Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства <math>M</math> (произвольной размерности) векторного или проективного пространства <math>L</math>. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю <math>\dim M=2</math> и <math>\dim L=4</math> для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть <math>M</math> — <math>m</math>-мерное подпространство <math>n</math>-мерного векторного пространства <math>L</math>. Для определения плюккеровых координат подпространства <math>M</math> выберем произвольный базис <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math> в <math>L</math> и произвольный базис <math>a_1,\;\ldots,\;a_m</math> в <math>M</math>. Каждый вектор <math>a_i</math> имеет в базисе <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math> координаты <math>(a_{i1},\;\ldots,\;a_{in})</math>, то есть <math>a_i=a_{i1}e_1+\ldots+a_{in}e_n</math>. Записывая координаты векторов <math>a_1,\;\ldots,\;a_m</math> в виде строк, получим матрицу

<math>A=\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix},</math> ранг которой равен <math>m</math>. Обозначим через <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> минор матрицы <math>A</math>, состоящий из столбцов с номерами <math>i_1,\;\ldots,\;i_m</math>, принимающими значения от <math>1</math> до <math>n</math>. Числа <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> не независимы: если набор индексов <math>(i_1,\;\ldots,\;i_m)</math> получен из <math>(j_1,\;\ldots,\;j_m)</math> с помощью перестановки <math>\sigma\in S_m</math>, то имеет место равенство <math>M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=\pm M_{j_1,\;\ldots,\;j_m}</math>, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка <math>\sigma</math> чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность <math>C_n^m</math> чисел <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> для всех упорядоченных наборов индексов <math>i_1<\ldots<i_m</math>, принимающих значения от <math>1</math> до <math>n</math>, называется плюккеровыми координатами подпространства <math>M</math>.

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве <math>M</math> выбран другой базис <math>a'_1,\;\ldots,\;a'_m</math>, то новый набор плюккеровых координат <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> будет иметь вид <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, где <math>c</math> — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями <math>a'_i=a'_{i1}a_1+\cdots+a'_{im}a_m</math>, и определитель матрицы <math>(a'_{ij})</math> отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем <math>p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, где <math>c=\det(a'_{ij})</math>.

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому <math>m</math>-мерному подпространству <math>M</math> набор его плюккеровых координат <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, мы сопоставляем <math>M</math> некоторую точку проективного пространства <math>P</math> размерности <math>C_n^m-1</math>. Построенное таким образом отображение <math>g</math> инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством <math>P</math>). Образ множества всех <math>m</math>-мерных подпространств <math>n</math>-мерного пространства при отображении <math>g</math> является <math>m(n-m)</math>-мерным проективным алгебраическим многообразием в <math>P</math>, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым <math>G(m,\;n)</math> или <math>\mathrm{Gr}_m(L)</math>.

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства <math>P</math> грассманиану <math>G(m,\;n)</math>, являются так называемые соотношения Плюккера:

<math>\sum_{r=1}^{m+1}(-1)^r p_{j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}k_r}\cdot p_{k_1,\;\ldots,\;\breve{k_r},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad\forall\,(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad\forall\,(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}),</math>

где все индексы в наборах <math>(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})</math> и <math>(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})</math> принимают значения от <math>1</math> до <math>n</math>, знак <math>\breve{}</math> обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности <math>(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})</math> выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору <math>(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})</math>, потом два получившихся числа <math>p_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}=M_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}</math> перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы <math>A</math>, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого <math>m</math>-мерного подпространства <math>M\subset L</math>. И обратно, если однородные координаты <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math>, <math>i_1<\ldots<i_m</math>, некоторой точки проективного пространства <math>P</math> удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении <math>g</math> соответствует некоторому подпространству <math>M\subset L</math>, то есть принадлежит <math>G(m,\;n)</math>.

На языке матриц это означает: если числа <math>p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}</math> удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае <math>n=4</math> и <math>m=2</math> имеем <math>C_4^2=6</math>, и следовательно, каждая плоскость <math>M</math> в 4-мерном векторном пространстве имеет <math>6</math> плюккеровых координат: <math>p_{12}</math>, <math>p_{13}</math>, <math>p_{14}</math>, <math>p_{23}</math>, <math>p_{24}</math>, <math>p_{34}</math>. Выбирая в плоскости <math>M</math> базис <math>a_1,\;a_2</math> таким образом, что <math>a_1=e_1</math> и <math>a_2=e_2</math>, получаем матрицу

<math>A=\begin{pmatrix}

1 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 1 & \gamma & \delta \\ \end{pmatrix},</math> откуда находим:

<math>p_{12}=1</math>, <math>p_{13}=\gamma</math>, <math>p_{14}=\delta</math>, <math>p_{23}=-\alpha</math>, <math>p_{24}=-\beta</math>, <math>p_{34}=\alpha\delta-\beta\gamma</math>.

Очевидно, что имеет место соотношение

<math>p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0</math>,

сохраняющееся при умножении всех <math>p_{i_1i_2}</math> на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику <math>G(2,\;4)</math> в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь Плюккеровы координаты названы Грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

Отрывок, характеризующий Плюккеровы координаты

– Ну, мой друг, завтра мы едем, наконец, – сказал он ему однажды, закрывая глаза, перебирая пальцами его локоть и таким тоном, как будто то, что он говорил, было давным давно решено между ними и не могло быть решено иначе.
– Завтра мы едем, я тебе даю место в своей коляске. Я очень рад. Здесь у нас всё важное покончено. А мне уж давно бы надо. Вот я получил от канцлера. Я его просил о тебе, и ты зачислен в дипломатический корпус и сделан камер юнкером. Теперь дипломатическая дорога тебе открыта.
Несмотря на всю силу тона усталости и уверенности, с которой произнесены были эти слова, Пьер, так долго думавший о своей карьере, хотел было возражать. Но князь Василий перебил его тем воркующим, басистым тоном, который исключал возможность перебить его речь и который употреблялся им в случае необходимости крайнего убеждения.
– Mais, mon cher, [Но, мой милый,] я это сделал для себя, для своей совести, и меня благодарить нечего. Никогда никто не жаловался, что его слишком любили; а потом, ты свободен, хоть завтра брось. Вот ты всё сам в Петербурге увидишь. И тебе давно пора удалиться от этих ужасных воспоминаний. – Князь Василий вздохнул. – Так так, моя душа. А мой камердинер пускай в твоей коляске едет. Ах да, я было и забыл, – прибавил еще князь Василий, – ты знаешь, mon cher, что у нас были счеты с покойным, так с рязанского я получил и оставлю: тебе не нужно. Мы с тобою сочтемся.
То, что князь Василий называл с «рязанского», было несколько тысяч оброка, которые князь Василий оставил у себя.
В Петербурге, так же как и в Москве, атмосфера нежных, любящих людей окружила Пьера. Он не мог отказаться от места или, скорее, звания (потому что он ничего не делал), которое доставил ему князь Василий, а знакомств, зовов и общественных занятий было столько, что Пьер еще больше, чем в Москве, испытывал чувство отуманенности, торопливости и всё наступающего, но не совершающегося какого то блага.
Из прежнего его холостого общества многих не было в Петербурге. Гвардия ушла в поход. Долохов был разжалован, Анатоль находился в армии, в провинции, князь Андрей был за границей, и потому Пьеру не удавалось ни проводить ночей, как он прежде любил проводить их, ни отводить изредка душу в дружеской беседе с старшим уважаемым другом. Всё время его проходило на обедах, балах и преимущественно у князя Василия – в обществе толстой княгини, его жены, и красавицы Элен.
Анна Павловна Шерер, так же как и другие, выказала Пьеру перемену, происшедшую в общественном взгляде на него.
Прежде Пьер в присутствии Анны Павловны постоянно чувствовал, что то, что он говорит, неприлично, бестактно, не то, что нужно; что речи его, кажущиеся ему умными, пока он готовит их в своем воображении, делаются глупыми, как скоро он громко выговорит, и что, напротив, самые тупые речи Ипполита выходят умными и милыми. Теперь всё, что ни говорил он, всё выходило charmant [очаровательно]. Ежели даже Анна Павловна не говорила этого, то он видел, что ей хотелось это сказать, и она только, в уважение его скромности, воздерживалась от этого.
В начале зимы с 1805 на 1806 год Пьер получил от Анны Павловны обычную розовую записку с приглашением, в котором было прибавлено: «Vous trouverez chez moi la belle Helene, qu'on ne se lasse jamais de voir». [у меня будет прекрасная Элен, на которую никогда не устанешь любоваться.]
Читая это место, Пьер в первый раз почувствовал, что между ним и Элен образовалась какая то связь, признаваемая другими людьми, и эта мысль в одно и то же время и испугала его, как будто на него накладывалось обязательство, которое он не мог сдержать, и вместе понравилась ему, как забавное предположение.
Вечер Анны Павловны был такой же, как и первый, только новинкой, которою угощала Анна Павловна своих гостей, был теперь не Мортемар, а дипломат, приехавший из Берлина и привезший самые свежие подробности о пребывании государя Александра в Потсдаме и о том, как два высочайшие друга поклялись там в неразрывном союзе отстаивать правое дело против врага человеческого рода. Пьер был принят Анной Павловной с оттенком грусти, относившейся, очевидно, к свежей потере, постигшей молодого человека, к смерти графа Безухого (все постоянно считали долгом уверять Пьера, что он очень огорчен кончиною отца, которого он почти не знал), – и грусти точно такой же, как и та высочайшая грусть, которая выражалась при упоминаниях об августейшей императрице Марии Феодоровне. Пьер почувствовал себя польщенным этим. Анна Павловна с своим обычным искусством устроила кружки своей гостиной. Большой кружок, где были князь Василий и генералы, пользовался дипломатом. Другой кружок был у чайного столика. Пьер хотел присоединиться к первому, но Анна Павловна, находившаяся в раздраженном состоянии полководца на поле битвы, когда приходят тысячи новых блестящих мыслей, которые едва успеваешь приводить в исполнение, Анна Павловна, увидев Пьера, тронула его пальцем за рукав.
– Attendez, j'ai des vues sur vous pour ce soir. [У меня есть на вас виды в этот вечер.] Она взглянула на Элен и улыбнулась ей. – Ma bonne Helene, il faut, que vous soyez charitable pour ma рauvre tante, qui a une adoration pour vous. Allez lui tenir compagnie pour 10 minutes. [Моя милая Элен, надо, чтобы вы были сострадательны к моей бедной тетке, которая питает к вам обожание. Побудьте с ней минут 10.] А чтоб вам не очень скучно было, вот вам милый граф, который не откажется за вами следовать.
Красавица направилась к тетушке, но Пьера Анна Павловна еще удержала подле себя, показывая вид, как будто ей надо сделать еще последнее необходимое распоряжение.
– Не правда ли, она восхитительна? – сказала она Пьеру, указывая на отплывающую величавую красавицу. – Et quelle tenue! [И как держит себя!] Для такой молодой девушки и такой такт, такое мастерское уменье держать себя! Это происходит от сердца! Счастлив будет тот, чьей она будет! С нею самый несветский муж будет невольно занимать самое блестящее место в свете. Не правда ли? Я только хотела знать ваше мнение, – и Анна Павловна отпустила Пьера.