Первообразная

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции <math>f(x)</math> называют такую <math>F(x)</math>, производная которой (на всей области определения) равна <math>f</math>, то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math> является первообразной <math>f(x) = x^2</math>. Так как производная константы равна нулю, <math>x^2</math> будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как <math>x^3/3+45324</math> или <math>x^3/3-3232</math> и т.д.; таким образом, семейство первообразных функции <math>x^2</math> можно обозначить как <math>F(x) = x^3/3+C</math>, где <math>C</math> — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения <math>C</math>.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если <math>F</math> — первообразная интегрируемой функции <math>f</math>, то:

<math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).</math>

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции <math>f(x)</math> называют неопределённым интегралом (общим интегралом) <math>f</math> и записывают в виде интеграла без указания пределов:

<math>\int f(x)\, dx</math>

Если <math>F</math> — первообразная <math>f</math>, и функция <math>f</math> определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная <math>G</math> отличается от <math>F</math> на константу: всегда существует число <math>C</math>, такое что <math>G(x) = F(x) + C</math> для всех <math>x</math>. Число <math>C</math> называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция <math>f</math> имеет первообразную <math>F</math>, одна из которых представляется в виде интеграла от <math>f</math> с переменным верхним пределом:

<math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.</math>

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, <math>f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}</math> с <math>f(0) = 0</math> не непрерывна при <math>x = 0</math>, но имеет первообразную <math>F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}</math> с <math>F(0) = 0</math>.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

<math>\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx</math>.




Свойства первообразной

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции <math>f</math> является непрерывность <math>f</math> на этом отрезке
  • Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции <math>f</math> первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной <math>F'</math> и выполнения всюду равенства <math>F'(x)=f(x)</math>, иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел <math>n</math>-ой производнойК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3628 дней]

Функция <math>F(x)</math> называется первообразной для функции <math>f(x),</math> если будет существовать предел для функции <math>f^{(n)}(x),</math> являющейся производной <math>n</math>-го порядка для функции <math>f(x),</math> то есть

<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right).</math>

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

<math>F'(x) = (\lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right))' = \lim_{n \to -1} f^{(n+1)} \left( x \right) = f^{(0)}(x) = f(x).</math>

Пример 1. Вычислим первообразную для функции <math>f(x)=x^m.</math>

И так,

<math>f'(x)=mx^{m-1}, f(x)=m(m-1)x^{m-2}, f'(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3}, ..., f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))x^{m-n}</math> при условии, что <math>m \geqslant n.</math>

Поскольку

<math>m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))=\frac{m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}{(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}=\frac{m!}{(m-n)!}.</math>

Получаем

<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}=\frac{x^{m+1}}{m+1}.</math>

Пример 2. Вычислим первообразную для функции <math>f(x)=\sin x.</math>

<math>f'(x)=\cos x = \sin(x+1\cdot \frac{\pi}{2}),</math>
<math>f(x)= -\sin x = \sin(x+2\cdot \frac{\pi}{2}),</math>
<math>f(x)= -\cos x = \sin(x+3\cdot \frac{\pi}{2}),</math>
<math>f^{IV}(x)= \sin x = \sin(x+4\cdot \frac{\pi}{2}),</math>
<math>...</math>
<math>f^{(n)}(x) = \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}).</math>
<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(x-\frac{\pi}{2}) = -\cos x.</math>

Напишите отзыв о статье "Первообразная"

Примечания

Ссылки

  • [www.math4you.ru/theory/neopr/int-exmpl/ Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов]
  • [mathhelpplanet.com/static.php?p=integral-nyutona-lyeibnitsa Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом]
  • [integrals.wolfram.com Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы Mathematica
  • [user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн]
  • [ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов]

См. также


Отрывок, характеризующий Первообразная

Несчастия ваши жестоки, но его величество император и король хочет прекратить течение оных. Страшные примеры вас научили, каким образом он наказывает непослушание и преступление. Строгие меры взяты, чтобы прекратить беспорядок и возвратить общую безопасность. Отеческая администрация, избранная из самих вас, составлять будет ваш муниципалитет или градское правление. Оное будет пещись об вас, об ваших нуждах, об вашей пользе. Члены оного отличаются красною лентою, которую будут носить через плечо, а градской голова будет иметь сверх оного белый пояс. Но, исключая время должности их, они будут иметь только красную ленту вокруг левой руки.
Городовая полиция учреждена по прежнему положению, а чрез ее деятельность уже лучший существует порядок. Правительство назначило двух генеральных комиссаров, или полицмейстеров, и двадцать комиссаров, или частных приставов, поставленных во всех частях города. Вы их узнаете по белой ленте, которую будут они носить вокруг левой руки. Некоторые церкви разного исповедания открыты, и в них беспрепятственно отправляется божественная служба. Ваши сограждане возвращаются ежедневно в свои жилища, и даны приказы, чтобы они в них находили помощь и покровительство, следуемые несчастию. Сии суть средства, которые правительство употребило, чтобы возвратить порядок и облегчить ваше положение; но, чтобы достигнуть до того, нужно, чтобы вы с ним соединили ваши старания, чтобы забыли, если можно, ваши несчастия, которые претерпели, предались надежде не столь жестокой судьбы, были уверены, что неизбежимая и постыдная смерть ожидает тех, кои дерзнут на ваши особы и оставшиеся ваши имущества, а напоследок и не сомневались, что оные будут сохранены, ибо такая есть воля величайшего и справедливейшего из всех монархов. Солдаты и жители, какой бы вы нации ни были! Восстановите публичное доверие, источник счастия государства, живите, как братья, дайте взаимно друг другу помощь и покровительство, соединитесь, чтоб опровергнуть намерения зломыслящих, повинуйтесь воинским и гражданским начальствам, и скоро ваши слезы течь перестанут».
В отношении продовольствия войска, Наполеон предписал всем войскам поочередно ходить в Москву a la maraude [мародерствовать] для заготовления себе провианта, так, чтобы таким образом армия была обеспечена на будущее время.
В отношении религиозном, Наполеон приказал ramener les popes [привести назад попов] и возобновить служение в церквах.
В торговом отношении и для продовольствия армии было развешено везде следующее:
Провозглашение
«Вы, спокойные московские жители, мастеровые и рабочие люди, которых несчастия удалили из города, и вы, рассеянные земледельцы, которых неосновательный страх еще задерживает в полях, слушайте! Тишина возвращается в сию столицу, и порядок в ней восстановляется. Ваши земляки выходят смело из своих убежищ, видя, что их уважают. Всякое насильствие, учиненное против их и их собственности, немедленно наказывается. Его величество император и король их покровительствует и между вами никого не почитает за своих неприятелей, кроме тех, кои ослушиваются его повелениям. Он хочет прекратить ваши несчастия и возвратить вас вашим дворам и вашим семействам. Соответствуйте ж его благотворительным намерениям и приходите к нам без всякой опасности. Жители! Возвращайтесь с доверием в ваши жилища: вы скоро найдете способы удовлетворить вашим нуждам! Ремесленники и трудолюбивые мастеровые! Приходите обратно к вашим рукодельям: домы, лавки, охранительные караулы вас ожидают, а за вашу работу получите должную вам плату! И вы, наконец, крестьяне, выходите из лесов, где от ужаса скрылись, возвращайтесь без страха в ваши избы, в точном уверении, что найдете защищение. Лабазы учреждены в городе, куда крестьяне могут привозить излишние свои запасы и земельные растения. Правительство приняло следующие меры, чтоб обеспечить им свободную продажу: 1) Считая от сего числа, крестьяне, земледельцы и живущие в окрестностях Москвы могут без всякой опасности привозить в город свои припасы, какого бы роду ни были, в двух назначенных лабазах, то есть на Моховую и в Охотный ряд. 2) Оные продовольствия будут покупаться у них по такой цене, на какую покупатель и продавец согласятся между собою; но если продавец не получит требуемую им справедливую цену, то волен будет повезти их обратно в свою деревню, в чем никто ему ни под каким видом препятствовать не может. 3) Каждое воскресенье и середа назначены еженедельно для больших торговых дней; почему достаточное число войск будет расставлено по вторникам и субботам на всех больших дорогах, в таком расстоянии от города, чтоб защищать те обозы. 4) Таковые ж меры будут взяты, чтоб на возвратном пути крестьянам с их повозками и лошадьми не последовало препятствия. 5) Немедленно средства употреблены будут для восстановления обыкновенных торгов. Жители города и деревень, и вы, работники и мастеровые, какой бы вы нации ни были! Вас взывают исполнять отеческие намерения его величества императора и короля и способствовать с ним к общему благополучию. Несите к его стопам почтение и доверие и не медлите соединиться с нами!»
В отношении поднятия духа войска и народа, беспрестанно делались смотры, раздавались награды. Император разъезжал верхом по улицам и утешал жителей; и, несмотря на всю озабоченность государственными делами, сам посетил учрежденные по его приказанию театры.
В отношении благотворительности, лучшей доблести венценосцев, Наполеон делал тоже все, что от него зависело. На богоугодных заведениях он велел надписать Maison de ma mere [Дом моей матери], соединяя этим актом нежное сыновнее чувство с величием добродетели монарха. Он посетил Воспитательный дом и, дав облобызать свои белые руки спасенным им сиротам, милостиво беседовал с Тутолминым. Потом, по красноречивому изложению Тьера, он велел раздать жалованье своим войскам русскими, сделанными им, фальшивыми деньгами. Relevant l'emploi de ces moyens par un acte digue de lui et de l'armee Francaise, il fit distribuer des secours aux incendies. Mais les vivres etant trop precieux pour etre donnes a des etrangers la plupart ennemis, Napoleon aima mieux leur fournir de l'argent afin qu'ils se fournissent au dehors, et il leur fit distribuer des roubles papiers. [Возвышая употребление этих мер действием, достойным его и французской армии, он приказал раздать пособия погоревшим. Но, так как съестные припасы были слишком дороги для того, чтобы давать их людям чужой земли и по большей части враждебно расположенным, Наполеон счел лучшим дать им денег, чтобы они добывали себе продовольствие на стороне; и он приказал оделять их бумажными рублями.]