Поворот

Поворо́т (враще́ние) — движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной.

Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства). Часто под термином вращение понимают собственное вращение.

Для двумерной плоскости можно дать другое, эквивалентное, определение вращения: вращение плоскости это движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

В физике (механике) нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот, вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

Связанные определения

Неподвижная точка называется центром вращения, неподвижная прямая называется осью вращения и т. д.

Несобственное вращение

Несобственное вращение (т.е. вращение, которое не сохраняет ориентацию) нельзя сделать малым (в смысле расстояния между каждой точкой и её образом), собственное — можно сделать сколь угодно малым для любой ограниченной области пространства (то есть можно подобрать для ограниченной области сколь угодно малое собственное вращение). Несобственное вращение является композицией некоторого зеркального отражения (на плоскости — осевой симметрии, в пространстве нечётной размерности — центральной) и собственного вращения.

Поворот в двумерном пространстве

В аналитической геометрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами:

<math>x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,</math>

<math>y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,</math>

где <math>\varphi</math> — угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат.
При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

<math>x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,</math>

<math>y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.</math>

В планиметрии поворот около точки [центра] <math>O</math> на угол поворота <math>\alpha</math> обозначается также <math> R^{\alpha}_{O} </math>, где <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ]. </math>
Поворот на угол <math>\beta' = \alpha + 2 \pi \cdot n ,</math> где <math>n \in \Z</math> и <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ] </math> отождествляется с поворотом <math> R^{\alpha}_{O} </math> (угол поворота на полный угол <math> 2 \pi ~ (360^\circ) </math> зачастую также называется оборотом).
Если углы поворотов <math>\alpha, \beta</math> и их сумма <math>\alpha + \beta</math> заключены в пределах от <math> - \pi </math> до <math> \pi ,</math> то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (см. также #Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)):

<math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha+\beta}_{O} ,</math>

причём композиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:

<math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha}_{O} \circ R^{\beta}_{O}.</math>

См. также Изометрия (математика)

Матричный вид

При использовании матричного подхода точку <math> (x, y) </math> записывают в виде вектора, затем умножают на матрицу:

<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>.

<math>(x ', y')</math> координаты точки, полученные вращением точки <math> (x , y)</math>.

Векторы <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> и <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> имеют одинаковую размерность.

Комплексный вид

Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка <math> (x, y) </math> на плоскости представлена комплексным числом <math>z = x + iy </math>.

Вращение точки на угол <math> \theta </math> можно осуществить умножением <math> e ^ {i \theta} </math>, используя формулу Эйлера

<math>\begin{align}

e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\

              &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\
              &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\
              &= x' + i y' ,

\end{align}</math>

что дает такой же результат,

<math>\begin{align}

x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}</math>

Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)

Пусть совершается вначале поворот вокруг точки <math>a</math> на угол <math>\alpha</math>, затем поворот вокруг точки <math>b</math> на угол <math>\beta</math>. И пусть точки <math>a</math> и <math>b</math> представлены в виде комплексных чисел вида <math>x + i y</math>. Положительным считается поворот против часовой стрелки. Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол <math> \gamma~= \alpha + \beta </math> вокруг точки <math>c</math>, которая вычисляется по формуле <math>c = a + (b-a) e^{i {\alpha'}}\frac {\sin \alpha'}{\sin \gamma'}</math>,

где <math>\alpha' = \frac \alpha 2</math>, а <math>\gamma' = \frac \gamma 2</math>

Если <math>\alpha + \beta = 0</math>, то композиция поворотов эквивалентна параллельному сдвигу плоскости на вектор <math>r = (b - a)(e^{i \alpha} - 1)</math>

Свойства

• Если репер привязан к центру вращения, то реализуется ортогональной матрицей.
  • Вращения трехмерного евклидова пространства (с фиксированным центром) образуют группу O(3) (собственные — группу SO(3)).
  • Вращения двумерного пространства (плоскости) образуют соответственно группы O(2) и SO(2) (изоморфную U(1)).

См. также

• Ортогональное преобразование
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа
• Группа вращений
• Матрица поворота
• Вращательное движение — процесс непрерывного поворота в механике.
• Угловая скорость

Отрывок, характеризующий Поворот

На другой день Ростов проводил Денисова, который не хотел более ни одного дня оставаться в Москве. Денисова провожали у цыган все его московские приятели, и он не помнил, как его уложили в сани и как везли первые три станции.
После отъезда Денисова, Ростов, дожидаясь денег, которые не вдруг мог собрать старый граф, провел еще две недели в Москве, не выезжая из дому, и преимущественно в комнате барышень.
Соня была к нему нежнее и преданнее чем прежде. Она, казалось, хотела показать ему, что его проигрыш был подвиг, за который она теперь еще больше любит его; но Николай теперь считал себя недостойным ее.
Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.
Торжковская торговка визгливым голосом предлагала свой товар и в особенности козловые туфли. «У меня сотни рублей, которых мне некуда деть, а она в прорванной шубе стоит и робко смотрит на меня, – думал Пьер. И зачем нужны эти деньги? Точно на один волос могут прибавить ей счастья, спокойствия души, эти деньги? Разве может что нибудь в мире сделать ее и меня менее подверженными злу и смерти? Смерть, которая всё кончит и которая должна притти нынче или завтра – всё равно через мгновение, в сравнении с вечностью». И он опять нажимал на ничего не захватывающий винт, и винт всё так же вертелся на одном и том же месте.
Слуга его подал ему разрезанную до половины книгу романа в письмах m mе Suza. [мадам Сюза.] Он стал читать о страданиях и добродетельной борьбе какой то Аmelie de Mansfeld. [Амалии Мансфельд.] «И зачем она боролась против своего соблазнителя, думал он, – когда она любила его? Не мог Бог вложить в ее душу стремления, противного Его воле. Моя бывшая жена не боролась и, может быть, она была права. Ничего не найдено, опять говорил себе Пьер, ничего не придумано. Знать мы можем только то, что ничего не знаем. И это высшая степень человеческой премудрости».
Всё в нем самом и вокруг него представлялось ему запутанным, бессмысленным и отвратительным. Но в этом самом отвращении ко всему окружающему Пьер находил своего рода раздражающее наслаждение.
– Осмелюсь просить ваше сиятельство потесниться крошечку, вот для них, – сказал смотритель, входя в комнату и вводя за собой другого, остановленного за недостатком лошадей проезжающего. Проезжающий был приземистый, ширококостый, желтый, морщинистый старик с седыми нависшими бровями над блестящими, неопределенного сероватого цвета, глазами.
Пьер снял ноги со стола, встал и перелег на приготовленную для него кровать, изредка поглядывая на вошедшего, который с угрюмо усталым видом, не глядя на Пьера, тяжело раздевался с помощью слуги. Оставшись в заношенном крытом нанкой тулупчике и в валеных сапогах на худых костлявых ногах, проезжий сел на диван, прислонив к спинке свою очень большую и широкую в висках, коротко обстриженную голову и взглянул на Безухого. Строгое, умное и проницательное выражение этого взгляда поразило Пьера. Ему захотелось заговорить с проезжающим, но когда он собрался обратиться к нему с вопросом о дороге, проезжающий уже закрыл глаза и сложив сморщенные старые руки, на пальце одной из которых был большой чугунный перстень с изображением Адамовой головы, неподвижно сидел, или отдыхая, или о чем то глубокомысленно и спокойно размышляя, как показалось Пьеру. Слуга проезжающего был весь покрытый морщинами, тоже желтый старичек, без усов и бороды, которые видимо не были сбриты, а никогда и не росли у него. Поворотливый старичек слуга разбирал погребец, приготовлял чайный стол, и принес кипящий самовар. Когда всё было готово, проезжающий открыл глаза, придвинулся к столу и налив себе один стакан чаю, налил другой безбородому старичку и подал ему. Пьер начинал чувствовать беспокойство и необходимость, и даже неизбежность вступления в разговор с этим проезжающим.