Плоскость

Сюда перенаправляется запрос «Плоскостность». На эту тему нужна отдельная статья.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Пло́скость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

<math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math>

где <math>A,B,C</math> и <math>D</math> — постоянные, причём <math>A,B</math> и <math>C</math> одновременно не равны нулю; в векторной форме:

<math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math>

где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор точки <math>M(x,y,z)</math>, вектор <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора <math>\mathbf{N}</math>:

<math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>

<math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>

<math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При <math>D=0</math> плоскость проходит через начало координат, при <math>A=0</math> (или <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) П. параллельна оси <math>Ox</math> (соответственно <math>Oy</math> или <math>Oz</math>). При <math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math>, или <math>B=C=0</math>) плоскость параллельна плоскости <math>Oxy</math> (соответственно <math>Oxz</math> или <math>Oyz</math>).

• Уравнение плоскости в отрезках:

<math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

где <math>a=-D/A</math>, <math>b=-D/B</math>, <math>c=-D/C</math> — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях <math>Ox, Oy</math> и <math>Oz</math>.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> перпендикулярно вектору нормали <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>:

<math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

в векторной форме:

<math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, не лежащие на одной прямой:

<math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math>

(смешанное произведение векторов), иначе

<math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

<math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

в векторной форме:

<math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>

где <math>\mathbf{N^0}</math>- единичный вектор, <math>p</math> — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

<math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(знаки <math>\mu</math> и <math>D</math> противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, <math>r_0</math> является радиусом-вектором точки <math>P_0</math>, заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка <math>P</math> с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от <math>P_0</math> к <math>P</math>, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

<math>\bold n\cdot (\bold r-\bold r_0)=0.</math> (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

<math> n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,</math>

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости <math>P(2,6,-3)</math> и вектор нормали <math>N(9,5,2)</math>.

Уравнение плоскости записывается так:

<math>9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0</math>

<math>-18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0</math>

<math>9x + 5y + 2z - 42 = 0</math>

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> от плоскости заданной нормированным уравнением <math>(2)</math>

<math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math>

<math>\delta>0</math>,если <math>M_1</math> и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае <math>\delta<0</math>. Расстояние от точки до плоскости равно <math>|\delta|.</math>

• Расстояние <math>\rho</math> от точки <math>M_0(x_0, y_0, z_0)</math>, до плоскости, заданной уравнением <math>ax+by+cz+d=0</math>, вычисляется по формуле:

<math>\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>Ax+By+Cz+D_1=0</math> и <math>Ax+By+Cz+D_2=0</math>:

<math>d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0</math> и <math>\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0</math>:

<math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math>

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

<math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Если в векторной форме, то

<math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.</math>

• Плоскости параллельны, если

<math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> или <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.</math> (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

<math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:

<math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>

где <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

<math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,</math>

где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

m-плоскость в пространстве <math>R^n</math>

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. m-плоскостью называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x| x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math> - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math> - вектор переменных, <math>\vec{d}</math> - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
<math> x = \vec{a_1}t_1 + ... + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> - векторное уравнение m-плоскости.
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> - нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> - вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> - общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примеры m-плоскостей

1. Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
2. Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Прямая
• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость

Отрывок, характеризующий Плоскость

Наполеон утвердительно кивнул головой.
Адъютант поскакал к дивизии Клапареда. И чрез несколько минут молодая гвардия, стоявшая позади кургана, тронулась с своего места. Наполеон молча смотрел по этому направлению.
– Нет, – обратился он вдруг к Бертье, – я не могу послать Клапареда. Пошлите дивизию Фриана, – сказал он.
Хотя не было никакого преимущества в том, чтобы вместо Клапареда посылать дивизию Фриана, и даже было очевидное неудобство и замедление в том, чтобы остановить теперь Клапареда и посылать Фриана, но приказание было с точностью исполнено. Наполеон не видел того, что он в отношении своих войск играл роль доктора, который мешает своими лекарствами, – роль, которую он так верно понимал и осуждал.
Дивизия Фриана, так же как и другие, скрылась в дыму поля сражения. С разных сторон продолжали прискакивать адъютанты, и все, как бы сговорившись, говорили одно и то же. Все просили подкреплений, все говорили, что русские держатся на своих местах и производят un feu d'enfer [адский огонь], от которого тает французское войско.
Наполеон сидел в задумчивости на складном стуле.
Проголодавшийся с утра m r de Beausset, любивший путешествовать, подошел к императору и осмелился почтительно предложить его величеству позавтракать.
– Я надеюсь, что теперь уже я могу поздравить ваше величество с победой, – сказал он.
Наполеон молча отрицательно покачал головой. Полагая, что отрицание относится к победе, а не к завтраку, m r de Beausset позволил себе игриво почтительно заметить, что нет в мире причин, которые могли бы помешать завтракать, когда можно это сделать.
– Allez vous… [Убирайтесь к…] – вдруг мрачно сказал Наполеон и отвернулся. Блаженная улыбка сожаления, раскаяния и восторга просияла на лице господина Боссе, и он плывущим шагом отошел к другим генералам.
Наполеон испытывал тяжелое чувство, подобное тому, которое испытывает всегда счастливый игрок, безумно кидавший свои деньги, всегда выигрывавший и вдруг, именно тогда, когда он рассчитал все случайности игры, чувствующий, что чем более обдуман его ход, тем вернее он проигрывает.
Войска были те же, генералы те же, те же были приготовления, та же диспозиция, та же proclamation courte et energique [прокламация короткая и энергическая], он сам был тот же, он это знал, он знал, что он был даже гораздо опытнее и искуснее теперь, чем он был прежде, даже враг был тот же, как под Аустерлицем и Фридландом; но страшный размах руки падал волшебно бессильно.
Все те прежние приемы, бывало, неизменно увенчиваемые успехом: и сосредоточение батарей на один пункт, и атака резервов для прорвания линии, и атака кавалерии des hommes de fer [железных людей], – все эти приемы уже были употреблены, и не только не было победы, но со всех сторон приходили одни и те же известия об убитых и раненых генералах, о необходимости подкреплений, о невозможности сбить русских и о расстройстве войск.
Прежде после двух трех распоряжений, двух трех фраз скакали с поздравлениями и веселыми лицами маршалы и адъютанты, объявляя трофеями корпуса пленных, des faisceaux de drapeaux et d'aigles ennemis, [пуки неприятельских орлов и знамен,] и пушки, и обозы, и Мюрат просил только позволения пускать кавалерию для забрания обозов. Так было под Лоди, Маренго, Арколем, Иеной, Аустерлицем, Ваграмом и так далее, и так далее. Теперь же что то странное происходило с его войсками.
Несмотря на известие о взятии флешей, Наполеон видел, что это было не то, совсем не то, что было во всех его прежних сражениях. Он видел, что то же чувство, которое испытывал он, испытывали и все его окружающие люди, опытные в деле сражений. Все лица были печальны, все глаза избегали друг друга. Только один Боссе не мог понимать значения того, что совершалось. Наполеон же после своего долгого опыта войны знал хорошо, что значило в продолжение восьми часов, после всех употрсбленных усилий, невыигранное атакующим сражение. Он знал, что это было почти проигранное сражение и что малейшая случайность могла теперь – на той натянутой точке колебания, на которой стояло сражение, – погубить его и его войска.
Когда он перебирал в воображении всю эту странную русскую кампанию, в которой не было выиграно ни одного сраженья, в которой в два месяца не взято ни знамен, ни пушек, ни корпусов войск, когда глядел на скрытно печальные лица окружающих и слушал донесения о том, что русские всё стоят, – страшное чувство, подобное чувству, испытываемому в сновидениях, охватывало его, и ему приходили в голову все несчастные случайности, могущие погубить его. Русские могли напасть на его левое крыло, могли разорвать его середину, шальное ядро могло убить его самого. Все это было возможно. В прежних сражениях своих он обдумывал только случайности успеха, теперь же бесчисленное количество несчастных случайностей представлялось ему, и он ожидал их всех. Да, это было как во сне, когда человеку представляется наступающий на него злодей, и человек во сне размахнулся и ударил своего злодея с тем страшным усилием, которое, он знает, должно уничтожить его, и чувствует, что рука его, бессильная и мягкая, падает, как тряпка, и ужас неотразимой погибели обхватывает беспомощного человека.
Известие о том, что русские атакуют левый фланг французской армии, возбудило в Наполеоне этот ужас. Он молча сидел под курганом на складном стуле, опустив голову и положив локти на колена. Бертье подошел к нему и предложил проехаться по линии, чтобы убедиться, в каком положении находилось дело.
– Что? Что вы говорите? – сказал Наполеон. – Да, велите подать мне лошадь.
Он сел верхом и поехал к Семеновскому.
В медленно расходившемся пороховом дыме по всему тому пространству, по которому ехал Наполеон, – в лужах крови лежали лошади и люди, поодиночке и кучами. Подобного ужаса, такого количества убитых на таком малом пространстве никогда не видал еще и Наполеон, и никто из его генералов. Гул орудий, не перестававший десять часов сряду и измучивший ухо, придавал особенную значительность зрелищу (как музыка при живых картинах). Наполеон выехал на высоту Семеновского и сквозь дым увидал ряды людей в мундирах цветов, непривычных для его глаз. Это были русские.
Русские плотными рядами стояли позади Семеновского и кургана, и их орудия не переставая гудели и дымили по их линии. Сражения уже не было. Было продолжавшееся убийство, которое ни к чему не могло повести ни русских, ни французов. Наполеон остановил лошадь и впал опять в ту задумчивость, из которой вывел его Бертье; он не мог остановить того дела, которое делалось перед ним и вокруг него и которое считалось руководимым им и зависящим от него, и дело это ему в первый раз, вследствие неуспеха, представлялось ненужным и ужасным.
Один из генералов, подъехавших к Наполеону, позволил себе предложить ему ввести в дело старую гвардию. Ней и Бертье, стоявшие подле Наполеона, переглянулись между собой и презрительно улыбнулись на бессмысленное предложение этого генерала.
Наполеон опустил голову и долго молчал.
– A huit cent lieux de France je ne ferai pas demolir ma garde, [За три тысячи двести верст от Франции я не могу дать разгромить свою гвардию.] – сказал он и, повернув лошадь, поехал назад, к Шевардину.


Кутузов сидел, понурив седую голову и опустившись тяжелым телом, на покрытой ковром лавке, на том самом месте, на котором утром его видел Пьер. Он не делал никаких распоряжении, а только соглашался или не соглашался на то, что предлагали ему.
«Да, да, сделайте это, – отвечал он на различные предложения. – Да, да, съезди, голубчик, посмотри, – обращался он то к тому, то к другому из приближенных; или: – Нет, не надо, лучше подождем», – говорил он. Он выслушивал привозимые ему донесения, отдавал приказания, когда это требовалось подчиненным; но, выслушивая донесения, он, казалось, не интересовался смыслом слов того, что ему говорили, а что то другое в выражении лиц, в тоне речи доносивших интересовало его. Долголетним военным опытом он знал и старческим умом понимал, что руководить сотнями тысяч человек, борющихся с смертью, нельзя одному человеку, и знал, что решают участь сраженья не распоряжения главнокомандующего, не место, на котором стоят войска, не количество пушек и убитых людей, а та неуловимая сила, называемая духом войска, и он следил за этой силой и руководил ею, насколько это было в его власти.
Общее выражение лица Кутузова было сосредоточенное, спокойное внимание и напряжение, едва превозмогавшее усталость слабого и старого тела.
В одиннадцать часов утра ему привезли известие о том, что занятые французами флеши были опять отбиты, но что князь Багратион ранен. Кутузов ахнул и покачал головой.
– Поезжай к князю Петру Ивановичу и подробно узнай, что и как, – сказал он одному из адъютантов и вслед за тем обратился к принцу Виртембергскому, стоявшему позади него:
– Не угодно ли будет вашему высочеству принять командование первой армией.
Вскоре после отъезда принца, так скоро, что он еще не мог доехать до Семеновского, адъютант принца вернулся от него и доложил светлейшему, что принц просит войск.
Кутузов поморщился и послал Дохтурову приказание принять командование первой армией, а принца, без которого, как он сказал, он не может обойтись в эти важные минуты, просил вернуться к себе. Когда привезено было известие о взятии в плен Мюрата и штабные поздравляли Кутузова, он улыбнулся.