Периодическая функция

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом <math>T\ne 0</math>, если для каждой точки <math>x</math> из её области определения точки <math>x+T</math> и <math>x-T</math> также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство <math>f(x)= f(x+T)= f(x-T)</math>.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство <math>f(x)=f(x+nT)</math>, где <math>n</math> — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть <math>M</math> есть абелева группа (обычно предполагается <math>M=(\R,+)</math> — вещественные числа с операцией сложения или <math>(\mathbb C,+)</math> — комплексные числа). Функция <math>f: M \to N</math> (где <math>N</math> — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом <math>T \not= 0</math> , если справедливо

<math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.

Если это равенство не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math> , то функция <math>f</math> называется апериоди́ческой.

Если для функции <math>f: \mathbb C \to N</math> существуют два периода <math>T_1, T_2\not= 0</math>, отношение которых не равно вещественному числу, то есть <math>\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}</math>, то <math>f</math> называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения <math>f</math> на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на <math>T_1, T_2</math>.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если <math>T</math> — период, то и любой элемент <math>T'</math> вида <math>T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n</math> (или <math>T' = n T</math>, если в области определения функции определена операция умножения), где <math>n \in \mathbb{N}</math> — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов <math>\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}</math> имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом <math>2\pi</math> , так как

<math>\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.</math>

• Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом <math>\pi</math>.

• Функция, равная константе <math>f(x) = \mathrm{const}</math>, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция <math>f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}</math> является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному <math>T_1</math> и <math>T_2</math> (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции <math>f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)</math> основной период равен <math>2\pi</math>, у функции <math>g(x)=\sin(3x)</math> период равен <math>2\pi/3</math>, а у их суммы <math>f(x)+g(x)=\sin(2x)</math> основной период, очевидно, равен <math>\pi</math>.

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции <math>f(x)</math>, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

• Квазипериодическая функция

Ссылки

• [archive.is/cYS5h Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)]

Отрывок, характеризующий Периодическая функция

Доводы его были сжаты, просты и ясны.
Институт, поддерживающий эту честь, источник соревнования, есть институт, подобный Legion d'honneur [Ордену почетного легиона] великого императора Наполеона, не вредящий, а содействующий успеху службы, а не сословное или придворное преимущество.
– Я не спорю, но нельзя отрицать, что придворное преимущество достигло той же цели, – сказал князь Андрей: – всякий придворный считает себя обязанным достойно нести свое положение.
– Но вы им не хотели воспользоваться, князь, – сказал Сперанский, улыбкой показывая, что он, неловкий для своего собеседника спор, желает прекратить любезностью. – Ежели вы мне сделаете честь пожаловать ко мне в среду, – прибавил он, – то я, переговорив с Магницким, сообщу вам то, что может вас интересовать, и кроме того буду иметь удовольствие подробнее побеседовать с вами. – Он, закрыв глаза, поклонился, и a la francaise, [на французский манер,] не прощаясь, стараясь быть незамеченным, вышел из залы.


Первое время своего пребыванья в Петербурге, князь Андрей почувствовал весь свой склад мыслей, выработавшийся в его уединенной жизни, совершенно затемненным теми мелкими заботами, которые охватили его в Петербурге.
С вечера, возвращаясь домой, он в памятной книжке записывал 4 или 5 необходимых визитов или rendez vous [свиданий] в назначенные часы. Механизм жизни, распоряжение дня такое, чтобы везде поспеть во время, отнимали большую долю самой энергии жизни. Он ничего не делал, ни о чем даже не думал и не успевал думать, а только говорил и с успехом говорил то, что он успел прежде обдумать в деревне.
Он иногда замечал с неудовольствием, что ему случалось в один и тот же день, в разных обществах, повторять одно и то же. Но он был так занят целые дни, что не успевал подумать о том, что он ничего не думал.
Сперанский, как в первое свидание с ним у Кочубея, так и потом в середу дома, где Сперанский с глазу на глаз, приняв Болконского, долго и доверчиво говорил с ним, сделал сильное впечатление на князя Андрея.
Князь Андрей такое огромное количество людей считал презренными и ничтожными существами, так ему хотелось найти в другом живой идеал того совершенства, к которому он стремился, что он легко поверил, что в Сперанском он нашел этот идеал вполне разумного и добродетельного человека. Ежели бы Сперанский был из того же общества, из которого был князь Андрей, того же воспитания и нравственных привычек, то Болконский скоро бы нашел его слабые, человеческие, не геройские стороны, но теперь этот странный для него логический склад ума тем более внушал ему уважения, что он не вполне понимал его. Кроме того, Сперанский, потому ли что он оценил способности князя Андрея, или потому что нашел нужным приобресть его себе, Сперанский кокетничал перед князем Андреем своим беспристрастным, спокойным разумом и льстил князю Андрею той тонкой лестью, соединенной с самонадеянностью, которая состоит в молчаливом признавании своего собеседника с собою вместе единственным человеком, способным понимать всю глупость всех остальных, и разумность и глубину своих мыслей.
Во время длинного их разговора в середу вечером, Сперанский не раз говорил: «У нас смотрят на всё, что выходит из общего уровня закоренелой привычки…» или с улыбкой: «Но мы хотим, чтоб и волки были сыты и овцы целы…» или: «Они этого не могут понять…» и всё с таким выраженьем, которое говорило: «Мы: вы да я, мы понимаем, что они и кто мы ».
Этот первый, длинный разговор с Сперанским только усилил в князе Андрее то чувство, с которым он в первый раз увидал Сперанского. Он видел в нем разумного, строго мыслящего, огромного ума человека, энергией и упорством достигшего власти и употребляющего ее только для блага России. Сперанский в глазах князя Андрея был именно тот человек, разумно объясняющий все явления жизни, признающий действительным только то, что разумно, и ко всему умеющий прилагать мерило разумности, которым он сам так хотел быть. Всё представлялось так просто, ясно в изложении Сперанского, что князь Андрей невольно соглашался с ним во всем. Ежели он возражал и спорил, то только потому, что хотел нарочно быть самостоятельным и не совсем подчиняться мнениям Сперанского. Всё было так, всё было хорошо, но одно смущало князя Андрея: это был холодный, зеркальный, не пропускающий к себе в душу взгляд Сперанского, и его белая, нежная рука, на которую невольно смотрел князь Андрей, как смотрят обыкновенно на руки людей, имеющих власть. Зеркальный взгляд и нежная рука эта почему то раздражали князя Андрея. Неприятно поражало князя Андрея еще слишком большое презрение к людям, которое он замечал в Сперанском, и разнообразность приемов в доказательствах, которые он приводил в подтверждение своих мнений. Он употреблял все возможные орудия мысли, исключая сравнения, и слишком смело, как казалось князю Андрею, переходил от одного к другому. То он становился на почву практического деятеля и осуждал мечтателей, то на почву сатирика и иронически подсмеивался над противниками, то становился строго логичным, то вдруг поднимался в область метафизики. (Это последнее орудие доказательств он особенно часто употреблял.) Он переносил вопрос на метафизические высоты, переходил в определения пространства, времени, мысли и, вынося оттуда опровержения, опять спускался на почву спора.