Пифагорова тройка

Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел <math>(x,\;y,\;z),</math> удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

<math>x^2 + y^2 = z^2.</math>

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты значительно раньше.

Примитивные тройки

Поскольку уравнение <math> x^2 + y^2 = z^2</math> однородно, при умножении <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка <math>(x,y,z)</math> называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, <math>x,\;y,\;z</math> являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель <math>(x,y,z)</math> равен 1.

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке <math>(x,y,z)</math> числа x и y имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка <math>(x,y,z)</math>, где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде <math>(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2)</math> для некоторых натуральных взаимно простых чисел <math>m > n</math> разной чётности.

Эти числа можно вычислить по формулам:

<math>\begin{cases} m=\sqrt{\frac{z+x}2}=\frac{\sqrt{z+y}+\sqrt{z-y}}2\\ n=\sqrt{\frac{z-x}2}=\frac{\sqrt{z+y}-\sqrt{z-y}}2\end{cases}</math>

Наоборот, любая такая пара чисел <math>(m,\;n)</math> задаёт примитивную пифагорову тройку <math>(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2).</math>

Примеры

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с z ≤ 100:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Заметьте, например, что (6, 8, 10) не является примитивной тройкой, поскольку получается умножением на 2 тройки (3, 4, 5). Каждая из этих троек с наименьшим образует легко различимую радиальную прямую на диаграмме рассеяния.

Приведём также примитивные тройки с 100 < z ≤ 300:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Возможные значения z в пифагоровых тройках образуют последовательность:

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, … (последовательность A009003 в OEIS)

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

<math>x=F_n F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2}; \quad z=F_{n+1}^2+F^2_{n+2}</math>.

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Генерация троек

Формула Евклида является фундаментальной формулой для генерации пифагоровых троек для любой пары натуральных чисел m и n (m > n). Формула утверждает, что целые числа

<math> a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn,\ \, c = m^2 + n^2 </math>

образует пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида примитивны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты и m — n нечётно. Если и m, и n нечётны, то a, b и c будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление a, b и c на 2 даёт примитивную тройку, если m и n взаимно просты.

Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел m, n, одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек. Связь a, b и c с m и n в формуле Евклида используется в остальной части этой статьи.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не генерирует все тройки. Это можно исправить добавлением дополнительного параметра k. Следующие формулы дают все пифагоровы треугольники единственным образом:

<math> a = k\cdot(m^2 - n^2) ,\ \, b = k\cdot(2mn),\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)</math>

где m, n и k — натуральные числа, m > n, m — n нечётны, m и n взаимно просты.

То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в a² + b² и проверки, что результат совпадает с c². Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое k чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием m и n для создания примитивной тройки, а затем она умножается на k.

Множество формул генерации троек были разработаны со времён Евклида.

Доказательство формул Евклида

То, что удовлетворение формуле Евклида числами a, b, c является достаточным условием для треугольника быть пифагоровым, очевидно для положительных целых m и n, m > n, поскольку после подстановки в формулы a, b, и c будут положительными числами, а также из того, что выполняется

<math> a^2+b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 = c^2. </math>

Простая проверка необходимости того, что a, b, c выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего. Все такие тройки можно записать в виде (a, b, c), где a² + b² = c² и a, b, c являются взаимно простыми, а b и c имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если c имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности a² + b² даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному c².) Из <math>a^2+b^2=c^2</math> мы получаем <math>c^2-a^2=b^2</math>, а следовательно, <math>(c-a)(c+a)=b^2</math>. Тогда <math>\tfrac{(c+a)}{b}=\tfrac{b}{(c-a)}</math>. Поскольку <math>\tfrac{(c+a)}{b}</math> является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби <math>\tfrac{m}{n}</math>. Мы отсюда же получаем, что дробь <math>\tfrac{(c-a)}{b}</math> равна <math>\tfrac{n}{m}</math>. Решая уравнения

<math>\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}, \ \, \frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}</math>

относительно <math>\tfrac{c}{b}</math> и <math>\tfrac{a}{b}</math>, получим

<math>\frac{c}{b}=\frac{m^2+n^2}{2mn}, \ \,\frac{a}{b}=\frac{m^2-n^2}{2mn}.</math>

Поскольку <math>\tfrac{c}{b}</math> и <math>\tfrac{a}{b}</math> несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь <math>\tfrac{m}{n}</math> тоже несократима, откуда следует, что m и n взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда m и n имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А m и n должны иметь противоположную чётность — оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление <math>\tfrac{m^2+n^2}{2mn}</math> на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна <math>\tfrac{c}{b}</math>, в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида <math> a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn,\ \, c = m^2 + n^2</math> с m и n взаимно простыми и имеющими различную чётность.

Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007) и Серпинского.

Интерпретация параметров в формуле Евклида

Пусть стороны пифагорова треугольника равны <math>m^2-n^2</math>, <math>2mn</math> и <math>m^2+n^2</math>. Обозначим угол между катетом <math>m^2-n^2</math> и гипотенузой <math>m^2+n^2</math> буквой <math>\theta</math>. Тогда <math>\tan{\theta}=\tfrac{2mn}{m^2-n^2}</math> и <math>\tan{\tfrac{\theta}{2}}=\tfrac{n}{m}</math>.

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек

Свойства примитивной пифагоровой тройки (a, b, c), где a < b < c (без указания чётности чисел a или b):

• <math>\tfrac{(c - a)\cdot (c - b)}{2}</math> всегда является полным квадратом.. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка (6, 12, 18) проходит этот тест, поскольку (c − a)(c − b)/2 является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел a, b и c образует пифагорову тройку, то число (c минус чётный катет) и половина числа (c минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка (1, 8, 9) является контрпримером, поскольку 1² + 8² ≠ 9².
• Максимум одно из чисел a, b и c является квадратом.
• Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом или удвоенным квадратом натурального числа.
• В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно. .
• В точности одно из чисел a и b делится на 3.
• В точности одно из чисел a и b делится на 4.
• В точности одно из чисел a, b и c делится на 5.
• Максимальное число, которое всегда делит произведение abc равно шестидесяти.
• Все простые множители c являются простыми вида 4n + 1. Таким образом, c имеет вид 4n + 1.
• Площадь (K = ab/2) является чётным конгруэнтным числом..
• В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен r = n(m — n), а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов m²-n², 2mn, и гипотенузы m²+n² равны соответственно m(m − n), n(m + n) и m(m + n).
• Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен m²+n², радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку m и n имеют разную чётность).
• Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых w > x > y > z соответственно. Эти числа w, x, y, z удовлетворяют уравнению декартовых окружностей. Эквивалентно, радиус внешней окружности Содди любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке D, где ACBD — прямоугольник, ACB прямоугольный треугольник, а AB — его гипотенуза.
• Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике.
• Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно

<math>\tfrac{K}{s^2} = \tfrac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\tfrac{c}{s}.</math>

• Никакой примитивный пифагоров треугольник не имеет высоту на гипотенузу в виде целого числа, а потому не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.

Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:

• Любое целое, большее 2, которое не сравнимо с 2 по модулю 4 (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4n + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.
• Любое целое число большее 2 входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство (2n+1)² + [2n(n+1)]² = [2n(n+1) + 1]², приводящее к тройкам (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), и т. д. Более обще, для любого нечётного целого j существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на j².
• Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого k > 0, существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на 2k².
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20² + 21² = 29².
• Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.
• Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом a, где a — некоторое натуральное число
• Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза c и сумма катетов a+b. В наименьшей такой тройке a = 4.565.486.027.761; b = 1.061.652.293.520; c = 4.687.298.610.289. Здесь a+b = 2.372.159² и c = 2.165.017². В формуле Евклида эти значения соответствуют m = 2.150.905 и n = 246.792.
• Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагороых треугольника.

• Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое тернарное дерево естественным способом, смотрите Дерево примитивных пифагоровых троек.

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.

Геометрия формулы Евклида

Формулу Евклида для пифагоровой тройки

<math>a = m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2</math>

можно понять в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности . Пусть имеется треугольник с катетами a и b, и гипотенузой c, где a, b и c — положительные целые. По теореме Пифагора a² + b² = c², а после деления обеих сторон на c²,

<math>\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2=1.</math>

Геометрически, точка на декартовой плоскости с координатами

<math>x=\frac{a}{c},\quad y=\frac{b}{c}</math>

лежит на единичной окружности x² + y² = 1. В этом уравнении координаты x и y задаются рациональными числами. И обратно, любая точка на окружности с рациональными координатами x и y даёт примитивную пифагорову тройку. В самом деле, запишем x и y как несократимые дроби:

<math>x=\frac{a}{c},\quad y=\frac{b}{c}</math>

где наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Поскольку точка с координатами x и y лежит на единичной окружности,

<math>\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2=1\implies a^2+b^2=c^2,</math>

что и требовалось доказать.

Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности и примитивными пифагоровыми треугольниками. Исходя из этого формулы Евклида можно получить методами тригонометрии или с использованием стереографической проекции.

Для стереографического подхода, предположим, что P′ является точкой на оси x с рациональными координатами

<math>P' = \left(\frac{m}{n},0\right).</math>

Тогда, с помощью алгебраических вычислений можно показать, что точка P имеет координаты

<math>

P = \left(

\frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1},
\frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2-1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1}

\right) = \left(

\frac{2mn}{m^2+n^2},
\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}

\right).</math>

Таким образом, получаем, что любая рациональная точка оси x соответствует рациональной точке единичной окружности. И обратно, пусть P(x, y) — точка единичной окружности с рациональными координатами x и y. Тогда стереографическая проекция P′ на ось x имеет рациональные координаты

<math>\left(\frac{x}{1-y},0\right)</math>.

В терминах алгебраической геометрии алгебраическое многообразие рациональных точек единичной окружности является бирациональным к аффинной прямой над рациональными числами. Единичная окружность тогда называется рациональной кривой. Соответствие рациональных точек прямой и окружности даёт возможность дать явную параметризацию (рациональных) точек на окружности с помощью рациональных функций.

Группа пифагоровых троек

Любая рациональная точка на единичной окружности соответствует пифагоровой тройке (a, b, c), точнее — обобщённой пифагоровой тройке, так как a и b могут быть нулевыми и отрицательными.

Пусть даны два пифагоровых треугольников (a₁, b₁, c₁) и (a₂, b₂, c₂) с углами α и β. Можно построить треугольники с углами α ± β, используя формулы сложения углов.

<math>a/c = \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \pm \cos (\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{a_1b_2 \pm b_1a_2}{c_1c_2}</math>

<math>b/c = \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{b_1b_2 \mp a_1a_2}{c_1c_2}</math>

Эти треугольники тоже будут иметь целые стороны, то есть пифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используя вышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной и ассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелеву группу .

Пифагоровы тройки на двумерной решётке

Двумерная решётка — это набор изолированных точек, в котором, если выбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точки имеют координаты (x, y), где x и y пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Любую пифагорову тройку (a, b, c) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (a, 0) and (0, b). По теореме Пика число точек решётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой <math>\tfrac{(a-1)(b-1)-\gcd{(a,b)}+1}{2}</math> . Для примитивных пифагоровых троек число точек решётки равно <math>\tfrac{(a-1)(b-1)}{2}</math> и это сравнимо с площадью треугольника <math>\tfrac{ab}{2}</math> .

Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровых троек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210 (последовательность A093536 в OEIS). Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки появляется лишь на (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) с числом точек 2287674594 (последовательность A225760 в OEIS). Найдены три примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069) и площадью 13123110. Всё же, ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено.

Спиноры и модулярная группа

Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц вида <math>X = \begin{bmatrix} c+b & a\\ a & c-b \end{bmatrix}. </math> Матрица этого вида симметрична. Кроме того, определитель матрицы X равен

<math>\det X = c^2 - a^2 - b^2</math>,

который равен нулю в точности тогда, когда (a,b,c) является пифагоровой тройкой. Если X соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.

Поскольку X симметрична, из линейной алгебры известно, что существует вектор ξ = [m n]^T, такой что для внешнего произведения выполняется

<math>X = 2\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}[m\ n] = 2\xi\xi^T</math> (1)

, где T означает транспонированние. Вектор ξ называется спинором (для группы Лоренца SO (1, 2)). В абстактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).

Модулярная группа Γ — это множество матриц 2×2 с целыми элементами

<math>A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}</math>

и определителем, равным единице: αδ − βγ = 1. Это множество образует группу, поскольку обратная к матрице из Γ является снова матрицей из Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модулярная группа действует на коллекцию всех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на коллекции целых спиноров с взаимно простыми элементами. Если [m n]^T содержит взаимно простые элементы, то

<math>\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}</math>

где u и v выбраны (с помощью алгоритма Евклида) так, что mu + nv = 1.

Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. Если A — матрица в Γ, то

<math>2(A\xi)(A\xi)^T = A X A^T</math> (2)

даёт начало действиям на матрицу X в (1). Это не даёт хорошо определённое действие на примитивные тройки, поскольку оно может переводить примитивную тройку в непроимитивную. В этом месте принято (следуя Траутману ) называть тройку (a,b,c) стандартной, если c > 0 и либо (a,b,c) взаимно просты, либо (a/2,b/2,c/2) взаимно просты и a/2 нечётно. Если спинор [m n]^T имеет взаимно простые элементы, то связанная тройка (a,b,c), задаваемая формулой (1), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Альтернативно, ограничимся теми значениями m и n, для которых m нечётно, а n чётно. Пусть подгруппа Γ(2) группы Γ — ядро гомоморфизма

<math>\Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)</math>

где SL (2,Z₂) — специальная линейная группа над конечным полем Z₂ целых по модулю 2. Тогда Γ(2) является группой унимодулярных преобразований, которая сохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора ξ нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для Aξ для всех A ∈ Γ(2). Фактически, под действием (2), группа Γ(2) действует транзитивно на коллекцию примитивных пифагоровых троек .

Группа Γ(2) является свободной группой, генераторами которой являются матрицы

<math>U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}.</math>

Поэтому, любая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным образом как произведение копий матриц U и L.

Отношения Родитель/потомок

Как показал Берггрен , все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с использованием трёх линейных преобразований T1, T2, T3, где a, b, c являются сторонами тройки:

	новая сторона a	новая сторона b	новая сторона c
T1:	a − 2b + 2c	2a − b + 2c	2a − 2b + 3c
T2:	a + 2b + 2c	2a + b + 2c	2a + 2b + 3c
T3:	−a + 2b + 2c	−2a + b + 2c	−2a + 2b + 3c

Если начать с 3, 4, 5, все другие примитивные тройки, в конечном счёте, будут получены. Другими словами, любая примитивная тройка будет «родителем» 3 дополнительным примитивным тройкам. Если начать с a = 3, b = 4 и c = 5, следующим поколением троек будет

новая сторона a	новая сторона b	новая сторона c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2×4) + (2×5) = 21	(2×3) + 4 + (2×5) = 20	(2×3) + (2×4) + (3×5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Линейные преобразования T1, T2 и T3 имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм. Они тесно связаны (но не эквивалентны) с отражениями, генерируемыми ортогональной группой x² + y² − z² над целыми числами. Другое множество трёх линейных преобразований обсуждается в статье Генерация пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований. Дальнейшее обсуждение отношения родитель, потомок смотрите в статьях [mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html Pythagorean triple (Wolfram)] и Alperin 2005.

Связь с Гауссовыми целыми числами

Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощью гауссовых целых чисел. Гауссовы целые — это комплексные числа вида α = u + vi, где u и v обычные целые числа, а i — корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых — это ±1 и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z. Гауссовы целые обознаяаются Z[i]. Правая часть теоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:

<math>c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).</math>

Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a и b взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Для таких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюда следует, что c также нечётно.

Каждое из двух множителей z = a + bi и z* = a — bi примитивной пифагоровой тройки равно квадрату гауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любое гауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простые с точностью до единицы. (Единственность разложения, грубо говоря, следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида) Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a и b не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простых общих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. И наконец, поскольку c² является квадратом, любое гауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z и z* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z* являются квадратами.

Таким образом, первый множитель можно записать в виде

<math>a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2, \quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}.</math>

Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:

<math>\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn; \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn; \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right); \\ \varepsilon = -i, & \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right).\end{cases}</math>

Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целые m и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.

Как полный квадрат гауссовых целых

Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретацию формул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.

<math>(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.</math>

Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областью и то, что для гауссовых целых p квадрат модуля <math>|p|^2</math> всегда является полным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуют квадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простым числом.

Распределение троек

Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. В диаграмме рассеяния проявляются некоторые очевидные закономерности. Если катеты (a,b) примитивной тройки появляются на диаграмме, то и все произведения на целое число этих катетов должны также быть на диаграмме, и это свойство объясняет появление на диаграмме радиальных прямых из начала координат.

На диаграмме наблюдаются множества парабол с высокой плотностью точек, имеющих фокусы в начале координат. Параболы отражаются от осей с углом 45 градусов и в той же точке третья парабола подходит к оси перпендикулярно.

Эти узоры можно объяснить следующим образом. Если <math>a^2/4n</math> натуральное число, то (a, <math>|n-a^2/4n|</math>, <math>n+a^2/4n</math>) является пифагоровой тройкой. (Фактически, любая пифагорова тройка (a, b, c) может быть записана таким образом с целым n, возможно, после обмена a и b местами, поскольку <math>n=(b+c)/2</math> и a, b не могут быть одновременно нечётными.) Пифагоровы тройки лежат тогда на кривых, заданных уравнениями <math>b = |n-a^2/4n|</math>. Таким образом, параболы отражаются от оси a, а соответствующие кривые с a и b меняются местами. Если a меняется при заданном n (то есть на выбранной параболе), целые значения b появляются относительно часто, если n является квадратом или произведением квадрата на небольшое число. Если некоторые такие значения лежат близко друг от друга, соответствующие параболы почти совпадают и тройки образуют узкую параболическую ленту. Например, 38² = 1444, 2 × 27² = 1458, 3 × 22² = 1452, 5 × 17² = 1445 и 10 × 12² = 1440. Соответствующая параболическая лента около n ≈ 1450 чётко видна на диаграмме рассеяния.

Угловые свойства, описанные выше следуют немедленно из функционального вида парабол. Параболы отражаются от оси a в точке a = 2n и производная b по a в этой точке равна −1. Таким образом, угол наклона равен 45°. Поскольку кластеры, как и треугольники, повторяются при умножении на целую константу, значение 2n тоже принадлежит кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом в точке b = 2n, а потому является симметричным отражением параболы, которая получается обменом переменных a и b и которая пересекает ось a под прямым углом в точке a = 2n.

Альберт Фесслер (Albert Fässler) и др. показал значимость этих парабол в контексте конформных отображений.

Специальные случаи

Последовательность Платона

Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл, в своём комментарии к 47-у Утверждению в первой книге Начал Евклида, описывает это следующим образом:

Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легко получить, один из них принадлежит Платону, другой — Пифагору. (Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число в качестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычел единицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец, он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу.
…Метод Платона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное число в качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрат и добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даёт второй катет. … И это даёт тот же треугольник, что и другой метод.

В виде уравнений:

a нечётно (Пифагор, 540 до н. э.):

<math>a : b = {a^2 - 1 \over 2} : c = {a^2 + 1 \over 2}.</math>

a чётно (Платон, 380 до н. э.):

<math>a : b = \left({a \over 2}\right)^2 - 1 : c = \left({a \over 2}\right)^2 + 1</math>

Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются из последовательности Платона (x, y, z) = p, (p² − 1)/2 и (p² + 1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения. Если в этой последовательности p заменить рациональной дробью m/n, получим 'стандартный' генератор троек 2mn, m² − n² и m² + n². Отсюда следует, что любой тройке соответствует рациональное значение p, которое можно использовать для получения подобного треугольника с рациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет (3/2; 2, 5/2).

Уравнение Якоби-Маддена

Уравнение

<math>a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4</math>

эквивалентно специальной диофантовой тройке,

<math>(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2</math>

Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можно получить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений

<math>a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400</math>

<math>a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150</math>

Равные суммы двух квадратов

Один из способов генерации решений для <math>a^2+b^2=c^2+d^2</math> — параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m, n, p, q следующим образом:

<math>(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.</math>

Равные суммы двух четвёртых степеней

Если даны два набора пифагоровых троек,

<math>(a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2</math>

<math>(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2</math>

задача поиска равных произведений катета и гипотенузы

<math>(a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2)</math>,

как легко видеть, эквивалентна уравнению

<math>a^4 -b^4 = c^4 -d^4</math>,

для которого Эйлер получил решение <math>a, b, c, d = 133,59,158,134</math>. Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкой эллиптической кривой, то существует бесконечное число решений. Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.

Теорема Декарта об окружностях

В случае теоремы Декарта, когда все переменные являются квадратами,

<math>2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2</math>

Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам,

<math>(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2</math>

<math>(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2</math>

<math>(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2</math>

Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специального случая <math>a+b=c</math>, уравнение упрощается до,

<math>4(a^2+a b+b^2) = d^2</math>,

которое имеет решение с небольшими числами <math>a, b, c, d = 3, 5, 8, 14</math>, и может быть решено как бинарная квадратичная форма.

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Имеются прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины катеты отличающиеся на единицу, так что

<math>3^2+4^2 = 5^2</math>

<math>20^2+21^2 = 29^2</math>

и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу

<math>(\tfrac{x-1}{2})^2+(\tfrac{x+1}{2})^2 = y^2</math>

где (x, y} являются решениями уравнения Пелля <math>x^2-2y^2 = -1</math>.

В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях

<math>5^2+12^2 = 13^2</math>

<math>7^2+24^2 = 25^2</math>

общим решением будет

<math>(2m+1)^2+(2m^2+2m)^2 = (2m^2+2m+1)^2</math>

откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются в примитивных пифагоровых тройках.

Обобщения

Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.

Пифагоровы четвёрки

Множество из четырёх натуральных чисел a, b, c и d, таких, что a² + b²+ c² = d² называется пифагоровой четвёркой. Простейший пример — (1, 2, 2, 3), поскольку 1² + 2² + 2² = 3². Следующий (примитивный) простейший пример — (2, 3, 6, 7), поскольку 2² + 3² + 6² = 7².

Все четвёрки задаются формулой

<math>(m^2+n^2-p^2-q^2)^2+(2mq+2np)^2+(2nq-2mp)^2=(m^2+n^2+p^2+q^2)^2.</math>

Пифагоровы n-наборы

Используя простое алгебраическое тождество,

<math>(x_1^2-x_0)^2 + (2x_1)^{2}x_0 = (x_1^2+x_0)^2 </math>

для произвольных x₀, x₁, просто доказать, что квадрат суммы n квадратов сам является суммой n квадратов, для чего положим x₀ = x₂² + x₃² + … + x_n² и раскроем скобки. Можно легко видеть, что пифагоровы тройки и четвёрки являются просто частными случаями x₀ = x₂² и x₀ = x₂² + x₃² соответственно, что можно продолжать для других n, используя формулу для пятёрки квадратов

<math>(a^2-b^2-c^2-d^2)^2 + (2ab)^2 + (2ac)^2 + (2ad)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2.</math>

Поскольку сумма F(k,m) k последовательных квадратов, начиная с m², задаётся формулой

<math>F(k,m)=km(k-1+m)+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}</math>

можно найти значения (k, m) такие, что F(k,m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёл формулу для последовательностей, в которых число членов само является квадратом,

<math>m=\tfrac{v^4-24v^2-25}{48},\; k=v^2,\; F(m,k)=\tfrac{v^5+47v}{48}</math>

и v ≥ 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3. Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошо известное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер,

<math>0^2+1^2+2^2+\dots+24^2 = 70^2</math>,

факт, который связан с решёткой Лича.

Кроме того, если в пифагоровом n-наборе (n ≥ 4) все слагаемые являются последовательными натуральными числами, за исключением последнего, можно использовать равенство,

<math>F(k,m) + p^{2} = (p+1)^{2}</math>

Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейное уравнение, которое легко решается <math>p=\tfrac{F(k,m)-1}{2}</math>, хотя k и m следует выбрать так, чтобы p был целым, и пример получаем при k = 5 и m = 1,

<math>1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+27^2=28^2</math>

Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборов путём подбора x,

<math>x^2+(x+1)^2+\cdots +(x+q)^2+p^2=(p+1)^2,</math>

где q = n-2 и

<math>p=\frac{(q+1)x^2+q(q+1)x+\frac{q(q+1)(2q+1)}{6} -1}{2}.</math>

Великая теорема Ферма

Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральных чисел a, b и c, таких, что aⁿ + bⁿ = cⁿ для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма, поскольку её доказательство или опровержение отняло много больше времени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство было дано Уайлсом в 1994.

n — 1 или n n-х степеней как n-я степень

Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1 натуральных чисел, для которых n-я степень последнего члена последовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}.
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

В слегка отличном обобщении сумма (k + 1) n-х степеней приравнивается сумме (n − k) n-х степеней. Например:

• (n = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Может существовать также n − 1 n-х степеней натуральных чисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя, согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Эти последовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшие известные контрпримеры

• n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Тройки треугольника Герона

Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, что стороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона (a, b, c), где a < b < c. Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов a и b является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова.

Если (a, b, c) является тройкой Герона, то таковой будет и (ma, mb, mc) при любом натуральном m, большим единицы. Тройка Герона (a, b, c) примитивна, если a, b и c попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколько троек Герона, не являющихся пифагоровыми:

(4, 13, 15) с площадью 24

(3, 25, 26) с площадью 36

(7, 15, 20) с площадью 42

(6, 25, 29) с площадью 60

(11, 13, 20) с площадью 66

(13, 14, 15) с площадью 84

(13, 20, 21) с площадью 126

По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел (a, b, c) с a < b < c была тройкой Герона, необходимо, чтобы

(a² + b² + c²)² − 2 (a⁴ + b⁴ + c⁴)

или, что то же самое,

2 (a²b² + a²c² + b²c²) − (a⁴ + b⁴ + c⁴)

было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Использование

в криптографии

Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей.

См. также

• Диофант II.VIII
• Тройка Эйзенштейна
• Рациональный кубоид
• Геронов треугольник
• Теорема Гильберта 90
• Целочисленный треугольник
• Сравнение по модулю
• Негипотенузное число
• Plimpton 322
• Простое число Пифагора
• Пифагорова четвёрка
• Формула тангенса половинного угла
• Тригонометрические тождества

Литература

• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publ, 1959. — С. Diophantine analysis.
• Waclaw Sierpinski. Pythagorean Triangles. — Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
• John Stillwell. Numbers and Geometry. — Springer, 1998. — С. 133. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892.
• Thomas Koshy. Elementary Number Theory with Applications. — Academic Press, 2002. — С. 545. — ISBN 9780124211711.
• David Houston. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. — Mathematical Association of America, 1993. — С. 141. — ISBN 978-0-88385-700-7.
• Alfred S. Posamentier. The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. — Prometheus Books, 2010. — ISBN 9781616141813.
• Des MacHale, Christian van den Bosch Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96.
• Judith D. Sally. Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. — American Mathematical Society, 2007. — ISBN 9780821872673..
• Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Springer, 1993. — Т. 97. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387979663.
• Arthur Baragar. A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities. — Prentice Hall, 2001. — ISBN 9780130143181.
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
• Clifford A. Pickover. The Math Book. — Sterling, 2009. — С. Глава «Pythagorean Theorem and Triangles». — ISBN 1402757964.
• John Stillwell. Elements of Number Theory. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95587-2.
• [www.math.brown.edu/~jhs/frintch2ch3.pdf Pythagorean Triples and the Unit Circle], chap. 2-3, in «[www.math.brown.edu/~jhs/frint.html A Friendly Introduction to Number Theory]» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Дмитрий Викторович Аносов. [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-3 Взгляд на математику и нечто из нее]. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2003. — Т. 3. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — 3 000+1 500 экз. — ISBN 5-94057-111-5.

Ссылки

• Paul Yiu Recreational Mathematics // Course Notes, Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. — 2003.
• Frank R. Bernhart, H. Lee Price Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. — 2005. arXiv
• Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf Heron triangles and moduli spaces // Mathematics Teacher. — May 2008. — Т. 101.
• Gauss CF Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.. — 1832. — Т. 4.
• Albert Fässler Multiple Pythagorean number triples // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 6.
• Manuel Benito, Juan L. Varona Pythagorean triangles with legs less than n. — 2002. — Т. 143. — DOI:10.1016/S0377-0427(01)00496-4.
• Roger C. Alperin The modular tree of Pythagoras // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 2005. — Т. 112, вып. 9. — С. 807–816.
• B. Berggren Pytagoreiska trianglar (Swedish) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. — 1934. — Т. 17. — С. 129–139.
• F.J.M. Barning Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices (нид.) // Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk.. — 1963. — Т. ZW-011. — С. 37.
• Ernest Eckert Primitive Pythagorean triples // The College Mathematics Journal. — Mathematical Association of America, 1992. — Т. 23, вып. 5. — С. 413–7.
• Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard Groups of integral triangles // The Fibonacci Quarterly. — 1989. — Т. 27, вып. 5. — С. 458-464.
• Ernest J. Eckert The Group of Primitive Pythagorean Triangles // MATHEMATICS MAGAZINE. — 1984. — Т. 57.

• Noam Elkies Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90.
• Thomas Heath The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) // 2nd. — Dover Publications, 1956. — ISBN 0-486-60088-2.
• Artemas Martin Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — Annals of Mathematics, 1875. — Т. 3, вып. 2. — С. 47–50. — DOI:10.2307/2635906.
• Darryl McCullough Height and excess of Pythagorean triples // Mathematics Magazine. — 2005. — Т. 78, вып. 1.
• Dan Romik The dynamics of Pythagorean triples. — 2004. — С. 6512. — . — arXiv:math.DS/0406512.
• M. G. Teigen, D. W. Hadwin On Generating Pythagorean Triples // The American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1971. — Т. 78, вып. 4. — С. 378–9.
• Andrzej Trautman Geometric universe / S.A. Hugget, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse. — 1998.
• Noam Elkies On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ // Mathematics of Computation. — 1988. — Т. 51. — С. 825–835.
• H. Lee Price The Pythagorean Tree: A New Species. — 2008. — Т. 0809. — С. 4324. — . — arXiv:0809.4324.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html Pythagorean Triple] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [www.cut-the-knot.org/pythagoras/pythTriple.shtml Pythagorean Triples] at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
• [www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT_matrix.shtml The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples] at cut-the-knot
• [www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry]
• [www.math.siu.edu/kocik/pracki/44Cliffpdf.pdf Clifford Algebras and Euclid’s Parameterization of Pythagorean triples]
• [www.friesian.com/pythag.htm Pythagorean Triplets]
• [www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems]
• [people.wcsu.edu/sandifere/Academics/2007Spring/Mat342/PythagTrip02.pdf Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions]
• [blah.math.tu-graz.ac.at/~frisch/wwwpdf/pytha.pdf Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials]
• [learn.sdstate.edu/vestald/publications/Curious%20Consequences.pdf Curious Consequences of a Miscopied Quadratic]
• [mathcentral.uregina.ca/mp/previous2005/feb06sol.php Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples]
• [www.numbertheory.org/php/negative_pell.html The negative Pell equation and Pythagorean triples]
• [www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/InCircle.pdf The Remarkable Incircle of a Triangle]
• [www.hbmeyer.de/pythagen.htm Interactive Calculator for Pythagorean Triples]

Отрывок, характеризующий Пифагорова тройка

О войне княжна Марья думала так, как думают о войне женщины. Она боялась за брата, который был там, ужасалась, не понимая ее, перед людской жестокостью, заставлявшей их убивать друг друга; но не понимала значения этой войны, казавшейся ей такою же, как и все прежние войны. Она не понимала значения этой войны, несмотря на то, что Десаль, ее постоянный собеседник, страстно интересовавшийся ходом войны, старался ей растолковать свои соображения, и несмотря на то, что приходившие к ней божьи люди все по своему с ужасом говорили о народных слухах про нашествие антихриста, и несмотря на то, что Жюли, теперь княгиня Друбецкая, опять вступившая с ней в переписку, писала ей из Москвы патриотические письма.
«Я вам пишу по русски, мой добрый друг, – писала Жюли, – потому что я имею ненависть ко всем французам, равно и к языку их, который я не могу слышать говорить… Мы в Москве все восторжены через энтузиазм к нашему обожаемому императору.
Бедный муж мой переносит труды и голод в жидовских корчмах; но новости, которые я имею, еще более воодушевляют меня.
Вы слышали, верно, о героическом подвиге Раевского, обнявшего двух сыновей и сказавшего: «Погибну с ними, но не поколеблемся!И действительно, хотя неприятель был вдвое сильнее нас, мы не колебнулись. Мы проводим время, как можем; но на войне, как на войне. Княжна Алина и Sophie сидят со мною целые дни, и мы, несчастные вдовы живых мужей, за корпией делаем прекрасные разговоры; только вас, мой друг, недостает… и т. д.
Преимущественно не понимала княжна Марья всего значения этой войны потому, что старый князь никогда не говорил про нее, не признавал ее и смеялся за обедом над Десалем, говорившим об этой войне. Тон князя был так спокоен и уверен, что княжна Марья, не рассуждая, верила ему.
Весь июль месяц старый князь был чрезвычайно деятелен и даже оживлен. Он заложил еще новый сад и новый корпус, строение для дворовых. Одно, что беспокоило княжну Марью, было то, что он мало спал и, изменив свою привычку спать в кабинете, каждый день менял место своих ночлегов. То он приказывал разбить свою походную кровать в галерее, то он оставался на диване или в вольтеровском кресле в гостиной и дремал не раздеваясь, между тем как не m lle Bourienne, a мальчик Петруша читал ему; то он ночевал в столовой.
Первого августа было получено второе письмо от кня зя Андрея. В первом письме, полученном вскоре после его отъезда, князь Андрей просил с покорностью прощения у своего отца за то, что он позволил себе сказать ему, и просил его возвратить ему свою милость. На это письмо старый князь отвечал ласковым письмом и после этого письма отдалил от себя француженку. Второе письмо князя Андрея, писанное из под Витебска, после того как французы заняли его, состояло из краткого описания всей кампании с планом, нарисованным в письме, и из соображений о дальнейшем ходе кампании. В письме этом князь Андрей представлял отцу неудобства его положения вблизи от театра войны, на самой линии движения войск, и советовал ехать в Москву.
За обедом в этот день на слова Десаля, говорившего о том, что, как слышно, французы уже вступили в Витебск, старый князь вспомнил о письме князя Андрея.
– Получил от князя Андрея нынче, – сказал он княжне Марье, – не читала?
– Нет, mon pere, [батюшка] – испуганно отвечала княжна. Она не могла читать письма, про получение которого она даже и не слышала.
– Он пишет про войну про эту, – сказал князь с той сделавшейся ему привычной, презрительной улыбкой, с которой он говорил всегда про настоящую войну.
– Должно быть, очень интересно, – сказал Десаль. – Князь в состоянии знать…
– Ах, очень интересно! – сказала m llе Bourienne.
– Подите принесите мне, – обратился старый князь к m llе Bourienne. – Вы знаете, на маленьком столе под пресс папье.
M lle Bourienne радостно вскочила.
– Ах нет, – нахмурившись, крикнул он. – Поди ты, Михаил Иваныч.
Михаил Иваныч встал и пошел в кабинет. Но только что он вышел, старый князь, беспокойно оглядывавшийся, бросил салфетку и пошел сам.
– Ничего то не умеют, все перепутают.
Пока он ходил, княжна Марья, Десаль, m lle Bourienne и даже Николушка молча переглядывались. Старый князь вернулся поспешным шагом, сопутствуемый Михаилом Иванычем, с письмом и планом, которые он, не давая никому читать во время обеда, положил подле себя.
Перейдя в гостиную, он передал письмо княжне Марье и, разложив пред собой план новой постройки, на который он устремил глаза, приказал ей читать вслух. Прочтя письмо, княжна Марья вопросительно взглянула на отца.
Он смотрел на план, очевидно, погруженный в свои мысли.
– Что вы об этом думаете, князь? – позволил себе Десаль обратиться с вопросом.
– Я! я!.. – как бы неприятно пробуждаясь, сказал князь, не спуская глаз с плана постройки.
– Весьма может быть, что театр войны так приблизится к нам…
– Ха ха ха! Театр войны! – сказал князь. – Я говорил и говорю, что театр войны есть Польша, и дальше Немана никогда не проникнет неприятель.
Десаль с удивлением посмотрел на князя, говорившего о Немане, когда неприятель был уже у Днепра; но княжна Марья, забывшая географическое положение Немана, думала, что то, что ее отец говорит, правда.
– При ростепели снегов потонут в болотах Польши. Они только могут не видеть, – проговорил князь, видимо, думая о кампании 1807 го года, бывшей, как казалось, так недавно. – Бенигсен должен был раньше вступить в Пруссию, дело приняло бы другой оборот…
– Но, князь, – робко сказал Десаль, – в письме говорится о Витебске…
– А, в письме, да… – недовольно проговорил князь, – да… да… – Лицо его приняло вдруг мрачное выражение. Он помолчал. – Да, он пишет, французы разбиты, при какой это реке?
Десаль опустил глаза.
– Князь ничего про это не пишет, – тихо сказал он.
– А разве не пишет? Ну, я сам не выдумал же. – Все долго молчали.
– Да… да… Ну, Михайла Иваныч, – вдруг сказал он, приподняв голову и указывая на план постройки, – расскажи, как ты это хочешь переделать…
Михаил Иваныч подошел к плану, и князь, поговорив с ним о плане новой постройки, сердито взглянув на княжну Марью и Десаля, ушел к себе.
Княжна Марья видела смущенный и удивленный взгляд Десаля, устремленный на ее отца, заметила его молчание и была поражена тем, что отец забыл письмо сына на столе в гостиной; но она боялась не только говорить и расспрашивать Десаля о причине его смущения и молчания, но боялась и думать об этом.
Ввечеру Михаил Иваныч, присланный от князя, пришел к княжне Марье за письмом князя Андрея, которое забыто было в гостиной. Княжна Марья подала письмо. Хотя ей это и неприятно было, она позволила себе спросить у Михаила Иваныча, что делает ее отец.
– Всё хлопочут, – с почтительно насмешливой улыбкой, которая заставила побледнеть княжну Марью, сказал Михаил Иваныч. – Очень беспокоятся насчет нового корпуса. Читали немножко, а теперь, – понизив голос, сказал Михаил Иваныч, – у бюра, должно, завещанием занялись. (В последнее время одно из любимых занятий князя было занятие над бумагами, которые должны были остаться после его смерти и которые он называл завещанием.)
– А Алпатыча посылают в Смоленск? – спросила княжна Марья.
– Как же с, уж он давно ждет.


Когда Михаил Иваныч вернулся с письмом в кабинет, князь в очках, с абажуром на глазах и на свече, сидел у открытого бюро, с бумагами в далеко отставленной руке, и в несколько торжественной позе читал свои бумаги (ремарки, как он называл), которые должны были быть доставлены государю после его смерти.
Когда Михаил Иваныч вошел, у него в глазах стояли слезы воспоминания о том времени, когда он писал то, что читал теперь. Он взял из рук Михаила Иваныча письмо, положил в карман, уложил бумаги и позвал уже давно дожидавшегося Алпатыча.
На листочке бумаги у него было записано то, что нужно было в Смоленске, и он, ходя по комнате мимо дожидавшегося у двери Алпатыча, стал отдавать приказания.
– Первое, бумаги почтовой, слышишь, восемь дестей, вот по образцу; золотообрезной… образчик, чтобы непременно по нем была; лаку, сургучу – по записке Михаила Иваныча.
Он походил по комнате и заглянул в памятную записку.
– Потом губернатору лично письмо отдать о записи.
Потом были нужны задвижки к дверям новой постройки, непременно такого фасона, которые выдумал сам князь. Потом ящик переплетный надо было заказать для укладки завещания.
Отдача приказаний Алпатычу продолжалась более двух часов. Князь все не отпускал его. Он сел, задумался и, закрыв глаза, задремал. Алпатыч пошевелился.
– Ну, ступай, ступай; ежели что нужно, я пришлю.
Алпатыч вышел. Князь подошел опять к бюро, заглянув в него, потрогал рукою свои бумаги, опять запер и сел к столу писать письмо губернатору.
Уже было поздно, когда он встал, запечатав письмо. Ему хотелось спать, но он знал, что не заснет и что самые дурные мысли приходят ему в постели. Он кликнул Тихона и пошел с ним по комнатам, чтобы сказать ему, где стлать постель на нынешнюю ночь. Он ходил, примеривая каждый уголок.
Везде ему казалось нехорошо, но хуже всего был привычный диван в кабинете. Диван этот был страшен ему, вероятно по тяжелым мыслям, которые он передумал, лежа на нем. Нигде не было хорошо, но все таки лучше всех был уголок в диванной за фортепиано: он никогда еще не спал тут.
Тихон принес с официантом постель и стал уставлять.
– Не так, не так! – закричал князь и сам подвинул на четверть подальше от угла, и потом опять поближе.
«Ну, наконец все переделал, теперь отдохну», – подумал князь и предоставил Тихону раздевать себя.
Досадливо морщась от усилий, которые нужно было делать, чтобы снять кафтан и панталоны, князь разделся, тяжело опустился на кровать и как будто задумался, презрительно глядя на свои желтые, иссохшие ноги. Он не задумался, а он медлил перед предстоявшим ему трудом поднять эти ноги и передвинуться на кровати. «Ох, как тяжело! Ох, хоть бы поскорее, поскорее кончились эти труды, и вы бы отпустили меня! – думал он. Он сделал, поджав губы, в двадцатый раз это усилие и лег. Но едва он лег, как вдруг вся постель равномерно заходила под ним вперед и назад, как будто тяжело дыша и толкаясь. Это бывало с ним почти каждую ночь. Он открыл закрывшиеся было глаза.
– Нет спокоя, проклятые! – проворчал он с гневом на кого то. «Да, да, еще что то важное было, очень что то важное я приберег себе на ночь в постели. Задвижки? Нет, про это сказал. Нет, что то такое, что то в гостиной было. Княжна Марья что то врала. Десаль что то – дурак этот – говорил. В кармане что то – не вспомню».
– Тишка! Об чем за обедом говорили?
– Об князе, Михайле…
– Молчи, молчи. – Князь захлопал рукой по столу. – Да! Знаю, письмо князя Андрея. Княжна Марья читала. Десаль что то про Витебск говорил. Теперь прочту.
Он велел достать письмо из кармана и придвинуть к кровати столик с лимонадом и витушкой – восковой свечкой и, надев очки, стал читать. Тут только в тишине ночи, при слабом свете из под зеленого колпака, он, прочтя письмо, в первый раз на мгновение понял его значение.
«Французы в Витебске, через четыре перехода они могут быть у Смоленска; может, они уже там».
– Тишка! – Тихон вскочил. – Нет, не надо, не надо! – прокричал он.
Он спрятал письмо под подсвечник и закрыл глаза. И ему представился Дунай, светлый полдень, камыши, русский лагерь, и он входит, он, молодой генерал, без одной морщины на лице, бодрый, веселый, румяный, в расписной шатер Потемкина, и жгучее чувство зависти к любимцу, столь же сильное, как и тогда, волнует его. И он вспоминает все те слова, которые сказаны были тогда при первом Свидании с Потемкиным. И ему представляется с желтизною в жирном лице невысокая, толстая женщина – матушка императрица, ее улыбки, слова, когда она в первый раз, обласкав, приняла его, и вспоминается ее же лицо на катафалке и то столкновение с Зубовым, которое было тогда при ее гробе за право подходить к ее руке.
«Ах, скорее, скорее вернуться к тому времени, и чтобы теперешнее все кончилось поскорее, поскорее, чтобы оставили они меня в покое!»


Лысые Горы, именье князя Николая Андреича Болконского, находились в шестидесяти верстах от Смоленска, позади его, и в трех верстах от Московской дороги.
В тот же вечер, как князь отдавал приказания Алпатычу, Десаль, потребовав у княжны Марьи свидания, сообщил ей, что так как князь не совсем здоров и не принимает никаких мер для своей безопасности, а по письму князя Андрея видно, что пребывание в Лысых Горах небезопасно, то он почтительно советует ей самой написать с Алпатычем письмо к начальнику губернии в Смоленск с просьбой уведомить ее о положении дел и о мере опасности, которой подвергаются Лысые Горы. Десаль написал для княжны Марьи письмо к губернатору, которое она подписала, и письмо это было отдано Алпатычу с приказанием подать его губернатору и, в случае опасности, возвратиться как можно скорее.
Получив все приказания, Алпатыч, провожаемый домашними, в белой пуховой шляпе (княжеский подарок), с палкой, так же как князь, вышел садиться в кожаную кибиточку, заложенную тройкой сытых саврасых.
Колокольчик был подвязан, и бубенчики заложены бумажками. Князь никому не позволял в Лысых Горах ездить с колокольчиком. Но Алпатыч любил колокольчики и бубенчики в дальней дороге. Придворные Алпатыча, земский, конторщик, кухарка – черная, белая, две старухи, мальчик казачок, кучера и разные дворовые провожали его.
Дочь укладывала за спину и под него ситцевые пуховые подушки. Свояченица старушка тайком сунула узелок. Один из кучеров подсадил его под руку.
– Ну, ну, бабьи сборы! Бабы, бабы! – пыхтя, проговорил скороговоркой Алпатыч точно так, как говорил князь, и сел в кибиточку. Отдав последние приказания о работах земскому и в этом уж не подражая князю, Алпатыч снял с лысой головы шляпу и перекрестился троекратно.
– Вы, ежели что… вы вернитесь, Яков Алпатыч; ради Христа, нас пожалей, – прокричала ему жена, намекавшая на слухи о войне и неприятеле.
– Бабы, бабы, бабьи сборы, – проговорил Алпатыч про себя и поехал, оглядывая вокруг себя поля, где с пожелтевшей рожью, где с густым, еще зеленым овсом, где еще черные, которые только начинали двоить. Алпатыч ехал, любуясь на редкостный урожай ярового в нынешнем году, приглядываясь к полоскам ржаных пелей, на которых кое где начинали зажинать, и делал свои хозяйственные соображения о посеве и уборке и о том, не забыто ли какое княжеское приказание.
Два раза покормив дорогой, к вечеру 4 го августа Алпатыч приехал в город.
По дороге Алпатыч встречал и обгонял обозы и войска. Подъезжая к Смоленску, он слышал дальние выстрелы, но звуки эти не поразили его. Сильнее всего поразило его то, что, приближаясь к Смоленску, он видел прекрасное поле овса, которое какие то солдаты косили, очевидно, на корм и по которому стояли лагерем; это обстоятельство поразило Алпатыча, но он скоро забыл его, думая о своем деле.
Все интересы жизни Алпатыча уже более тридцати лет были ограничены одной волей князя, и он никогда не выходил из этого круга. Все, что не касалось до исполнения приказаний князя, не только не интересовало его, но не существовало для Алпатыча.
Алпатыч, приехав вечером 4 го августа в Смоленск, остановился за Днепром, в Гаченском предместье, на постоялом дворе, у дворника Ферапонтова, у которого он уже тридцать лет имел привычку останавливаться. Ферапонтов двенадцать лет тому назад, с легкой руки Алпатыча, купив рощу у князя, начал торговать и теперь имел дом, постоялый двор и мучную лавку в губернии. Ферапонтов был толстый, черный, красный сорокалетний мужик, с толстыми губами, с толстой шишкой носом, такими же шишками над черными, нахмуренными бровями и толстым брюхом.
Ферапонтов, в жилете, в ситцевой рубахе, стоял у лавки, выходившей на улицу. Увидав Алпатыча, он подошел к нему.
– Добро пожаловать, Яков Алпатыч. Народ из города, а ты в город, – сказал хозяин.
– Что ж так, из города? – сказал Алпатыч.
– И я говорю, – народ глуп. Всё француза боятся.
– Бабьи толки, бабьи толки! – проговорил Алпатыч.
– Так то и я сужу, Яков Алпатыч. Я говорю, приказ есть, что не пустят его, – значит, верно. Да и мужики по три рубля с подводы просят – креста на них нет!
Яков Алпатыч невнимательно слушал. Он потребовал самовар и сена лошадям и, напившись чаю, лег спать.
Всю ночь мимо постоялого двора двигались на улице войска. На другой день Алпатыч надел камзол, который он надевал только в городе, и пошел по делам. Утро было солнечное, и с восьми часов было уже жарко. Дорогой день для уборки хлеба, как думал Алпатыч. За городом с раннего утра слышались выстрелы.
С восьми часов к ружейным выстрелам присоединилась пушечная пальба. На улицах было много народу, куда то спешащего, много солдат, но так же, как и всегда, ездили извозчики, купцы стояли у лавок и в церквах шла служба. Алпатыч прошел в лавки, в присутственные места, на почту и к губернатору. В присутственных местах, в лавках, на почте все говорили о войске, о неприятеле, который уже напал на город; все спрашивали друг друга, что делать, и все старались успокоивать друг друга.
У дома губернатора Алпатыч нашел большое количество народа, казаков и дорожный экипаж, принадлежавший губернатору. На крыльце Яков Алпатыч встретил двух господ дворян, из которых одного он знал. Знакомый ему дворянин, бывший исправник, говорил с жаром.
– Ведь это не шутки шутить, – говорил он. – Хорошо, кто один. Одна голова и бедна – так одна, а то ведь тринадцать человек семьи, да все имущество… Довели, что пропадать всем, что ж это за начальство после этого?.. Эх, перевешал бы разбойников…
– Да ну, будет, – говорил другой.
– А мне что за дело, пускай слышит! Что ж, мы не собаки, – сказал бывший исправник и, оглянувшись, увидал Алпатыча.
– А, Яков Алпатыч, ты зачем?
– По приказанию его сиятельства, к господину губернатору, – отвечал Алпатыч, гордо поднимая голову и закладывая руку за пазуху, что он делал всегда, когда упоминал о князе… – Изволили приказать осведомиться о положении дел, – сказал он.
– Да вот и узнавай, – прокричал помещик, – довели, что ни подвод, ничего!.. Вот она, слышишь? – сказал он, указывая на ту сторону, откуда слышались выстрелы.
– Довели, что погибать всем… разбойники! – опять проговорил он и сошел с крыльца.
Алпатыч покачал головой и пошел на лестницу. В приемной были купцы, женщины, чиновники, молча переглядывавшиеся между собой. Дверь кабинета отворилась, все встали с мест и подвинулись вперед. Из двери выбежал чиновник, поговорил что то с купцом, кликнул за собой толстого чиновника с крестом на шее и скрылся опять в дверь, видимо, избегая всех обращенных к нему взглядов и вопросов. Алпатыч продвинулся вперед и при следующем выходе чиновника, заложив руку зазастегнутый сюртук, обратился к чиновнику, подавая ему два письма.
– Господину барону Ашу от генерала аншефа князя Болконского, – провозгласил он так торжественно и значительно, что чиновник обратился к нему и взял его письмо. Через несколько минут губернатор принял Алпатыча и поспешно сказал ему:
– Доложи князю и княжне, что мне ничего не известно было: я поступал по высшим приказаниям – вот…
Он дал бумагу Алпатычу.
– А впрочем, так как князь нездоров, мой совет им ехать в Москву. Я сам сейчас еду. Доложи… – Но губернатор не договорил: в дверь вбежал запыленный и запотелый офицер и начал что то говорить по французски. На лице губернатора изобразился ужас.
– Иди, – сказал он, кивнув головой Алпатычу, и стал что то спрашивать у офицера. Жадные, испуганные, беспомощные взгляды обратились на Алпатыча, когда он вышел из кабинета губернатора. Невольно прислушиваясь теперь к близким и все усиливавшимся выстрелам, Алпатыч поспешил на постоялый двор. Бумага, которую дал губернатор Алпатычу, была следующая:
«Уверяю вас, что городу Смоленску не предстоит еще ни малейшей опасности, и невероятно, чтобы оный ею угрожаем был. Я с одной, а князь Багратион с другой стороны идем на соединение перед Смоленском, которое совершится 22 го числа, и обе армии совокупными силами станут оборонять соотечественников своих вверенной вам губернии, пока усилия их удалят от них врагов отечества или пока не истребится в храбрых их рядах до последнего воина. Вы видите из сего, что вы имеете совершенное право успокоить жителей Смоленска, ибо кто защищаем двумя столь храбрыми войсками, тот может быть уверен в победе их». (Предписание Барклая де Толли смоленскому гражданскому губернатору, барону Ашу, 1812 года.)
Народ беспокойно сновал по улицам.
Наложенные верхом возы с домашней посудой, стульями, шкафчиками то и дело выезжали из ворот домов и ехали по улицам. В соседнем доме Ферапонтова стояли повозки и, прощаясь, выли и приговаривали бабы. Дворняжка собака, лая, вертелась перед заложенными лошадьми.
Алпатыч более поспешным шагом, чем он ходил обыкновенно, вошел во двор и прямо пошел под сарай к своим лошадям и повозке. Кучер спал; он разбудил его, велел закладывать и вошел в сени. В хозяйской горнице слышался детский плач, надрывающиеся рыдания женщины и гневный, хриплый крик Ферапонтова. Кухарка, как испуганная курица, встрепыхалась в сенях, как только вошел Алпатыч.
– До смерти убил – хозяйку бил!.. Так бил, так волочил!..
– За что? – спросил Алпатыч.
– Ехать просилась. Дело женское! Увези ты, говорит, меня, не погуби ты меня с малыми детьми; народ, говорит, весь уехал, что, говорит, мы то? Как зачал бить. Так бил, так волочил!
Алпатыч как бы одобрительно кивнул головой на эти слова и, не желая более ничего знать, подошел к противоположной – хозяйской двери горницы, в которой оставались его покупки.
– Злодей ты, губитель, – прокричала в это время худая, бледная женщина с ребенком на руках и с сорванным с головы платком, вырываясь из дверей и сбегая по лестнице на двор. Ферапонтов вышел за ней и, увидав Алпатыча, оправил жилет, волосы, зевнул и вошел в горницу за Алпатычем.
– Аль уж ехать хочешь? – спросил он.
Не отвечая на вопрос и не оглядываясь на хозяина, перебирая свои покупки, Алпатыч спросил, сколько за постой следовало хозяину.
– Сочтем! Что ж, у губернатора был? – спросил Ферапонтов. – Какое решение вышло?
Алпатыч отвечал, что губернатор ничего решительно не сказал ему.
– По нашему делу разве увеземся? – сказал Ферапонтов. – Дай до Дорогобужа по семи рублей за подводу. И я говорю: креста на них нет! – сказал он.
– Селиванов, тот угодил в четверг, продал муку в армию по девяти рублей за куль. Что же, чай пить будете? – прибавил он. Пока закладывали лошадей, Алпатыч с Ферапонтовым напились чаю и разговорились о цене хлебов, об урожае и благоприятной погоде для уборки.
– Однако затихать стала, – сказал Ферапонтов, выпив три чашки чая и поднимаясь, – должно, наша взяла. Сказано, не пустят. Значит, сила… А намесь, сказывали, Матвей Иваныч Платов их в реку Марину загнал, тысяч осьмнадцать, что ли, в один день потопил.
Алпатыч собрал свои покупки, передал их вошедшему кучеру, расчелся с хозяином. В воротах прозвучал звук колес, копыт и бубенчиков выезжавшей кибиточки.
Было уже далеко за полдень; половина улицы была в тени, другая была ярко освещена солнцем. Алпатыч взглянул в окно и пошел к двери. Вдруг послышался странный звук дальнего свиста и удара, и вслед за тем раздался сливающийся гул пушечной пальбы, от которой задрожали стекла.
Алпатыч вышел на улицу; по улице пробежали два человека к мосту. С разных сторон слышались свисты, удары ядер и лопанье гранат, падавших в городе. Но звуки эти почти не слышны были и не обращали внимания жителей в сравнении с звуками пальбы, слышными за городом. Это было бомбардирование, которое в пятом часу приказал открыть Наполеон по городу, из ста тридцати орудий. Народ первое время не понимал значения этого бомбардирования.
Звуки падавших гранат и ядер возбуждали сначала только любопытство. Жена Ферапонтова, не перестававшая до этого выть под сараем, умолкла и с ребенком на руках вышла к воротам, молча приглядываясь к народу и прислушиваясь к звукам.
К воротам вышли кухарка и лавочник. Все с веселым любопытством старались увидать проносившиеся над их головами снаряды. Из за угла вышло несколько человек людей, оживленно разговаривая.
– То то сила! – говорил один. – И крышку и потолок так в щепки и разбило.
– Как свинья и землю то взрыло, – сказал другой. – Вот так важно, вот так подбодрил! – смеясь, сказал он. – Спасибо, отскочил, а то бы она тебя смазала.
Народ обратился к этим людям. Они приостановились и рассказывали, как подле самих их ядра попали в дом. Между тем другие снаряды, то с быстрым, мрачным свистом – ядра, то с приятным посвистыванием – гранаты, не переставали перелетать через головы народа; но ни один снаряд не падал близко, все переносило. Алпатыч садился в кибиточку. Хозяин стоял в воротах.
– Чего не видала! – крикнул он на кухарку, которая, с засученными рукавами, в красной юбке, раскачиваясь голыми локтями, подошла к углу послушать то, что рассказывали.
– Вот чуда то, – приговаривала она, но, услыхав голос хозяина, она вернулась, обдергивая подоткнутую юбку.
Опять, но очень близко этот раз, засвистело что то, как сверху вниз летящая птичка, блеснул огонь посередине улицы, выстрелило что то и застлало дымом улицу.
– Злодей, что ж ты это делаешь? – прокричал хозяин, подбегая к кухарке.
В то же мгновение с разных сторон жалобно завыли женщины, испуганно заплакал ребенок и молча столпился народ с бледными лицами около кухарки. Из этой толпы слышнее всех слышались стоны и приговоры кухарки:
– Ой о ох, голубчики мои! Голубчики мои белые! Не дайте умереть! Голубчики мои белые!..
Через пять минут никого не оставалось на улице. Кухарку с бедром, разбитым гранатным осколком, снесли в кухню. Алпатыч, его кучер, Ферапонтова жена с детьми, дворник сидели в подвале, прислушиваясь. Гул орудий, свист снарядов и жалостный стон кухарки, преобладавший над всеми звуками, не умолкали ни на мгновение. Хозяйка то укачивала и уговаривала ребенка, то жалостным шепотом спрашивала у всех входивших в подвал, где был ее хозяин, оставшийся на улице. Вошедший в подвал лавочник сказал ей, что хозяин пошел с народом в собор, где поднимали смоленскую чудотворную икону.
К сумеркам канонада стала стихать. Алпатыч вышел из подвала и остановился в дверях. Прежде ясное вечера нее небо все было застлано дымом. И сквозь этот дым странно светил молодой, высоко стоящий серп месяца. После замолкшего прежнего страшного гула орудий над городом казалась тишина, прерываемая только как бы распространенным по всему городу шелестом шагов, стонов, дальних криков и треска пожаров. Стоны кухарки теперь затихли. С двух сторон поднимались и расходились черные клубы дыма от пожаров. На улице не рядами, а как муравьи из разоренной кочки, в разных мундирах и в разных направлениях, проходили и пробегали солдаты. В глазах Алпатыча несколько из них забежали на двор Ферапонтова. Алпатыч вышел к воротам. Какой то полк, теснясь и спеша, запрудил улицу, идя назад.
– Сдают город, уезжайте, уезжайте, – сказал ему заметивший его фигуру офицер и тут же обратился с криком к солдатам:
– Я вам дам по дворам бегать! – крикнул он.
Алпатыч вернулся в избу и, кликнув кучера, велел ему выезжать. Вслед за Алпатычем и за кучером вышли и все домочадцы Ферапонтова. Увидав дым и даже огни пожаров, видневшиеся теперь в начинавшихся сумерках, бабы, до тех пор молчавшие, вдруг заголосили, глядя на пожары. Как бы вторя им, послышались такие же плачи на других концах улицы. Алпатыч с кучером трясущимися руками расправлял запутавшиеся вожжи и постромки лошадей под навесом.
Когда Алпатыч выезжал из ворот, он увидал, как в отпертой лавке Ферапонтова человек десять солдат с громким говором насыпали мешки и ранцы пшеничной мукой и подсолнухами. В то же время, возвращаясь с улицы в лавку, вошел Ферапонтов. Увидав солдат, он хотел крикнуть что то, но вдруг остановился и, схватившись за волоса, захохотал рыдающим хохотом.
– Тащи всё, ребята! Не доставайся дьяволам! – закричал он, сам хватая мешки и выкидывая их на улицу. Некоторые солдаты, испугавшись, выбежали, некоторые продолжали насыпать. Увидав Алпатыча, Ферапонтов обратился к нему.
– Решилась! Расея! – крикнул он. – Алпатыч! решилась! Сам запалю. Решилась… – Ферапонтов побежал на двор.
По улице, запружая ее всю, непрерывно шли солдаты, так что Алпатыч не мог проехать и должен был дожидаться. Хозяйка Ферапонтова с детьми сидела также на телеге, ожидая того, чтобы можно было выехать.
Была уже совсем ночь. На небе были звезды и светился изредка застилаемый дымом молодой месяц. На спуске к Днепру повозки Алпатыча и хозяйки, медленно двигавшиеся в рядах солдат и других экипажей, должны были остановиться. Недалеко от перекрестка, у которого остановились повозки, в переулке, горели дом и лавки. Пожар уже догорал. Пламя то замирало и терялось в черном дыме, то вдруг вспыхивало ярко, до странности отчетливо освещая лица столпившихся людей, стоявших на перекрестке. Перед пожаром мелькали черные фигуры людей, и из за неумолкаемого треска огня слышались говор и крики. Алпатыч, слезший с повозки, видя, что повозку его еще не скоро пропустят, повернулся в переулок посмотреть пожар. Солдаты шныряли беспрестанно взад и вперед мимо пожара, и Алпатыч видел, как два солдата и с ними какой то человек во фризовой шинели тащили из пожара через улицу на соседний двор горевшие бревна; другие несли охапки сена.
Алпатыч подошел к большой толпе людей, стоявших против горевшего полным огнем высокого амбара. Стены были все в огне, задняя завалилась, крыша тесовая обрушилась, балки пылали. Очевидно, толпа ожидала той минуты, когда завалится крыша. Этого же ожидал Алпатыч.
– Алпатыч! – вдруг окликнул старика чей то знакомый голос.
– Батюшка, ваше сиятельство, – отвечал Алпатыч, мгновенно узнав голос своего молодого князя.
Князь Андрей, в плаще, верхом на вороной лошади, стоял за толпой и смотрел на Алпатыча.
– Ты как здесь? – спросил он.
– Ваше… ваше сиятельство, – проговорил Алпатыч и зарыдал… – Ваше, ваше… или уж пропали мы? Отец…
– Как ты здесь? – повторил князь Андрей.
Пламя ярко вспыхнуло в эту минуту и осветило Алпатычу бледное и изнуренное лицо его молодого барина. Алпатыч рассказал, как он был послан и как насилу мог уехать.
– Что же, ваше сиятельство, или мы пропали? – спросил он опять.
Князь Андрей, не отвечая, достал записную книжку и, приподняв колено, стал писать карандашом на вырванном листе. Он писал сестре:
«Смоленск сдают, – писал он, – Лысые Горы будут заняты неприятелем через неделю. Уезжайте сейчас в Москву. Отвечай мне тотчас, когда вы выедете, прислав нарочного в Усвяж».
Написав и передав листок Алпатычу, он на словах передал ему, как распорядиться отъездом князя, княжны и сына с учителем и как и куда ответить ему тотчас же. Еще не успел он окончить эти приказания, как верховой штабный начальник, сопутствуемый свитой, подскакал к нему.
– Вы полковник? – кричал штабный начальник, с немецким акцентом, знакомым князю Андрею голосом. – В вашем присутствии зажигают дома, а вы стоите? Что это значит такое? Вы ответите, – кричал Берг, который был теперь помощником начальника штаба левого фланга пехотных войск первой армии, – место весьма приятное и на виду, как говорил Берг.
Князь Андрей посмотрел на него и, не отвечая, продолжал, обращаясь к Алпатычу:
– Так скажи, что до десятого числа жду ответа, а ежели десятого не получу известия, что все уехали, я сам должен буду все бросить и ехать в Лысые Горы.
– Я, князь, только потому говорю, – сказал Берг, узнав князя Андрея, – что я должен исполнять приказания, потому что я всегда точно исполняю… Вы меня, пожалуйста, извините, – в чем то оправдывался Берг.
Что то затрещало в огне. Огонь притих на мгновенье; черные клубы дыма повалили из под крыши. Еще страшно затрещало что то в огне, и завалилось что то огромное.
– Урруру! – вторя завалившемуся потолку амбара, из которого несло запахом лепешек от сгоревшего хлеба, заревела толпа. Пламя вспыхнуло и осветило оживленно радостные и измученные лица людей, стоявших вокруг пожара.
Человек во фризовой шинели, подняв кверху руку, кричал:
– Важно! пошла драть! Ребята, важно!..
– Это сам хозяин, – послышались голоса.
– Так, так, – сказал князь Андрей, обращаясь к Алпатычу, – все передай, как я тебе говорил. – И, ни слова не отвечая Бергу, замолкшему подле него, тронул лошадь и поехал в переулок.


От Смоленска войска продолжали отступать. Неприятель шел вслед за ними. 10 го августа полк, которым командовал князь Андрей, проходил по большой дороге, мимо проспекта, ведущего в Лысые Горы. Жара и засуха стояли более трех недель. Каждый день по небу ходили курчавые облака, изредка заслоняя солнце; но к вечеру опять расчищало, и солнце садилось в буровато красную мглу. Только сильная роса ночью освежала землю. Остававшиеся на корню хлеба сгорали и высыпались. Болота пересохли. Скотина ревела от голода, не находя корма по сожженным солнцем лугам. Только по ночам и в лесах пока еще держалась роса, была прохлада. Но по дороге, по большой дороге, по которой шли войска, даже и ночью, даже и по лесам, не было этой прохлады. Роса не заметна была на песочной пыли дороги, встолченной больше чем на четверть аршина. Как только рассветало, начиналось движение. Обозы, артиллерия беззвучно шли по ступицу, а пехота по щиколку в мягкой, душной, не остывшей за ночь, жаркой пыли. Одна часть этой песочной пыли месилась ногами и колесами, другая поднималась и стояла облаком над войском, влипая в глаза, в волоса, в уши, в ноздри и, главное, в легкие людям и животным, двигавшимся по этой дороге. Чем выше поднималось солнце, тем выше поднималось облако пыли, и сквозь эту тонкую, жаркую пыль на солнце, не закрытое облаками, можно было смотреть простым глазом. Солнце представлялось большим багровым шаром. Ветра не было, и люди задыхались в этой неподвижной атмосфере. Люди шли, обвязавши носы и рты платками. Приходя к деревне, все бросалось к колодцам. Дрались за воду и выпивали ее до грязи.
Князь Андрей командовал полком, и устройство полка, благосостояние его людей, необходимость получения и отдачи приказаний занимали его. Пожар Смоленска и оставление его были эпохой для князя Андрея. Новое чувство озлобления против врага заставляло его забывать свое горе. Он весь был предан делам своего полка, он был заботлив о своих людях и офицерах и ласков с ними. В полку его называли наш князь, им гордились и его любили. Но добр и кроток он был только с своими полковыми, с Тимохиным и т. п., с людьми совершенно новыми и в чужой среде, с людьми, которые не могли знать и понимать его прошедшего; но как только он сталкивался с кем нибудь из своих прежних, из штабных, он тотчас опять ощетинивался; делался злобен, насмешлив и презрителен. Все, что связывало его воспоминание с прошедшим, отталкивало его, и потому он старался в отношениях этого прежнего мира только не быть несправедливым и исполнять свой долг.
Правда, все в темном, мрачном свете представлялось князю Андрею – особенно после того, как оставили Смоленск (который, по его понятиям, можно и должно было защищать) 6 го августа, и после того, как отец, больной, должен был бежать в Москву и бросить на расхищение столь любимые, обстроенные и им населенные Лысые Горы; но, несмотря на то, благодаря полку князь Андрей мог думать о другом, совершенно независимом от общих вопросов предмете – о своем полку. 10 го августа колонна, в которой был его полк, поравнялась с Лысыми Горами. Князь Андрей два дня тому назад получил известие, что его отец, сын и сестра уехали в Москву. Хотя князю Андрею и нечего было делать в Лысых Горах, он, с свойственным ему желанием растравить свое горе, решил, что он должен заехать в Лысые Горы.
Он велел оседлать себе лошадь и с перехода поехал верхом в отцовскую деревню, в которой он родился и провел свое детство. Проезжая мимо пруда, на котором всегда десятки баб, переговариваясь, били вальками и полоскали свое белье, князь Андрей заметил, что на пруде никого не было, и оторванный плотик, до половины залитый водой, боком плавал посредине пруда. Князь Андрей подъехал к сторожке. У каменных ворот въезда никого не было, и дверь была отперта. Дорожки сада уже заросли, и телята и лошади ходили по английскому парку. Князь Андрей подъехал к оранжерее; стекла были разбиты, и деревья в кадках некоторые повалены, некоторые засохли. Он окликнул Тараса садовника. Никто не откликнулся. Обогнув оранжерею на выставку, он увидал, что тесовый резной забор весь изломан и фрукты сливы обдерганы с ветками. Старый мужик (князь Андрей видал его у ворот в детстве) сидел и плел лапоть на зеленой скамеечке.
Он был глух и не слыхал подъезда князя Андрея. Он сидел на лавке, на которой любил сиживать старый князь, и около него было развешено лычко на сучках обломанной и засохшей магнолии.
Князь Андрей подъехал к дому. Несколько лип в старом саду были срублены, одна пегая с жеребенком лошадь ходила перед самым домом между розанами. Дом был заколочен ставнями. Одно окно внизу было открыто. Дворовый мальчик, увидав князя Андрея, вбежал в дом.
Алпатыч, услав семью, один оставался в Лысых Горах; он сидел дома и читал Жития. Узнав о приезде князя Андрея, он, с очками на носу, застегиваясь, вышел из дома, поспешно подошел к князю и, ничего не говоря, заплакал, целуя князя Андрея в коленку.
Потом он отвернулся с сердцем на свою слабость и стал докладывать ему о положении дел. Все ценное и дорогое было отвезено в Богучарово. Хлеб, до ста четвертей, тоже был вывезен; сено и яровой, необыкновенный, как говорил Алпатыч, урожай нынешнего года зеленым взят и скошен – войсками. Мужики разорены, некоторый ушли тоже в Богучарово, малая часть остается.
Князь Андрей, не дослушав его, спросил, когда уехали отец и сестра, разумея, когда уехали в Москву. Алпатыч отвечал, полагая, что спрашивают об отъезде в Богучарово, что уехали седьмого, и опять распространился о долах хозяйства, спрашивая распоряжении.
– Прикажете ли отпускать под расписку командам овес? У нас еще шестьсот четвертей осталось, – спрашивал Алпатыч.
«Что отвечать ему? – думал князь Андрей, глядя на лоснеющуюся на солнце плешивую голову старика и в выражении лица его читая сознание того, что он сам понимает несвоевременность этих вопросов, но спрашивает только так, чтобы заглушить и свое горе.
– Да, отпускай, – сказал он.
– Ежели изволили заметить беспорядки в саду, – говорил Алпатыч, – то невозмежио было предотвратить: три полка проходили и ночевали, в особенности драгуны. Я выписал чин и звание командира для подачи прошения.
– Ну, что ж ты будешь делать? Останешься, ежели неприятель займет? – спросил его князь Андрей.
Алпатыч, повернув свое лицо к князю Андрею, посмотрел на него; и вдруг торжественным жестом поднял руку кверху.
– Он мой покровитель, да будет воля его! – проговорил он.
Толпа мужиков и дворовых шла по лугу, с открытыми головами, приближаясь к князю Андрею.
– Ну прощай! – сказал князь Андрей, нагибаясь к Алпатычу. – Уезжай сам, увози, что можешь, и народу вели уходить в Рязанскую или в Подмосковную. – Алпатыч прижался к его ноге и зарыдал. Князь Андрей осторожно отодвинул его и, тронув лошадь, галопом поехал вниз по аллее.
На выставке все так же безучастно, как муха на лице дорогого мертвеца, сидел старик и стукал по колодке лаптя, и две девочки со сливами в подолах, которые они нарвали с оранжерейных деревьев, бежали оттуда и наткнулись на князя Андрея. Увидав молодого барина, старшая девочка, с выразившимся на лице испугом, схватила за руку свою меньшую товарку и с ней вместе спряталась за березу, не успев подобрать рассыпавшиеся зеленые сливы.
Князь Андрей испуганно поспешно отвернулся от них, боясь дать заметить им, что он их видел. Ему жалко стало эту хорошенькую испуганную девочку. Он боялся взглянуть на нее, по вместе с тем ему этого непреодолимо хотелось. Новое, отрадное и успокоительное чувство охватило его, когда он, глядя на этих девочек, понял существование других, совершенно чуждых ему и столь же законных человеческих интересов, как и те, которые занимали его. Эти девочки, очевидно, страстно желали одного – унести и доесть эти зеленые сливы и не быть пойманными, и князь Андрей желал с ними вместе успеха их предприятию. Он не мог удержаться, чтобы не взглянуть на них еще раз. Полагая себя уже в безопасности, они выскочили из засады и, что то пища тоненькими голосками, придерживая подолы, весело и быстро бежали по траве луга своими загорелыми босыми ножонками.
Князь Андрей освежился немного, выехав из района пыли большой дороги, по которой двигались войска. Но недалеко за Лысыми Горами он въехал опять на дорогу и догнал свой полк на привале, у плотины небольшого пруда. Был второй час после полдня. Солнце, красный шар в пыли, невыносимо пекло и жгло спину сквозь черный сюртук. Пыль, все такая же, неподвижно стояла над говором гудевшими, остановившимися войсками. Ветру не было, В проезд по плотине на князя Андрея пахнуло тиной и свежестью пруда. Ему захотелось в воду – какая бы грязная она ни была. Он оглянулся на пруд, с которого неслись крики и хохот. Небольшой мутный с зеленью пруд, видимо, поднялся четверти на две, заливая плотину, потому что он был полон человеческими, солдатскими, голыми барахтавшимися в нем белыми телами, с кирпично красными руками, лицами и шеями. Все это голое, белое человеческое мясо с хохотом и гиком барахталось в этой грязной луже, как караси, набитые в лейку. Весельем отзывалось это барахтанье, и оттого оно особенно было грустно.
Один молодой белокурый солдат – еще князь Андрей знал его – третьей роты, с ремешком под икрой, крестясь, отступал назад, чтобы хорошенько разбежаться и бултыхнуться в воду; другой, черный, всегда лохматый унтер офицер, по пояс в воде, подергивая мускулистым станом, радостно фыркал, поливая себе голову черными по кисти руками. Слышалось шлепанье друг по другу, и визг, и уханье.
На берегах, на плотине, в пруде, везде было белое, здоровое, мускулистое мясо. Офицер Тимохин, с красным носиком, обтирался на плотине и застыдился, увидав князя, однако решился обратиться к нему:
– То то хорошо, ваше сиятельство, вы бы изволили! – сказал он.
– Грязно, – сказал князь Андрей, поморщившись.
– Мы сейчас очистим вам. – И Тимохин, еще не одетый, побежал очищать.
– Князь хочет.
– Какой? Наш князь? – заговорили голоса, и все заторопились так, что насилу князь Андрей успел их успокоить. Он придумал лучше облиться в сарае.
«Мясо, тело, chair a canon [пушечное мясо]! – думал он, глядя и на свое голое тело, и вздрагивая не столько от холода, сколько от самому ему непонятного отвращения и ужаса при виде этого огромного количества тел, полоскавшихся в грязном пруде.
7 го августа князь Багратион в своей стоянке Михайловке на Смоленской дороге писал следующее:
«Милостивый государь граф Алексей Андреевич.
(Он писал Аракчееву, но знал, что письмо его будет прочтено государем, и потому, насколько он был к тому способен, обдумывал каждое свое слово.)
Я думаю, что министр уже рапортовал об оставлении неприятелю Смоленска. Больно, грустно, и вся армия в отчаянии, что самое важное место понапрасну бросили. Я, с моей стороны, просил лично его убедительнейшим образом, наконец и писал; но ничто его не согласило. Я клянусь вам моею честью, что Наполеон был в таком мешке, как никогда, и он бы мог потерять половину армии, но не взять Смоленска. Войска наши так дрались и так дерутся, как никогда. Я удержал с 15 тысячами более 35 ти часов и бил их; но он не хотел остаться и 14 ти часов. Это стыдно, и пятно армии нашей; а ему самому, мне кажется, и жить на свете не должно. Ежели он доносит, что потеря велика, – неправда; может быть, около 4 тысяч, не более, но и того нет. Хотя бы и десять, как быть, война! Но зато неприятель потерял бездну…
Что стоило еще оставаться два дни? По крайней мере, они бы сами ушли; ибо не имели воды напоить людей и лошадей. Он дал слово мне, что не отступит, но вдруг прислал диспозицию, что он в ночь уходит. Таким образом воевать не можно, и мы можем неприятеля скоро привести в Москву…
Слух носится, что вы думаете о мире. Чтобы помириться, боже сохрани! После всех пожертвований и после таких сумасбродных отступлений – мириться: вы поставите всю Россию против себя, и всякий из нас за стыд поставит носить мундир. Ежели уже так пошло – надо драться, пока Россия может и пока люди на ногах…
Надо командовать одному, а не двум. Ваш министр, может, хороший по министерству; но генерал не то что плохой, но дрянной, и ему отдали судьбу всего нашего Отечества… Я, право, с ума схожу от досады; простите мне, что дерзко пишу. Видно, тот не любит государя и желает гибели нам всем, кто советует заключить мир и командовать армиею министру. Итак, я пишу вам правду: готовьте ополчение. Ибо министр самым мастерским образом ведет в столицу за собою гостя. Большое подозрение подает всей армии господин флигель адъютант Вольцоген. Он, говорят, более Наполеона, нежели наш, и он советует все министру. Я не токмо учтив против него, но повинуюсь, как капрал, хотя и старее его. Это больно; но, любя моего благодетеля и государя, – повинуюсь. Только жаль государя, что вверяет таким славную армию. Вообразите, что нашею ретирадою мы потеряли людей от усталости и в госпиталях более 15 тысяч; а ежели бы наступали, того бы не было. Скажите ради бога, что наша Россия – мать наша – скажет, что так страшимся и за что такое доброе и усердное Отечество отдаем сволочам и вселяем в каждого подданного ненависть и посрамление. Чего трусить и кого бояться?. Я не виноват, что министр нерешим, трус, бестолков, медлителен и все имеет худые качества. Вся армия плачет совершенно и ругают его насмерть…»


В числе бесчисленных подразделений, которые можно сделать в явлениях жизни, можно подразделить их все на такие, в которых преобладает содержание, другие – в которых преобладает форма. К числу таковых, в противоположность деревенской, земской, губернской, даже московской жизни, можно отнести жизнь петербургскую, в особенности салонную. Эта жизнь неизменна.
С 1805 года мы мирились и ссорились с Бонапартом, мы делали конституции и разделывали их, а салон Анны Павловны и салон Элен были точно такие же, какие они были один семь лет, другой пять лет тому назад. Точно так же у Анны Павловны говорили с недоумением об успехах Бонапарта и видели, как в его успехах, так и в потакании ему европейских государей, злостный заговор, имеющий единственной целью неприятность и беспокойство того придворного кружка, которого представительницей была Анна Павловна. Точно так же у Элен, которую сам Румянцев удостоивал своим посещением и считал замечательно умной женщиной, точно так же как в 1808, так и в 1812 году с восторгом говорили о великой нации и великом человеке и с сожалением смотрели на разрыв с Францией, который, по мнению людей, собиравшихся в салоне Элен, должен был кончиться миром.
В последнее время, после приезда государя из армии, произошло некоторое волнение в этих противоположных кружках салонах и произведены были некоторые демонстрации друг против друга, но направление кружков осталось то же. В кружок Анны Павловны принимались из французов только закоренелые легитимисты, и здесь выражалась патриотическая мысль о том, что не надо ездить во французский театр и что содержание труппы стоит столько же, сколько содержание целого корпуса. За военными событиями следилось жадно, и распускались самые выгодные для нашей армии слухи. В кружке Элен, румянцевском, французском, опровергались слухи о жестокости врага и войны и обсуживались все попытки Наполеона к примирению. В этом кружке упрекали тех, кто присоветывал слишком поспешные распоряжения о том, чтобы приготавливаться к отъезду в Казань придворным и женским учебным заведениям, находящимся под покровительством императрицы матери. Вообще все дело войны представлялось в салоне Элен пустыми демонстрациями, которые весьма скоро кончатся миром, и царствовало мнение Билибина, бывшего теперь в Петербурге и домашним у Элен (всякий умный человек должен был быть у нее), что не порох, а те, кто его выдумали, решат дело. В этом кружке иронически и весьма умно, хотя весьма осторожно, осмеивали московский восторг, известие о котором прибыло вместе с государем в Петербург.