Перпендикулярность

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: <math>\perp</math>, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых <math>m</math> и <math>n</math> записывают как <math>m\perp n</math>.

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями <math>y=\operatorname{tg}\alpha_1 x+b_1</math> и <math>y=\operatorname{tg}\alpha_2 x+b_2</math> будут перпендикулярны, если выполнено условие <math>\alpha_2=\frac{1}{2}\pi+\alpha_1</math>. Эти же прямые будут перпендикулярны, если <math>\operatorname{tg}\alpha_1 \operatorname{tg}\alpha_2 =-1</math>. (Здесь <math>\alpha_1,\alpha_2</math> — углы наклона прямой к горизонтали)

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

<math>A(x_a,y_a)</math> и <math>B(x_b,y_b)</math> — прямая, <math>O(x_o,y_o)</math> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <math>P(x_p,y_p)</math>.

Если <math>x_a = x_b</math> (вертикаль), то <math>x_o = x_a</math> и <math>y_o = y_p</math>. Если <math>y_a = y_b</math> (горизонталь), то <math>x_o = x_p</math> и <math>y_o = y_a</math>.

Во всех остальных случаях:

<math>x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2}</math>;

<math>y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p</math>.

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения.

В многомерных пространствах

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно <math>\tbinom{4}{2}=6</math>: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство <math>\mathbb{R}^n</math>(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство <math>W^n</math>, а прямая l с направляющим векторным пространством <math>L^1</math> и гиперплоскость <math>\Pi_{k}</math> с направляющим векторным пространством <math>L^{k}</math> (где <math>L_1 \subset W^n</math>, <math>L^k \subset W^n,\ k < n </math>) принадлежат пространству <math>\mathbb{R}^n</math>.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости <math>\Pi_{k}</math>, если подпространство <math>L_1</math> ортогонально подпространству <math>L^{k}</math>, то есть <math>(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0</math>

См. также

• Параллельность
• Ортогональность
• Высота
• Теорема о трёх перпендикулярах

Отрывок, характеризующий Перпендикулярность

Четвертое направление было направление, которого самым видным представителем был великий князь, наследник цесаревич, не могший забыть своего аустерлицкого разочарования, где он, как на смотр, выехал перед гвардиею в каске и колете, рассчитывая молодецки раздавить французов, и, попав неожиданно в первую линию, насилу ушел в общем смятении. Люди этой партии имели в своих суждениях и качество и недостаток искренности. Они боялись Наполеона, видели в нем силу, в себе слабость и прямо высказывали это. Они говорили: «Ничего, кроме горя, срама и погибели, из всего этого не выйдет! Вот мы оставили Вильну, оставили Витебск, оставим и Дриссу. Одно, что нам остается умного сделать, это заключить мир, и как можно скорее, пока не выгнали нас из Петербурга!»
Воззрение это, сильно распространенное в высших сферах армии, находило себе поддержку и в Петербурге, и в канцлере Румянцеве, по другим государственным причинам стоявшем тоже за мир.
Пятые были приверженцы Барклая де Толли, не столько как человека, сколько как военного министра и главнокомандующего. Они говорили: «Какой он ни есть (всегда так начинали), но он честный, дельный человек, и лучше его нет. Дайте ему настоящую власть, потому что война не может идти успешно без единства начальствования, и он покажет то, что он может сделать, как он показал себя в Финляндии. Ежели армия наша устроена и сильна и отступила до Дриссы, не понесши никаких поражений, то мы обязаны этим только Барклаю. Ежели теперь заменят Барклая Бенигсеном, то все погибнет, потому что Бенигсен уже показал свою неспособность в 1807 году», – говорили люди этой партии.
Шестые, бенигсенисты, говорили, напротив, что все таки не было никого дельнее и опытнее Бенигсена, и, как ни вертись, все таки придешь к нему. И люди этой партии доказывали, что все наше отступление до Дриссы было постыднейшее поражение и беспрерывный ряд ошибок. «Чем больше наделают ошибок, – говорили они, – тем лучше: по крайней мере, скорее поймут, что так не может идти. А нужен не какой нибудь Барклай, а человек, как Бенигсен, который показал уже себя в 1807 м году, которому отдал справедливость сам Наполеон, и такой человек, за которым бы охотно признавали власть, – и таковой есть только один Бенигсен».
Седьмые – были лица, которые всегда есть, в особенности при молодых государях, и которых особенно много было при императоре Александре, – лица генералов и флигель адъютантов, страстно преданные государю не как императору, но как человека обожающие его искренно и бескорыстно, как его обожал Ростов в 1805 м году, и видящие в нем не только все добродетели, но и все качества человеческие. Эти лица хотя и восхищались скромностью государя, отказывавшегося от командования войсками, но осуждали эту излишнюю скромность и желали только одного и настаивали на том, чтобы обожаемый государь, оставив излишнее недоверие к себе, объявил открыто, что он становится во главе войска, составил бы при себе штаб квартиру главнокомандующего и, советуясь, где нужно, с опытными теоретиками и практиками, сам бы вел свои войска, которых одно это довело бы до высшего состояния воодушевления.
Восьмая, самая большая группа людей, которая по своему огромному количеству относилась к другим, как 99 к 1 му, состояла из людей, не желавших ни мира, ни войны, ни наступательных движений, ни оборонительного лагеря ни при Дриссе, ни где бы то ни было, ни Барклая, ни государя, ни Пфуля, ни Бенигсена, но желающих только одного, и самого существенного: наибольших для себя выгод и удовольствий. В той мутной воде перекрещивающихся и перепутывающихся интриг, которые кишели при главной квартире государя, в весьма многом можно было успеть в таком, что немыслимо бы было в другое время. Один, не желая только потерять своего выгодного положения, нынче соглашался с Пфулем, завтра с противником его, послезавтра утверждал, что не имеет никакого мнения об известном предмете, только для того, чтобы избежать ответственности и угодить государю. Другой, желающий приобрести выгоды, обращал на себя внимание государя, громко крича то самое, на что намекнул государь накануне, спорил и кричал в совете, ударяя себя в грудь и вызывая несоглашающихся на дуэль и тем показывая, что он готов быть жертвою общей пользы. Третий просто выпрашивал себе, между двух советов и в отсутствие врагов, единовременное пособие за свою верную службу, зная, что теперь некогда будет отказать ему. Четвертый нечаянно все попадался на глаза государю, отягченный работой. Пятый, для того чтобы достигнуть давно желанной цели – обеда у государя, ожесточенно доказывал правоту или неправоту вновь выступившего мнения и для этого приводил более или менее сильные и справедливые доказательства.
Все люди этой партии ловили рубли, кресты, чины и в этом ловлении следили только за направлением флюгера царской милости, и только что замечали, что флюгер обратился в одну сторону, как все это трутневое население армии начинало дуть в ту же сторону, так что государю тем труднее было повернуть его в другую. Среди неопределенности положения, при угрожающей, серьезной опасности, придававшей всему особенно тревожный характер, среди этого вихря интриг, самолюбий, столкновений различных воззрений и чувств, при разноплеменности всех этих лиц, эта восьмая, самая большая партия людей, нанятых личными интересами, придавала большую запутанность и смутность общему делу. Какой бы ни поднимался вопрос, а уж рой этих трутней, не оттрубив еще над прежней темой, перелетал на новую и своим жужжанием заглушал и затемнял искренние, спорящие голоса.
Из всех этих партий, в то самое время, как князь Андрей приехал к армии, собралась еще одна, девятая партия, начинавшая поднимать свой голос. Это была партия людей старых, разумных, государственно опытных и умевших, не разделяя ни одного из противоречащих мнений, отвлеченно посмотреть на все, что делалось при штабе главной квартиры, и обдумать средства к выходу из этой неопределенности, нерешительности, запутанности и слабости.