Многочлен

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Полином»)
Перейти к: навигация, поиск

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- – много + лат. nomen – имя) от <math>n</math> переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

<math>\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math>, где
  • <math>I=(i_1,i_2,\dots,i_n)</math> — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  • <math>c_I</math> — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

<math>c_0 + c_1x^1 + \dots + c_mx^m</math>, где

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.





Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения

  • Многочлен вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> называется одночленом или мономом мультииндекса <math>I=(i_1,\dots,\,i_n)</math>.
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу <math>I=(0,\dots,\,0)</math> называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена <math>c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> называется целое число <math>|I|=i_1+i_2+\dots+i_n</math>.
  • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты <math>c_I</math> ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением <math>-\infty</math>.
  • Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
  • Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца <math>R</math> (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом <math>R</math> без делителей нуля) которое обозначается <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n].</math>

Полиномиальные функции

Пусть <math>A</math> есть алгебра над кольцом <math>R</math>. Произвольный многочлен <math>p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> определяет полиномиальную функцию

<math>p_R:A\to A</math>.

Чаще всего рассматривают случай <math>A=R</math>.

В случае, если <math>R</math> есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция <math>f_p:R^n\to R</math> полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены <math>p_1(x)\equiv x</math> и <math>p_2(x)\equiv x^2</math> из <math>\Z_2[x]</math> определяют тождественно равные функции <math>\Z_2\to\Z_2</math>.

Виды многочленов

  • Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым[en]*, если его старший коэффициент равен единице.
  • Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
    • Например <math>x^2+xy+y^2</math> — однородный многочлен двух переменных, а <math>x^2+y+1</math> не является однородным.
  • Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение мнгогочленов <math>pq</math> делится на неприводимый многочлен <math>\lambda</math>, то p или q делится на <math>\lambda</math>. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен <math>x^4-2</math>, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного <math>x</math> разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого <math>n>2</math> существуют многочлены от <math>n</math> переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

См. также

Напишите отзыв о статье "Многочлен"

Литература

  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
  • Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
  • Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
  • Прасолов В. В. [www.mccme.ru/prasolov/ Многочлены]. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
  • Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки


Отрывок, характеризующий Многочлен



На Пьера опять нашла та тоска, которой он так боялся. Он три дня после произнесения своей речи в ложе лежал дома на диване, никого не принимая и никуда не выезжая.
В это время он получил письмо от жены, которая умоляла его о свидании, писала о своей грусти по нем и о желании посвятить ему всю свою жизнь.
В конце письма она извещала его, что на днях приедет в Петербург из за границы.
Вслед за письмом в уединение Пьера ворвался один из менее других уважаемых им братьев масонов и, наведя разговор на супружеские отношения Пьера, в виде братского совета, высказал ему мысль о том, что строгость его к жене несправедлива, и что Пьер отступает от первых правил масона, не прощая кающуюся.
В это же самое время теща его, жена князя Василья, присылала за ним, умоляя его хоть на несколько минут посетить ее для переговоров о весьма важном деле. Пьер видел, что был заговор против него, что его хотели соединить с женою, и это было даже не неприятно ему в том состоянии, в котором он находился. Ему было всё равно: Пьер ничто в жизни не считал делом большой важности, и под влиянием тоски, которая теперь овладела им, он не дорожил ни своею свободою, ни своим упорством в наказании жены.
«Никто не прав, никто не виноват, стало быть и она не виновата», думал он. – Ежели Пьер не изъявил тотчас же согласия на соединение с женою, то только потому, что в состоянии тоски, в котором он находился, он не был в силах ничего предпринять. Ежели бы жена приехала к нему, он бы теперь не прогнал ее. Разве не всё равно было в сравнении с тем, что занимало Пьера, жить или не жить с женою?
Не отвечая ничего ни жене, ни теще, Пьер раз поздним вечером собрался в дорогу и уехал в Москву, чтобы повидаться с Иосифом Алексеевичем. Вот что писал Пьер в дневнике своем.
«Москва, 17 го ноября.
Сейчас только приехал от благодетеля, и спешу записать всё, что я испытал при этом. Иосиф Алексеевич живет бедно и страдает третий год мучительною болезнью пузыря. Никто никогда не слыхал от него стона, или слова ропота. С утра и до поздней ночи, за исключением часов, в которые он кушает самую простую пищу, он работает над наукой. Он принял меня милостиво и посадил на кровати, на которой он лежал; я сделал ему знак рыцарей Востока и Иерусалима, он ответил мне тем же, и с кроткой улыбкой спросил меня о том, что я узнал и приобрел в прусских и шотландских ложах. Я рассказал ему всё, как умел, передав те основания, которые я предлагал в нашей петербургской ложе и сообщил о дурном приеме, сделанном мне, и о разрыве, происшедшем между мною и братьями. Иосиф Алексеевич, изрядно помолчав и подумав, на всё это изложил мне свой взгляд, который мгновенно осветил мне всё прошедшее и весь будущий путь, предлежащий мне. Он удивил меня, спросив о том, помню ли я, в чем состоит троякая цель ордена: 1) в хранении и познании таинства; 2) в очищении и исправлении себя для воспринятия оного и 3) в исправлении рода человеческого чрез стремление к таковому очищению. Какая есть главнейшая и первая цель из этих трех? Конечно собственное исправление и очищение. Только к этой цели мы можем всегда стремиться независимо от всех обстоятельств. Но вместе с тем эта то цель и требует от нас наиболее трудов, и потому, заблуждаясь гордостью, мы, упуская эту цель, беремся либо за таинство, которое недостойны воспринять по нечистоте своей, либо беремся за исправление рода человеческого, когда сами из себя являем пример мерзости и разврата. Иллюминатство не есть чистое учение именно потому, что оно увлеклось общественной деятельностью и преисполнено гордости. На этом основании Иосиф Алексеевич осудил мою речь и всю мою деятельность. Я согласился с ним в глубине души своей. По случаю разговора нашего о моих семейных делах, он сказал мне: – Главная обязанность истинного масона, как я сказал вам, состоит в совершенствовании самого себя. Но часто мы думаем, что, удалив от себя все трудности нашей жизни, мы скорее достигнем этой цели; напротив, государь мой, сказал он мне, только в среде светских волнений можем мы достигнуть трех главных целей: 1) самопознания, ибо человек может познавать себя только через сравнение, 2) совершенствования, только борьбой достигается оно, и 3) достигнуть главной добродетели – любви к смерти. Только превратности жизни могут показать нам тщету ее и могут содействовать – нашей врожденной любви к смерти или возрождению к новой жизни. Слова эти тем более замечательны, что Иосиф Алексеевич, несмотря на свои тяжкие физические страдания, никогда не тяготится жизнию, а любит смерть, к которой он, несмотря на всю чистоту и высоту своего внутреннего человека, не чувствует еще себя достаточно готовым. Потом благодетель объяснил мне вполне значение великого квадрата мироздания и указал на то, что тройственное и седьмое число суть основание всего. Он советовал мне не отстраняться от общения с петербургскими братьями и, занимая в ложе только должности 2 го градуса, стараться, отвлекая братьев от увлечений гордости, обращать их на истинный путь самопознания и совершенствования. Кроме того для себя лично советовал мне первее всего следить за самим собою, и с этою целью дал мне тетрадь, ту самую, в которой я пишу и буду вписывать впредь все свои поступки».
«Петербург, 23 го ноября.
«Я опять живу с женой. Теща моя в слезах приехала ко мне и сказала, что Элен здесь и что она умоляет меня выслушать ее, что она невинна, что она несчастна моим оставлением, и многое другое. Я знал, что ежели я только допущу себя увидать ее, то не в силах буду более отказать ей в ее желании. В сомнении своем я не знал, к чьей помощи и совету прибегнуть. Ежели бы благодетель был здесь, он бы сказал мне. Я удалился к себе, перечел письма Иосифа Алексеевича, вспомнил свои беседы с ним, и из всего вывел то, что я не должен отказывать просящему и должен подать руку помощи всякому, тем более человеку столь связанному со мною, и должен нести крест свой. Но ежели я для добродетели простил ее, то пускай и будет мое соединение с нею иметь одну духовную цель. Так я решил и так написал Иосифу Алексеевичу. Я сказал жене, что прошу ее забыть всё старое, прошу простить мне то, в чем я мог быть виноват перед нею, а что мне прощать ей нечего. Мне радостно было сказать ей это. Пусть она не знает, как тяжело мне было вновь увидать ее. Устроился в большом доме в верхних покоях и испытываю счастливое чувство обновления».


Как и всегда, и тогда высшее общество, соединяясь вместе при дворе и на больших балах, подразделялось на несколько кружков, имеющих каждый свой оттенок. В числе их самый обширный был кружок французский, Наполеоновского союза – графа Румянцева и Caulaincourt'a. В этом кружке одно из самых видных мест заняла Элен, как только она с мужем поселилась в Петербурге. У нее бывали господа французского посольства и большое количество людей, известных своим умом и любезностью, принадлежавших к этому направлению.
Элен была в Эрфурте во время знаменитого свидания императоров, и оттуда привезла эти связи со всеми Наполеоновскими достопримечательностями Европы. В Эрфурте она имела блестящий успех. Сам Наполеон, заметив ее в театре, сказал про нее: «C'est un superbe animal». [Это прекрасное животное.] Успех ее в качестве красивой и элегантной женщины не удивлял Пьера, потому что с годами она сделалась еще красивее, чем прежде. Но удивляло его то, что за эти два года жена его успела приобрести себе репутацию