Пифагоров строй
Пифагоров строй — музыкальный строй, теорию которого связывают с пифагорейской школой гармоники. Со времён поздней античности видные теоретики музыки (Никомах, Ямвлих, Боэций и др.) приписывали его непосредственно Пифагору.
Абстрактно-математическое представление о Пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.
В некоторых научных статьях именуется также «пифагорейским строем»
.Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например, так (цепь из 6 квинт от звука фа):
F — C — G — D — A — E — H
или в виде диатонической гаммы:
C | D | E | F | G | A | H | C | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2 | |||||||
Целый тон | Целый тон | Лимма | Целый тон | Целый тон | Целый тон | Лимма | ||||||||
8 : 9 | 8 : 9 | 243 : 256 | 8 : 9 | 8 : 9 | 8 : 9 | 243 : 256 | ||||||||
203,91 ц | 203,91 ц | 90,22 ц | 203,91 ц | 203,91 ц | 203,91 ц | 90,22 ц |
В западной музыке пифагорейскому строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы опираясь на пифагорейский строй , хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагорейский является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)[1]. У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорейского строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3-х. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагорейский строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).
Таблица интервалов Пифагорова строя
В следующей таблице показаны интервалы Пифагорова строя, не превосходящие октаву, и получаемые не более чем 18-ю квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в Пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном Пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11-ю квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением Пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.
Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.
В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9-ти квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное
- <math>\left(\frac32\right)^{-9}\times\left(\frac21\right)^6=2^{15}\cdot 3^{-9}=\frac{32768}{19683}.</math>
При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:
- <math>\mathrm{O}=-\lfloor\mathrm{Q}\times(\log_2{3}-1)\rfloor,</math>
где <math>\lfloor x\rfloor</math> — целая часть числа <math>x</math>[2].
Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K Пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях
- <math>0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L \leqslant 1, \qquad -2\leqslant K\leqslant 1</math>.
Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: <math>L=0</math> и <math>K=0</math>, либо <math>L=1</math> и <math>K=0</math>, либо <math>L=0</math> и <math>K={-1}</math> (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на Пифагорову комму). Для хроматических интервалов, сверх того, могут иметь место соотношения <math>L=1</math> и <math>K=1</math>, либо <math>L=1</math> и <math>K={-1}</math>, а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также <math>L=0</math> и <math>K=1</math>, либо <math>L=0</math> и <math>K={-2}</math>.
Название | Q | O | T | L | K | Отношение | Величина в центах |
Ступень от c |
Дополнительные примеры |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
унисон, прима | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1:1 | 0,00 | c | |
Пифагорова комма (ув. септима без октавы)[3] |
12 | -7 | 0 | 0 | 1 | 531441:524288 | 23,46 | His | des—cis, fes—e, a—gisis |
дважды ум. терция | -17 | 10 | 0 | 1 | -1 | 134217728:129140163 | 66,76 | eseses[4] | cis—eses, eis—ges |
лимма, м. секунда, меньший (диатонический) полутон |
-5 | 3 | 0 | 1 | 0 | 256:243 | 90,22 | des | e—f, cis—d, des—eses |
апотома, ув. прима, больший (хроматический) полутон |
7 | -4 | 0 | 1 | 1 | 2187:2048 | 113,69 | cis | cis—cisis, des—d, eses—es |
ум. терция | -10 | 6 | 1 | 0 | -1 | 65536:59049 | 180,45 | eses | cis—es, e—ges |
целый тон, б. секунда | 2 | -1 | 1 | 0 | 0 | 9:8 | 203,91 | d | d—e, e—fis, B—c, des—es, cis—dis |
дважды ув. прима | 14 | -8 | 1 | 0 | 1 | 4782969:4194304 | 227,37 | cisis | ces—cis, deses—d |
дважды ум. кварта | -15 | 9 | 1 | 1 | -1 | 16777216:14348907 | 270,67 | feses | cis—fes, fis-b, cisis—f |
полудитон, м. терция | -3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 32:27 | 294,13 | es | d—f, es—ges |
ув. секунда | 9 | -5 | 1 | 1 | 1 | 19683:16384 | 317,60 | dis | des—e, es—fis |
ум. кварта | -8 | 5 | 2 | 0 | -1 | 8192:6561 | 384,36 | fes | cis—f, fis—b, dis—ges |
дитон, б. терция | 4 | -2 | 2 | 0 | 0 | 81:64 | 407,82 | e | d—fis, eis-gisis |
дважды ув. секунда | 16 | -9 | 2 | 0 | 1 | 43046721:33554432 | 431,28 | disis | ces—dis, es—fisis |
дважды ум. квинта | -13 | 8 | 2 | 1 | -1 | 2097152:1594323 | 474,58 | geses | cis—ges, disis—a |
кварта | -1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 4:3 | 498,04 | f | d—g, ces—fes |
ув. терция | 11 | -6 | 2 | 1 | 1 | 177147:131072 | 521,51 | eis | des—fis, deses—f |
дважды ум. секста | -18 | 11 | 3 | 0 | -2 | 536870912:387420489 | 564,81 | aseses[4] | cisis—as, cis—ases |
ум. квинта (комматический тритон[5]) |
-6 | 4 | 3 | 0 | -1 | 1024:729 | 588,27 | ges | cis—g, H—f, e—b |
тритон, ув. кварта | 6 | -3 | 3 | 0 | 0 | 729:512 | 611,73 | fis | f—b, des—g |
дважды ув. терция | 18 | -10 | 3 | 0 | 1 | 387420489:268435456 | 635,19 | eisis | des—fisis, eses—gis |
ум. секста («волчья квинта» Пифагорова строя) |
-11 | 7 | 3 | 1 | -1 | 262144:177147 | 678,49 | ases | cis—as, Gis—es |
квинта | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 3:2 | 701,96 | g | d—a, dis—ais |
дважды ув. кварта | 13 | -7 | 3 | 1 | 1 | 1594323:1048576 | 725,42 | fisis | des—gis, deses—a |
дважды ум. септима | -16 | 10 | 4 | 0 | -2 | 67108864:43046721 | 768,72 | heseses[4] | cis—heses, cisis—b |
м. секста | -4 | 3 | 4 | 0 | -1 | 128:81 | 792,18 | as | d—b, dis-h |
ув. квинта (тетратон) | 8 | -4 | 4 | 0 | 0 | 6561:4096 | 815,64 | gis | des—a, eses—b |
ум. септима | -9 | 6 | 4 | 1 | -1 | 32768:19683 | 882,40 | heses | cis—b, Gis—f |
б. секста | 3 | -1 | 4 | 1 | 0 | 27:16 | 905,87 | a | d—h, Es—c |
дважды ув. квинта | 15 | -8 | 4 | 1 | 1 | 14348907:8388608 | 929,33 | gisis | des—ais, deses—a |
дважды ум. октава | -14 | 9 | 5 | 0 | -2 | 8388608:4782969 | 972,63 | ceses1 | Dis—des, Disis—d |
м. септима | -2 | 2 | 5 | 0 | -1 | 16:9 | 996,09 | b | G—f, Des—ces |
ув. секста (пентатон) | 10 | -5 | 5 | 0 | 0 | 59049:32768 | 1019,55 | ais | des—h, deses—b |
ум. октава | -7 | 5 | 5 | 1 | -1 | 4096:2187 | 1086,31 | ces1 | Cis—c, Des—deses |
б. септима | 5 | -2 | 5 | 1 | 0 | 243:128 | 1109,78 | h | cis—his |
дважды ув. секста | 17 | -9 | 5 | 1 | 1 | 129140163:67108864 | 1133,24 | aisis | ces—ais, Eses—cis |
ум. нона | -12 | 8 | 6 | 0 | -2 | 1048576:531441 | 1176,54 | deses1 | Dis—es, Eis—f |
октава | 0 | 1 | 6 | 0 | -1 | 2:1 | 1200,00 | c1 |
См.также
Напишите отзыв о статье "Пифагоров строй"
Ссылки
- [www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth.html Margo Schulter. Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony]
- [www.kholopov.ru/rml-interv.pdf Интервальные таблицы Гуго Римана]
Примечания
- ↑ Натуральные интервалы, или интервалы натурального звукоряда между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м обертонами обозначены соотношениями 1:2 и 2:3 соответственно
- ↑ Указанная формула получается логарифмированием неравенства <math>1\leqslant\left(\frac32\right)^{\mathrm Q}\cdot 2^{\mathrm O} < 2</math>, однозначно определяющего зависимость величины O от величины Q.
- ↑ Увеличенная септима Пифагорова строя (например, c—his) шире октавы (c—c1) на Пифагорову комму.
- ↑ 1 2 3 Орфография буквенного обозначения ступени, отстоящей от с на данный интервал (дважды уменьшенная терция, секста или септима) требует указания «тройного бемоля» (-eseses), обозначающего понижение соответствующей диатонической ступени (в данном случае соответственно e, a и h) на три хроматических полутона; примеры тех же интервалов между другими ступенями, не требующими «тройных знаков альтерации», см. в колонке «Дополнительные примеры».
- ↑ То есть тритон, уменьшенный на (Пифагорову) комму.
|
Отрывок, характеризующий Пифагоров строй
– Ну теперь поговорим. Поздравляю тебя с женишком. Подцепила молодца! Я рада за тебя; и его с таких лет знаю (она указала на аршин от земли). – Наташа радостно краснела. – Я его люблю и всю семью его. Теперь слушай. Ты ведь знаешь, старик князь Николай очень не желал, чтоб сын женился. Нравный старик! Оно, разумеется, князь Андрей не дитя, и без него обойдется, да против воли в семью входить нехорошо. Надо мирно, любовно. Ты умница, сумеешь обойтись как надо. Ты добренько и умненько обойдись. Вот всё и хорошо будет.Наташа молчала, как думала Марья Дмитриевна от застенчивости, но в сущности Наташе было неприятно, что вмешивались в ее дело любви князя Андрея, которое представлялось ей таким особенным от всех людских дел, что никто, по ее понятиям, не мог понимать его. Она любила и знала одного князя Андрея, он любил ее и должен был приехать на днях и взять ее. Больше ей ничего не нужно было.
– Ты видишь ли, я его давно знаю, и Машеньку, твою золовку, люблю. Золовки – колотовки, ну а уж эта мухи не обидит. Она меня просила ее с тобой свести. Ты завтра с отцом к ней поедешь, да приласкайся хорошенько: ты моложе ее. Как твой то приедет, а уж ты и с сестрой и с отцом знакома, и тебя полюбили. Так или нет? Ведь лучше будет?
– Лучше, – неохотно отвечала Наташа.
На другой день, по совету Марьи Дмитриевны, граф Илья Андреич поехал с Наташей к князю Николаю Андреичу. Граф с невеселым духом собирался на этот визит: в душе ему было страшно. Последнее свидание во время ополчения, когда граф в ответ на свое приглашение к обеду выслушал горячий выговор за недоставление людей, было памятно графу Илье Андреичу. Наташа, одевшись в свое лучшее платье, была напротив в самом веселом расположении духа. «Не может быть, чтобы они не полюбили меня, думала она: меня все всегда любили. И я так готова сделать для них всё, что они пожелают, так готова полюбить его – за то, что он отец, а ее за то, что она сестра, что не за что им не полюбить меня!»
Они подъехали к старому, мрачному дому на Вздвиженке и вошли в сени.
– Ну, Господи благослови, – проговорил граф, полу шутя, полу серьезно; но Наташа заметила, что отец ее заторопился, входя в переднюю, и робко, тихо спросил, дома ли князь и княжна. После доклада о их приезде между прислугой князя произошло смятение. Лакей, побежавший докладывать о них, был остановлен другим лакеем в зале и они шептали о чем то. В залу выбежала горничная девушка, и торопливо тоже говорила что то, упоминая о княжне. Наконец один старый, с сердитым видом лакей вышел и доложил Ростовым, что князь принять не может, а княжна просит к себе. Первая навстречу гостям вышла m lle Bourienne. Она особенно учтиво встретила отца с дочерью и проводила их к княжне. Княжна с взволнованным, испуганным и покрытым красными пятнами лицом выбежала, тяжело ступая, навстречу к гостям, и тщетно пытаясь казаться свободной и радушной. Наташа с первого взгляда не понравилась княжне Марье. Она ей показалась слишком нарядной, легкомысленно веселой и тщеславной. Княжна Марья не знала, что прежде, чем она увидала свою будущую невестку, она уже была дурно расположена к ней по невольной зависти к ее красоте, молодости и счастию и по ревности к любви своего брата. Кроме этого непреодолимого чувства антипатии к ней, княжна Марья в эту минуту была взволнована еще тем, что при докладе о приезде Ростовых, князь закричал, что ему их не нужно, что пусть княжна Марья принимает, если хочет, а чтоб к нему их не пускали. Княжна Марья решилась принять Ростовых, но всякую минуту боялась, как бы князь не сделал какую нибудь выходку, так как он казался очень взволнованным приездом Ростовых.
– Ну вот, я вам, княжна милая, привез мою певунью, – сказал граф, расшаркиваясь и беспокойно оглядываясь, как будто он боялся, не взойдет ли старый князь. – Уж как я рад, что вы познакомились… Жаль, жаль, что князь всё нездоров, – и сказав еще несколько общих фраз он встал. – Ежели позволите, княжна, на четверть часика вам прикинуть мою Наташу, я бы съездил, тут два шага, на Собачью Площадку, к Анне Семеновне, и заеду за ней.
Илья Андреич придумал эту дипломатическую хитрость для того, чтобы дать простор будущей золовке объясниться с своей невесткой (как он сказал это после дочери) и еще для того, чтобы избежать возможности встречи с князем, которого он боялся. Он не сказал этого дочери, но Наташа поняла этот страх и беспокойство своего отца и почувствовала себя оскорбленною. Она покраснела за своего отца, еще более рассердилась за то, что покраснела и смелым, вызывающим взглядом, говорившим про то, что она никого не боится, взглянула на княжну. Княжна сказала графу, что очень рада и просит его только пробыть подольше у Анны Семеновны, и Илья Андреич уехал.
M lle Bourienne, несмотря на беспокойные, бросаемые на нее взгляды княжны Марьи, желавшей с глазу на глаз поговорить с Наташей, не выходила из комнаты и держала твердо разговор о московских удовольствиях и театрах. Наташа была оскорблена замешательством, происшедшим в передней, беспокойством своего отца и неестественным тоном княжны, которая – ей казалось – делала милость, принимая ее. И потом всё ей было неприятно. Княжна Марья ей не нравилась. Она казалась ей очень дурной собою, притворной и сухою. Наташа вдруг нравственно съёжилась и приняла невольно такой небрежный тон, который еще более отталкивал от нее княжну Марью. После пяти минут тяжелого, притворного разговора, послышались приближающиеся быстрые шаги в туфлях. Лицо княжны Марьи выразило испуг, дверь комнаты отворилась и вошел князь в белом колпаке и халате.
– Ах, сударыня, – заговорил он, – сударыня, графиня… графиня Ростова, коли не ошибаюсь… прошу извинить, извинить… не знал, сударыня. Видит Бог не знал, что вы удостоили нас своим посещением, к дочери зашел в таком костюме. Извинить прошу… видит Бог не знал, – повторил он так не натурально, ударяя на слово Бог и так неприятно, что княжна Марья стояла, опустив глаза, не смея взглянуть ни на отца, ни на Наташу. Наташа, встав и присев, тоже не знала, что ей делать. Одна m lle Bourienne приятно улыбалась.
– Прошу извинить, прошу извинить! Видит Бог не знал, – пробурчал старик и, осмотрев с головы до ног Наташу, вышел. M lle Bourienne первая нашлась после этого появления и начала разговор про нездоровье князя. Наташа и княжна Марья молча смотрели друг на друга, и чем дольше они молча смотрели друг на друга, не высказывая того, что им нужно было высказать, тем недоброжелательнее они думали друг о друге.
Когда граф вернулся, Наташа неучтиво обрадовалась ему и заторопилась уезжать: она почти ненавидела в эту минуту эту старую сухую княжну, которая могла поставить ее в такое неловкое положение и провести с ней полчаса, ничего не сказав о князе Андрее. «Ведь я не могла же начать первая говорить о нем при этой француженке», думала Наташа. Княжна Марья между тем мучилась тем же самым. Она знала, что ей надо было сказать Наташе, но она не могла этого сделать и потому, что m lle Bourienne мешала ей, и потому, что она сама не знала, отчего ей так тяжело было начать говорить об этом браке. Когда уже граф выходил из комнаты, княжна Марья быстрыми шагами подошла к Наташе, взяла ее за руки и, тяжело вздохнув, сказала: «Постойте, мне надо…» Наташа насмешливо, сама не зная над чем, смотрела на княжну Марью.
– Милая Натали, – сказала княжна Марья, – знайте, что я рада тому, что брат нашел счастье… – Она остановилась, чувствуя, что она говорит неправду. Наташа заметила эту остановку и угадала причину ее.
– Я думаю, княжна, что теперь неудобно говорить об этом, – сказала Наташа с внешним достоинством и холодностью и с слезами, которые она чувствовала в горле.
«Что я сказала, что я сделала!» подумала она, как только вышла из комнаты.
Долго ждали в этот день Наташу к обеду. Она сидела в своей комнате и рыдала, как ребенок, сморкаясь и всхлипывая. Соня стояла над ней и целовала ее в волосы.
– Наташа, об чем ты? – говорила она. – Что тебе за дело до них? Всё пройдет, Наташа.
– Нет, ежели бы ты знала, как это обидно… точно я…
– Не говори, Наташа, ведь ты не виновата, так что тебе за дело? Поцелуй меня, – сказала Соня.
Наташа подняла голову, и в губы поцеловав свою подругу, прижала к ней свое мокрое лицо.
– Я не могу сказать, я не знаю. Никто не виноват, – говорила Наташа, – я виновата. Но всё это больно ужасно. Ах, что он не едет!…
Она с красными глазами вышла к обеду. Марья Дмитриевна, знавшая о том, как князь принял Ростовых, сделала вид, что она не замечает расстроенного лица Наташи и твердо и громко шутила за столом с графом и другими гостями.
В этот вечер Ростовы поехали в оперу, на которую Марья Дмитриевна достала билет.
Наташе не хотелось ехать, но нельзя было отказаться от ласковости Марьи Дмитриевны, исключительно для нее предназначенной. Когда она, одетая, вышла в залу, дожидаясь отца и поглядевшись в большое зеркало, увидала, что она хороша, очень хороша, ей еще более стало грустно; но грустно сладостно и любовно.
«Боже мой, ежели бы он был тут; тогда бы я не так как прежде, с какой то глупой робостью перед чем то, а по новому, просто, обняла бы его, прижалась бы к нему, заставила бы его смотреть на меня теми искательными, любопытными глазами, которыми он так часто смотрел на меня и потом заставила бы его смеяться, как он смеялся тогда, и глаза его – как я вижу эти глаза! думала Наташа. – И что мне за дело до его отца и сестры: я люблю его одного, его, его, с этим лицом и глазами, с его улыбкой, мужской и вместе детской… Нет, лучше не думать о нем, не думать, забыть, совсем забыть на это время. Я не вынесу этого ожидания, я сейчас зарыдаю», – и она отошла от зеркала, делая над собой усилия, чтоб не заплакать. – «И как может Соня так ровно, так спокойно любить Николиньку, и ждать так долго и терпеливо»! подумала она, глядя на входившую, тоже одетую, с веером в руках Соню.