменным, то есть равным разности радиусов.

Вычисления показывают, что вращающийся диск, хотя предполагается лежащим в плоскости, должен (в смысле своей, собственной геометрии) являться поверхностью с отрицательной кривизной.

Если считать рассматриваемое вращающееся тело имеющим толщину, то вдоль неё (то есть в направлении вдоль оси вращения), как и в радиальных направлениях, разницы между естественными и видимыми расстояниями не наблюдается. В координатах <math>(\varphi,\;r,\;z)</math>, таким образом, метрика всех трёх размерностей пространства будет выглядеть как:

<math> \frac{c^2 \, r^2}{c^2 - \omega^2 \, r^2} \, d\varphi^2 + dr^2 + dz^2. </math>

Парадокс Эренфеста и ОТО

Разрешение «парадокса» в современной форме вовлекает такой математический аппарат как криволинейные координаты и геодезические, характерный для общей теории относительности. Тем не менее, хотя понятия ОТО вполне применимы к данному случаю, следует иметь в виду что парадокс Эренфеста рассматривается в плоском, неискривлённом пространстве Минковского. Вращение диска в гравитационном поле будет представлять уже иную задачу.

Физическое толкование

Околосветовое вращение твёрдого тела едва ли может наблюдаться на практике, поскольку центробежная сила должна приводить (для диска, не удерживаемого никакими силами, кроме собственной прочности) к напряжениям порядка плотности материала умноженной на <math>c^2</math>, которые не сможет выдержать никакое вещество или материал.

Если же компенсировать центробежную силу гравитационным полем (как происходит, например, в пульсарах), то мы выйдем за рамки применимости СТО, и геометрия тела, по-видимому, изменится иным образом, нежели описано выше.

При достижении же раскручиваемым диском умеренной скорости вращения его форма меняется гораздо сильнее от упругих деформаций, нежели из-за эффектов СТО. Релятивистский эффект Эренфеста лишь должен незначительно усилить продольное (вдоль направления вращения) растяжение материала диска.

См. также

Напишите отзыв о статье "Парадокс Эренфеста"

Примечания

  1. Физика ч.2. Энциклопедия для детей. Том 16. стр.123 [ISBN 5-8483-0030-5]
  2. Строго говоря, относительная скорость этих двух точек должна быть много меньше световой, в пределах применимости классической механики.

Отрывок, характеризующий Парадокс Эренфеста

– Вы спите, мама?
– Ах, какой сон! – сказала, пробуждаясь, только что задремавшая графиня.
– Мама, голубчик, – сказала Наташа, становясь на колени перед матерью и близко приставляя свое лицо к ее лицу. – Виновата, простите, никогда не буду, я вас разбудила. Меня Мавра Кузминишна послала, тут раненых привезли, офицеров, позволите? А им некуда деваться; я знаю, что вы позволите… – говорила она быстро, не переводя духа.
– Какие офицеры? Кого привезли? Ничего не понимаю, – сказала графиня.
Наташа засмеялась, графиня тоже слабо улыбалась.
– Я знала, что вы позволите… так я так и скажу. – И Наташа, поцеловав мать, встала и пошла к двери.
В зале она встретила отца, с дурными известиями возвратившегося домой.
– Досиделись мы! – с невольной досадой сказал граф. – И клуб закрыт, и полиция выходит.
– Папа, ничего, что я раненых пригласила в дом? – сказала ему Наташа.
– Разумеется, ничего, – рассеянно сказал граф. – Не в том дело, а теперь прошу, чтобы пустяками не заниматься, а помогать укладывать и ехать, ехать, ехать завтра… – И граф передал дворецкому и людям то же приказание. За обедом вернувшийся Петя рассказывал свои новости.
Он говорил, что нынче народ разбирал оружие в Кремле, что в афише Растопчина хотя и сказано, что он клич кликнет дня за два, но что уж сделано распоряжение наверное о том, чтобы завтра весь народ шел на Три Горы с оружием, и что там будет большое сражение.
Графиня с робким ужасом посматривала на веселое, разгоряченное лицо своего сына в то время, как он говорил это. Она знала, что ежели она скажет слово о том, что она просит Петю не ходить на это сражение (она знала, что он радуется этому предстоящему сражению), то он скажет что нибудь о мужчинах, о чести, об отечестве, – что нибудь такое бессмысленное, мужское, упрямое, против чего нельзя возражать, и дело будет испорчено, и поэтому, надеясь устроить так, чтобы уехать до этого и взять с собой Петю, как защитника и покровителя, она ничего не сказала Пете, а после обеда призвала графа и со слезами умоляла его увезти ее скорее, в эту же ночь, если возможно. С женской, невольной хитростью любви, она, до сих пор выказывавшая совершенное бесстрашие, говорила, что она умрет от страха, ежели не уедут нынче ночью. Она, не притворяясь, боялась теперь всего.


M me Schoss, ходившая к своей дочери, еще болоо увеличила страх графини рассказами о том, что она видела на Мясницкой улице в питейной конторе. Возвращаясь по улице, она не могла пройти домой от пьяной толпы народа, бушевавшей у конторы. Она взяла извозчика и объехала переулком домой; и извозчик рассказывал ей, что народ разбивал бочки в питейной конторе, что так велено.
После обеда все домашние Ростовых с восторженной поспешностью принялись за дело укладки вещей и приготовлений к отъезду. Старый граф, вдруг принявшись за дело, всё после обеда не переставая ходил со двора в дом и обратно, бестолково крича на торопящихся людей и еще более торопя их. Петя распоряжался на дворе. Соня не знала, что делать под влиянием противоречивых приказаний графа, и совсем терялась. Люди, крича, споря и шумя, бегали по комнатам и двору. Наташа, с свойственной ей во всем страстностью, вдруг тоже принялась за дело. Сначала вмешательство ее в дело укладывания было встречено с недоверием. От нее всё ждали шутки и не хотели слушаться ее; но она с упорством и страстностью требовала себе покорности, сердилась, чуть не плакала, что ее не слушают, и, наконец, добилась того, что в нее поверили. Первый подвиг ее, стоивший ей огромных усилий и давший ей власть, была укладка ковров. У графа в доме были дорогие gobelins и персидские ковры. Когда Наташа взялась за дело, в зале стояли два ящика открытые: один почти доверху уложенный фарфором, другой с коврами. Фарфора было еще много наставлено на столах и еще всё несли из кладовой. Надо было начинать новый, третий ящик, и за ним пошли люди.
– Соня, постой, да мы всё так уложим, – сказала Наташа.
– Нельзя, барышня, уж пробовали, – сказал буфетчнк.
– Нет, постой, пожалуйста. – И Наташа начала доставать из ящика завернутые в бумаги блюда и тарелки.
– Блюда надо сюда, в ковры, – сказала она.
– Да еще и ковры то дай бог на три ящика разложить, – сказал буфетчик.
– Да постой, пожалуйста. – И Наташа быстро, ловко начала разбирать. – Это не надо, – говорила она про киевские тарелки, – это да, это в ковры, – говорила она про саксонские блюда.
– Да оставь, Наташа; ну полно, мы уложим, – с упреком говорила Соня.
– Эх, барышня! – говорил дворецкий. Но Наташа не сдалась, выкинула все вещи и быстро начала опять укладывать, решая, что плохие домашние ковры и лишнюю посуду не надо совсем брать. Когда всё было вынуто, начали опять укладывать. И действительно, выкинув почти все дешевое, то, что не стоило брать с собой, все ценное уложили в два ящика. Не закрывалась только крышка коверного ящика. Можно было вынуть немного вещей, но Наташа хотела настоять на своем. Она укладывала, перекладывала, нажимала, заставляла буфетчика и Петю, которого она увлекла за собой в дело укладыванья, нажимать крышку и сама делала отчаянные усилия.
– Да полно, Наташа, – говорила ей Соня. – Я вижу, ты права, да вынь один верхний.
– Не хочу, – кричала Наташа, одной рукой придерживая распустившиеся волосы по потному лицу, другой надавливая ковры. – Да жми же, Петька, жми! Васильич, нажимай! – кричала она. Ковры нажались, и крышка закрылась. Наташа, хлопая в ладоши, завизжала от радости, и слезы брызнули у ней из глаз. Но это продолжалось секунду. Тотчас же она принялась за другое дело, и уже ей вполне верили, и граф не сердился, когда ему говорили, что Наталья Ильинишна отменила его приказанье, и дворовые приходили к Наташе спрашивать: увязывать или нет подводу и довольно ли она наложена? Дело спорилось благодаря распоряжениям Наташи: оставлялись ненужные вещи и укладывались самым тесным образом самые дорогие.