Поле Киллинга
Поделись знанием:
Вслед за отъездом Остермана у улан послышалась команда:
– В колонну, к атаке стройся! – Пехота впереди их вздвоила взводы, чтобы пропустить кавалерию. Уланы тронулись, колеблясь флюгерами пик, и на рысях пошли под гору на французскую кавалерию, показавшуюся под горой влево.
Как только уланы сошли под гору, гусарам ведено было подвинуться в гору, в прикрытие к батарее. В то время как гусары становились на место улан, из цепи пролетели, визжа и свистя, далекие, непопадавшие пули.
Давно не слышанный этот звук еще радостнее и возбудительное подействовал на Ростова, чем прежние звуки стрельбы. Он, выпрямившись, разглядывал поле сражения, открывавшееся с горы, и всей душой участвовал в движении улан. Уланы близко налетели на французских драгун, что то спуталось там в дыму, и через пять минут уланы понеслись назад не к тому месту, где они стояли, но левее. Между оранжевыми уланами на рыжих лошадях и позади их, большой кучей, видны были синие французские драгуны на серых лошадях.
Ростов своим зорким охотничьим глазом один из первых увидал этих синих французских драгун, преследующих наших улан. Ближе, ближе подвигались расстроенными толпами уланы, и французские драгуны, преследующие их. Уже можно было видеть, как эти, казавшиеся под горой маленькими, люди сталкивались, нагоняли друг друга и махали руками или саблями.
Ростов, как на травлю, смотрел на то, что делалось перед ним. Он чутьем чувствовал, что ежели ударить теперь с гусарами на французских драгун, они не устоят; но ежели ударить, то надо было сейчас, сию минуту, иначе будет уже поздно. Он оглянулся вокруг себя. Ротмистр, стоя подле него, точно так же не спускал глаз с кавалерии внизу.
– Андрей Севастьяныч, – сказал Ростов, – ведь мы их сомнем…
– Лихая бы штука, – сказал ротмистр, – а в самом деле…
Ростов, не дослушав его, толкнул лошадь, выскакал вперед эскадрона, и не успел он еще скомандовать движение, как весь эскадрон, испытывавший то же, что и он, тронулся за ним. Ростов сам не знал, как и почему он это сделал. Все это он сделал, как он делал на охоте, не думая, не соображая. Он видел, что драгуны близко, что они скачут, расстроены; он знал, что они не выдержат, он знал, что была только одна минута, которая не воротится, ежели он упустит ее. Пули так возбудительно визжали и свистели вокруг него, лошадь так горячо просилась вперед, что он не мог выдержать. Он тронул лошадь, скомандовал и в то же мгновение, услыхав за собой звук топота своего развернутого эскадрона, на полных рысях, стал спускаться к драгунам под гору. Едва они сошли под гору, как невольно их аллюр рыси перешел в галоп, становившийся все быстрее и быстрее по мере того, как они приближались к своим уланам и скакавшим за ними французским драгунам. Драгуны были близко. Передние, увидав гусар, стали поворачивать назад, задние приостанавливаться. С чувством, с которым он несся наперерез волку, Ростов, выпустив во весь мах своего донца, скакал наперерез расстроенным рядам французских драгун. Один улан остановился, один пеший припал к земле, чтобы его не раздавили, одна лошадь без седока замешалась с гусарами. Почти все французские драгуны скакали назад. Ростов, выбрав себе одного из них на серой лошади, пустился за ним. По дороге он налетел на куст; добрая лошадь перенесла его через него, и, едва справясь на седле, Николай увидал, что он через несколько мгновений догонит того неприятеля, которого он выбрал своей целью. Француз этот, вероятно, офицер – по его мундиру, согнувшись, скакал на своей серой лошади, саблей подгоняя ее. Через мгновенье лошадь Ростова ударила грудью в зад лошади офицера, чуть не сбила ее с ног, и в то же мгновенье Ростов, сам не зная зачем, поднял саблю и ударил ею по французу.
В то же мгновение, как он сделал это, все оживление Ростова вдруг исчезло. Офицер упал не столько от удара саблей, который только слегка разрезал ему руку выше локтя, сколько от толчка лошади и от страха. Ростов, сдержав лошадь, отыскивал глазами своего врага, чтобы увидать, кого он победил. Драгунский французский офицер одной ногой прыгал на земле, другой зацепился в стремени. Он, испуганно щурясь, как будто ожидая всякую секунду нового удара, сморщившись, с выражением ужаса взглянул снизу вверх на Ростова. Лицо его, бледное и забрызганное грязью, белокурое, молодое, с дырочкой на подбородке и светлыми голубыми глазами, было самое не для поля сражения, не вражеское лицо, а самое простое комнатное лицо. Еще прежде, чем Ростов решил, что он с ним будет делать, офицер закричал: «Je me rends!» [Сдаюсь!] Он, торопясь, хотел и не мог выпутать из стремени ногу и, не спуская испуганных голубых глаз, смотрел на Ростова. Подскочившие гусары выпростали ему ногу и посадили его на седло. Гусары с разных сторон возились с драгунами: один был ранен, но, с лицом в крови, не давал своей лошади; другой, обняв гусара, сидел на крупе его лошади; третий взлеаал, поддерживаемый гусаром, на его лошадь. Впереди бежала, стреляя, французская пехота. Гусары торопливо поскакали назад с своими пленными. Ростов скакал назад с другими, испытывая какое то неприятное чувство, сжимавшее ему сердце. Что то неясное, запутанное, чего он никак не мог объяснить себе, открылось ему взятием в плен этого офицера и тем ударом, который он нанес ему.
Граф Остерман Толстой встретил возвращавшихся гусар, подозвал Ростова, благодарил его и сказал, что он представит государю о его молодецком поступке и будет просить для него Георгиевский крест. Когда Ростова потребовали к графу Остерману, он, вспомнив о том, что атака его была начата без приказанья, был вполне убежден, что начальник требует его для того, чтобы наказать его за самовольный поступок. Поэтому лестные слова Остермана и обещание награды должны бы были тем радостнее поразить Ростова; но все то же неприятное, неясное чувство нравственно тошнило ему. «Да что бишь меня мучает? – спросил он себя, отъезжая от генерала. – Ильин? Нет, он цел. Осрамился я чем нибудь? Нет. Все не то! – Что то другое мучило его, как раскаяние. – Да, да, этот французский офицер с дырочкой. И я хорошо помню, как рука моя остановилась, когда я поднял ее».
По́ле Ки́ллинга[1] — векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия.
Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остается инвариантным.
В частности, если метрический тензор <math>g_{\mu\nu}</math> в некоторой системе не зависит от одной из координат <math>x^{\mu}</math>, тогда векторное поле вдоль этой координаты <math>\hat{e}_\mu(x) \equiv \partial_\mu</math> будет полем Киллинга.
Векторы Киллинга в физике указывают на симметрию физической модели и помогают найти сохраняющиеся величины, такие как энергия, импульс или спин. В теории относительности, например, если метрический тензор не зависит от времени, то в пространстве-времени существует времениподобный вектор Киллинга, с которым связана сохраняющаяся величина — энергия гравитационного поля.
Название дано в честь немецкого математика Вильгельма Киллинга, открывшего группы Ли и многие их свойства параллельно с Софусом Ли.
Определение
Векторное поле <math>X</math> на <math>M</math> называется полем Киллинга если оно удовлетворяет следующему уравнению:
- <math>\mathcal{L}_X g = 0,</math>
где <math>\mathcal{L}_X </math> — производная Ли по направлению <math>X</math>, a <math>g</math> — риманова метрика на <math>M</math>.
Это уравнение можно переписать через связность Леви-Чивиты:
- <math>g(\nabla_Y X, Z) + g(Y, \nabla_Z X) = 0</math>
для любых полей <math>Y</math> и <math>Z</math>.
В терминах локальных координат:
- <math>\nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0.</math>
Свойства
- Векторное поле <math>X</math> является полем Киллинга тогда и только тогда, когда сужение <math>X</math> на любую геодезическую является полем Якоби.
- Для задания поля Киллинга достаточно указать его значение, плюс значения всех его (ковариантных) производных первого порядка, всего в одной точке. Из этой точки векторное поле может быть продолжено на все многообразие.
- Скобка Ли, или коммутатор двух полей Киллинга дает опять поле Киллинга. Таким образом, поля Киллинга образуют подалгебру бесконечномерной алгебры Ли всех (дифференцируемых) векторных полей на многообразии. Эта подалгебра является алгеброй Ли группы движений многообразия.
- Линейная комбинация полей Киллинга тоже является полем Киллинга.
- Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле параллельного переноса вдоль оси y = поле вращений вокруг центра, смещенного относительно начала координат вдоль оси x:
Все три поля являются полями движений плоскости.
- Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле параллельного переноса вдоль оси y = поле вращений вокруг центра, смещенного относительно начала координат вдоль оси x:
- Если кривизна Риччи компактного многообразия отрицательна, то на нём нет нетривиальных (то есть не равных тождественно нулю) полей Киллинга .
- Если секционная кривизна компактного многообразия положительная и размерность чётная, то поле Киллинга должно иметь нуль.
Примеры
- На евклидовой плоскости существует три линейно независимых поля Киллинга
<math>\xi_1 = \mathbf{e}_x</math>, <math>\xi_2 = \mathbf{e}_y</math>, <math>\xi_3 = -x\mathbf{e}_y+y\mathbf{e}_x</math>
- Первые два поля Киллинга отвечают однопараметрическим подгруппам сдвигов вдоль осей <math>x</math> и <math>y</math>, а последнее — подгруппе вращений вокруг начала координат. Различные комбинации из этих трех подгрупп исчерпывают всевозможные движения плоскости.
- В трёхмерном евклидовом пространстве <math>\R^3</math> существует шесть линейно независимых полей Киллинга:
- <math>\xi_x = \mathbf{e}_x</math>, <math>\xi_y = \mathbf{e}_y</math>, <math>\xi_z = \mathbf{e}_z</math>
- <math>\zeta_x = -y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y</math>
- <math>\zeta_y = -z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z</math>
- <math>\zeta_z = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x</math>
- Последние три поля <math>\zeta_x</math>, <math>\zeta_y</math> и <math>\zeta_z</math> являются также полями Киллинга на сфере <math>\mathbf{S}^2</math> (это становится очевидным если рассматривать её погруженной в трехмерное пространство).
- Однолистный гиперболоид, задаваемый уравнением <math>x^2 + y^2 - z^2 = 1</math>, погруженный в пространство Минковского с метрикой <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 - dz^2</math>, имеет три линейно независимых поля Киллинга, подобных полям Киллинга на сфере:
- <math>\zeta_x = y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y</math>
- <math>\zeta_y = z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z</math>
- <math>\zeta_z = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x</math>
Вариации и обобщения
- Конформные поля Киллинга, определяются формулой
<math>\mathcal{L}_X g = \lambda g</math>
для некоторого скаляра <math>\lambda</math>. Они являются производными однопараметрических семейств конформных отображений. - Конформные тензорные поля Киллинга: симметричные тензорные поля <math>T</math>, такие что симметризация <math>\nabla T</math> равна нулю.
- Антисимметричное тензорное поле Киллинга — Яно, часто представляемое, как «корень квадратный из симметричного тензорного поля Киллинга». Симметрия, описываемая тензорами Киллинга и Киллинга — Яно, существует во вращающихся черных дырах Керра, а также некоторых их обобщениях. Наличие подобной симметрии объясняет, почему разделяются переменные в уравнениях движения классической и квантовой релятивистской механики: Гамильтона — Якоби, волновом, Клейна — Гордона, Дирака и др.[2]
- Тензорное поле Киллинга.
Напишите отзыв о статье "Поле Киллинга"
Примечания
- ↑ в теории относительности часто просто ве́ктор Ки́ллинга
- ↑ Алексей Борисович Гаина. Квантовые частицы в полях Эйнштейна — Максвелла/Кишинев. Штиинца. 1989.
Литература
- Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.: Наука, 1967
- Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия - М.: Изд-во иностр. лит., 1948
- Xелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства - М.: Мир, 1964
- Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии - М.: Наука, 1981
Отрывок, характеризующий Поле Киллинга
Гусары простояли около часу на одном месте. Началась и канонада. Граф Остерман с свитой проехал сзади эскадрона, остановившись, поговорил с командиром полка и отъехал к пушкам на гору.Вслед за отъездом Остермана у улан послышалась команда:
– В колонну, к атаке стройся! – Пехота впереди их вздвоила взводы, чтобы пропустить кавалерию. Уланы тронулись, колеблясь флюгерами пик, и на рысях пошли под гору на французскую кавалерию, показавшуюся под горой влево.
Как только уланы сошли под гору, гусарам ведено было подвинуться в гору, в прикрытие к батарее. В то время как гусары становились на место улан, из цепи пролетели, визжа и свистя, далекие, непопадавшие пули.
Давно не слышанный этот звук еще радостнее и возбудительное подействовал на Ростова, чем прежние звуки стрельбы. Он, выпрямившись, разглядывал поле сражения, открывавшееся с горы, и всей душой участвовал в движении улан. Уланы близко налетели на французских драгун, что то спуталось там в дыму, и через пять минут уланы понеслись назад не к тому месту, где они стояли, но левее. Между оранжевыми уланами на рыжих лошадях и позади их, большой кучей, видны были синие французские драгуны на серых лошадях.
Ростов своим зорким охотничьим глазом один из первых увидал этих синих французских драгун, преследующих наших улан. Ближе, ближе подвигались расстроенными толпами уланы, и французские драгуны, преследующие их. Уже можно было видеть, как эти, казавшиеся под горой маленькими, люди сталкивались, нагоняли друг друга и махали руками или саблями.
Ростов, как на травлю, смотрел на то, что делалось перед ним. Он чутьем чувствовал, что ежели ударить теперь с гусарами на французских драгун, они не устоят; но ежели ударить, то надо было сейчас, сию минуту, иначе будет уже поздно. Он оглянулся вокруг себя. Ротмистр, стоя подле него, точно так же не спускал глаз с кавалерии внизу.
– Андрей Севастьяныч, – сказал Ростов, – ведь мы их сомнем…
– Лихая бы штука, – сказал ротмистр, – а в самом деле…
Ростов, не дослушав его, толкнул лошадь, выскакал вперед эскадрона, и не успел он еще скомандовать движение, как весь эскадрон, испытывавший то же, что и он, тронулся за ним. Ростов сам не знал, как и почему он это сделал. Все это он сделал, как он делал на охоте, не думая, не соображая. Он видел, что драгуны близко, что они скачут, расстроены; он знал, что они не выдержат, он знал, что была только одна минута, которая не воротится, ежели он упустит ее. Пули так возбудительно визжали и свистели вокруг него, лошадь так горячо просилась вперед, что он не мог выдержать. Он тронул лошадь, скомандовал и в то же мгновение, услыхав за собой звук топота своего развернутого эскадрона, на полных рысях, стал спускаться к драгунам под гору. Едва они сошли под гору, как невольно их аллюр рыси перешел в галоп, становившийся все быстрее и быстрее по мере того, как они приближались к своим уланам и скакавшим за ними французским драгунам. Драгуны были близко. Передние, увидав гусар, стали поворачивать назад, задние приостанавливаться. С чувством, с которым он несся наперерез волку, Ростов, выпустив во весь мах своего донца, скакал наперерез расстроенным рядам французских драгун. Один улан остановился, один пеший припал к земле, чтобы его не раздавили, одна лошадь без седока замешалась с гусарами. Почти все французские драгуны скакали назад. Ростов, выбрав себе одного из них на серой лошади, пустился за ним. По дороге он налетел на куст; добрая лошадь перенесла его через него, и, едва справясь на седле, Николай увидал, что он через несколько мгновений догонит того неприятеля, которого он выбрал своей целью. Француз этот, вероятно, офицер – по его мундиру, согнувшись, скакал на своей серой лошади, саблей подгоняя ее. Через мгновенье лошадь Ростова ударила грудью в зад лошади офицера, чуть не сбила ее с ног, и в то же мгновенье Ростов, сам не зная зачем, поднял саблю и ударил ею по французу.
В то же мгновение, как он сделал это, все оживление Ростова вдруг исчезло. Офицер упал не столько от удара саблей, который только слегка разрезал ему руку выше локтя, сколько от толчка лошади и от страха. Ростов, сдержав лошадь, отыскивал глазами своего врага, чтобы увидать, кого он победил. Драгунский французский офицер одной ногой прыгал на земле, другой зацепился в стремени. Он, испуганно щурясь, как будто ожидая всякую секунду нового удара, сморщившись, с выражением ужаса взглянул снизу вверх на Ростова. Лицо его, бледное и забрызганное грязью, белокурое, молодое, с дырочкой на подбородке и светлыми голубыми глазами, было самое не для поля сражения, не вражеское лицо, а самое простое комнатное лицо. Еще прежде, чем Ростов решил, что он с ним будет делать, офицер закричал: «Je me rends!» [Сдаюсь!] Он, торопясь, хотел и не мог выпутать из стремени ногу и, не спуская испуганных голубых глаз, смотрел на Ростова. Подскочившие гусары выпростали ему ногу и посадили его на седло. Гусары с разных сторон возились с драгунами: один был ранен, но, с лицом в крови, не давал своей лошади; другой, обняв гусара, сидел на крупе его лошади; третий взлеаал, поддерживаемый гусаром, на его лошадь. Впереди бежала, стреляя, французская пехота. Гусары торопливо поскакали назад с своими пленными. Ростов скакал назад с другими, испытывая какое то неприятное чувство, сжимавшее ему сердце. Что то неясное, запутанное, чего он никак не мог объяснить себе, открылось ему взятием в плен этого офицера и тем ударом, который он нанес ему.
Граф Остерман Толстой встретил возвращавшихся гусар, подозвал Ростова, благодарил его и сказал, что он представит государю о его молодецком поступке и будет просить для него Георгиевский крест. Когда Ростова потребовали к графу Остерману, он, вспомнив о том, что атака его была начата без приказанья, был вполне убежден, что начальник требует его для того, чтобы наказать его за самовольный поступок. Поэтому лестные слова Остермана и обещание награды должны бы были тем радостнее поразить Ростова; но все то же неприятное, неясное чувство нравственно тошнило ему. «Да что бишь меня мучает? – спросил он себя, отъезжая от генерала. – Ильин? Нет, он цел. Осрамился я чем нибудь? Нет. Все не то! – Что то другое мучило его, как раскаяние. – Да, да, этот французский офицер с дырочкой. И я хорошо помню, как рука моя остановилась, когда я поднял ее».
