Планковская длина
Планковская длина (обозначаемая <math>\ell_P \ </math>) — единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Дирака и гравитационная постоянная.
Планковская длина равна:
где:
- ħ — постоянная Дирака (h/2π);
- G — гравитационная постоянная;
- c — скорость света в вакууме.
Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов[4][5].
Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (13,6 миллиардов световых лет или 4,4·1026 м) равен 2,7·1061 планковских длин.
С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.
Содержание
Планковская длина и евклидова геометрия
Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову[6]. Степень отклонения <math>\zeta</math> геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала <math>\varphi</math> и квадрата скорости света <math>c</math> : <math>\zeta=\varphi/c^2</math>. Когда <math>\zeta\ll 1</math>, геометрия близка к евклидовой; при <math>\zeta\sim 1</math> всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба <math>l</math> равна <math>E=\hbar\nu\sim \hbar c/l</math> (<math>c/l</math> — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой <math>m</math>, на такой длине есть <math>\varphi=Gm/l</math>, где <math>G</math> — постоянная всемирного тяготения. Вместо <math>m</math> следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия <math>E</math> (<math>m=E/c^2</math>). Получаем <math>\varphi=GE/l\,c^2=G\hbar/l^2c</math>. Разделив это выражение на <math>c^2</math>, получим величину отклонения <math>\zeta=G\hbar/c^3l^2=\ell^2_P/l^2</math>. Приравняв <math>\zeta=1</math>, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине <math>\ell_P=\sqrt{G\hbar/c^3}\approx 10^{-35}</math> м.
Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда
Частица массой <math>m</math> имеет приведённую комптоновскую длину волны
- <math>\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}</math>
С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен
- <math>r_g = \frac{2Gm}{c^2}=2\,\frac{G}{c^3}\,mc</math>
Произведение этих величин всегда постоянно и равно
- <math>r_g \overline{\lambda}_{C} = 2\,\frac{G}{c^3}\,\hbar = 2\ell_P^2</math>
Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид
- <math>\Delta r_g \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{G}{c^3}\,\hbar = \ell_P^2</math>
что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим
- <math>\Delta \left(2\,\frac{G}{c^3}\,mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge\frac{G}{c^3}\,\hbar</math>
Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга
- <math>\Delta \left(mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{\hbar}{2}</math>
Планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера[7]. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры[8].
Квантование пространства и планковская длина
В середине прошлого века гипотеза о квантовании пространства-времени [9] на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привела к предположению о том, что существуют ячейки пространства-времени с минимально возможной длиной, равной фундаментальной длине.[10] Согласно этой гипотезе, степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит от размеров ячейки. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. Гамма-вспышка GRB 041219A вошла в 1% самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до её источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана.
Анализ данных показал — если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10−48 метров или меньше.[11]
См. также
Напишите отзыв о статье "Планковская длина"
Примечания
- ↑ В скобках указано стандартное отклонение. Таким образом, значение планковской длины можно представить в следующих формах:
<math> \ell_P</math> ≈ 1,616 229(38) · 10−35 м =
= (1,616 229 ± 0,000 038) · 10−35 м =
= [1,616191 ÷ 1,616267] · 10−35 м - ↑ NIST, «[physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl Planck length]» (англ.), [physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html NIST’s published] CODATA constants
- ↑ [physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Fundamental Physical Constants — Complete Listing]
- ↑ [www.astronet.ru/db/msg/1170612/node7.html Лекции по Общей Астрофизике для Физиков. 1.5 Планковские единицы]
- ↑ Томилин К. А. [www.ihst.ru/personal/tomilin/papers/tom00phil.pdf Планковские величины] // 100 лет квантовой теории. История. Физика. Философия : Труды международной конференции. — М.: НИА-Природа, 2002. — С. 105—113.
- ↑ [vk.com/doc264717166_391605654?hash=9bfeab44ae7dce5b2b&dl=b33b2f904383703e1b Мигдал А. Б. Квантовая физика для больших и маленьких, Библиотека «Квант», вып. 75, Москва, Наука,1989], с.116-117
- ↑ [fiz.1september.ru/articlef.php?ID=200801308 Б.-Дж. Карр, С.-Б. Гиддингс. Квантовые чёрные дыры // Scientific American. 2005, May, 48-55. / Сокр. пер. с англ. А. В. Беркова]
- ↑ [arxiv.org/abs/hep-th/9510029v1 S. W. Hawking(1995) Virtual Black Holes]
- ↑ [bse.sci-lib.com/article060298.html Григорьев В.И. Квантование пространства-времени. Большая Советская Энциклопедия, 1987]
- ↑ [bse.sci-lib.com/article117874.html Киржниц Д.А. Фундаментальная длина. Большая Советская Энциклопедия, 1987]
- ↑ P. Laurent, D. Götz, P. Binétruy, S. Covino, A. Fernandez-Soto [link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.83.121301 Constraints on Lorentz Invariance Violation using integral/IBIS observations of GRB041219A] // Physical Review D. — 2011-06-28. — Т. 83, вып. 12. — С. 121301. — DOI:10.1103/PhysRevD.83.121301.
Литература
- Max Camenzind. [books.google.ru/books?id=Nh68nl0abhMC&pg=PA588&dq=Planck+Impedance&hl=ru&sa=X&ei=hvW7U9vNC4fmywOHzIKQCg&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q=Planck%20Impedance&f=false Compact Objects in Astrophysics: White Dwarfs, Neutron Stars and Black Holes]. — Springer Science & Business Media, 2007. — P. 588. — 706 p. — ISBN 3540499121, 9783540499121.
Ссылки
- [www.astronet.ru/db/msg/1252779/84.html Космологическое начало мира. Изменяются ли мировые постоянные?]
| ||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Планковская длина
«А я желала, желала его смерти! – думала княжна Марья. Он помолчал.– Спасибо тебе… дочь, дружок… за все, за все… прости… спасибо… прости… спасибо!.. – И слезы текли из его глаз. – Позовите Андрюшу, – вдруг сказал он, и что то детски робкое и недоверчивое выразилось в его лице при этом спросе. Он как будто сам знал, что спрос его не имеет смысла. Так, по крайней мере, показалось княжне Марье.
– Я от него получила письмо, – отвечала княжна Марья.
Он с удивлением и робостью смотрел на нее.
– Где же он?
– Он в армии, mon pere, в Смоленске.
Он долго молчал, закрыв глаза; потом утвердительно, как бы в ответ на свои сомнения и в подтверждение того, что он теперь все понял и вспомнил, кивнул головой и открыл глаза.
– Да, – сказал он явственно и тихо. – Погибла Россия! Погубили! – И он опять зарыдал, и слезы потекли у него из глаз. Княжна Марья не могла более удерживаться и плакала тоже, глядя на его лицо.
Он опять закрыл глаза. Рыдания его прекратились. Он сделал знак рукой к глазам; и Тихон, поняв его, отер ему слезы.
Потом он открыл глаза и сказал что то, чего долго никто не мог понять и, наконец, понял и передал один Тихон. Княжна Марья отыскивала смысл его слов в том настроении, в котором он говорил за минуту перед этим. То она думала, что он говорит о России, то о князе Андрее, то о ней, о внуке, то о своей смерти. И от этого она не могла угадать его слов.
– Надень твое белое платье, я люблю его, – говорил он.
Поняв эти слова, княжна Марья зарыдала еще громче, и доктор, взяв ее под руку, вывел ее из комнаты на террасу, уговаривая ее успокоиться и заняться приготовлениями к отъезду. После того как княжна Марья вышла от князя, он опять заговорил о сыне, о войне, о государе, задергал сердито бровями, стал возвышать хриплый голос, и с ним сделался второй и последний удар.
Княжна Марья остановилась на террасе. День разгулялся, было солнечно и жарко. Она не могла ничего понимать, ни о чем думать и ничего чувствовать, кроме своей страстной любви к отцу, любви, которой, ей казалось, она не знала до этой минуты. Она выбежала в сад и, рыдая, побежала вниз к пруду по молодым, засаженным князем Андреем, липовым дорожкам.
– Да… я… я… я. Я желала его смерти. Да, я желала, чтобы скорее кончилось… Я хотела успокоиться… А что ж будет со мной? На что мне спокойствие, когда его не будет, – бормотала вслух княжна Марья, быстрыми шагами ходя по саду и руками давя грудь, из которой судорожно вырывались рыдания. Обойдя по саду круг, который привел ее опять к дому, она увидала идущих к ней навстречу m lle Bourienne (которая оставалась в Богучарове и не хотела оттуда уехать) и незнакомого мужчину. Это был предводитель уезда, сам приехавший к княжне с тем, чтобы представить ей всю необходимость скорого отъезда. Княжна Марья слушала и не понимала его; она ввела его в дом, предложила ему завтракать и села с ним. Потом, извинившись перед предводителем, она подошла к двери старого князя. Доктор с встревоженным лицом вышел к ней и сказал, что нельзя.
– Идите, княжна, идите, идите!
Княжна Марья пошла опять в сад и под горой у пруда, в том месте, где никто не мог видеть, села на траву. Она не знала, как долго она пробыла там. Чьи то бегущие женские шаги по дорожке заставили ее очнуться. Она поднялась и увидала, что Дуняша, ее горничная, очевидно, бежавшая за нею, вдруг, как бы испугавшись вида своей барышни, остановилась.
– Пожалуйте, княжна… князь… – сказала Дуняша сорвавшимся голосом.
– Сейчас, иду, иду, – поспешно заговорила княжна, не давая времени Дуняше договорить ей то, что она имела сказать, и, стараясь не видеть Дуняши, побежала к дому.
– Княжна, воля божья совершается, вы должны быть на все готовы, – сказал предводитель, встречая ее у входной двери.
– Оставьте меня. Это неправда! – злобно крикнула она на него. Доктор хотел остановить ее. Она оттолкнула его и подбежала к двери. «И к чему эти люди с испуганными лицами останавливают меня? Мне никого не нужно! И что они тут делают? – Она отворила дверь, и яркий дневной свет в этой прежде полутемной комнате ужаснул ее. В комнате были женщины и няня. Они все отстранились от кровати, давая ей дорогу. Он лежал все так же на кровати; но строгий вид его спокойного лица остановил княжну Марью на пороге комнаты.
«Нет, он не умер, это не может быть! – сказала себе княжна Марья, подошла к нему и, преодолевая ужас, охвативший ее, прижала к щеке его свои губы. Но она тотчас же отстранилась от него. Мгновенно вся сила нежности к нему, которую она чувствовала в себе, исчезла и заменилась чувством ужаса к тому, что было перед нею. «Нет, нет его больше! Его нет, а есть тут же, на том же месте, где был он, что то чуждое и враждебное, какая то страшная, ужасающая и отталкивающая тайна… – И, закрыв лицо руками, княжна Марья упала на руки доктора, поддержавшего ее.
В присутствии Тихона и доктора женщины обмыли то, что был он, повязали платком голову, чтобы не закостенел открытый рот, и связали другим платком расходившиеся ноги. Потом они одели в мундир с орденами и положили на стол маленькое ссохшееся тело. Бог знает, кто и когда позаботился об этом, но все сделалось как бы само собой. К ночи кругом гроба горели свечи, на гробу был покров, на полу был посыпан можжевельник, под мертвую ссохшуюся голову была положена печатная молитва, а в углу сидел дьячок, читая псалтырь.
Как лошади шарахаются, толпятся и фыркают над мертвой лошадью, так в гостиной вокруг гроба толпился народ чужой и свой – предводитель, и староста, и бабы, и все с остановившимися испуганными глазами, крестились и кланялись, и целовали холодную и закоченевшую руку старого князя.
Богучарово было всегда, до поселения в нем князя Андрея, заглазное именье, и мужики богучаровские имели совсем другой характер от лысогорских. Они отличались от них и говором, и одеждой, и нравами. Они назывались степными. Старый князь хвалил их за их сносливость в работе, когда они приезжали подсоблять уборке в Лысых Горах или копать пруды и канавы, но не любил их за их дикость.
Последнее пребывание в Богучарове князя Андрея, с его нововведениями – больницами, школами и облегчением оброка, – не смягчило их нравов, а, напротив, усилило в них те черты характера, которые старый князь называл дикостью. Между ними всегда ходили какие нибудь неясные толки, то о перечислении их всех в казаки, то о новой вере, в которую их обратят, то о царских листах каких то, то о присяге Павлу Петровичу в 1797 году (про которую говорили, что тогда еще воля выходила, да господа отняли), то об имеющем через семь лет воцариться Петре Феодоровиче, при котором все будет вольно и так будет просто, что ничего не будет. Слухи о войне в Бонапарте и его нашествии соединились для них с такими же неясными представлениями об антихристе, конце света и чистой воле.
В окрестности Богучарова были всё большие села, казенные и оброчные помещичьи. Живущих в этой местности помещиков было очень мало; очень мало было также дворовых и грамотных, и в жизни крестьян этой местности были заметнее и сильнее, чем в других, те таинственные струи народной русской жизни, причины и значение которых бывают необъяснимы для современников. Одно из таких явлений было проявившееся лет двадцать тому назад движение между крестьянами этой местности к переселению на какие то теплые реки. Сотни крестьян, в том числе и богучаровские, стали вдруг распродавать свой скот и уезжать с семействами куда то на юго восток. Как птицы летят куда то за моря, стремились эти люди с женами и детьми туда, на юго восток, где никто из них не был. Они поднимались караванами, поодиночке выкупались, бежали, и ехали, и шли туда, на теплые реки. Многие были наказаны, сосланы в Сибирь, многие с холода и голода умерли по дороге, многие вернулись сами, и движение затихло само собой так же, как оно и началось без очевидной причины. Но подводные струи не переставали течь в этом народе и собирались для какой то новой силы, имеющей проявиться так же странно, неожиданно и вместе с тем просто, естественно и сильно. Теперь, в 1812 м году, для человека, близко жившего с народом, заметно было, что эти подводные струи производили сильную работу и были близки к проявлению.
