Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

<math>P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,</math>

где <math>P</math> — многочлен от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена <math>P</math> обычно берутся из некоторого поля <math>{F}</math>, и тогда уравнение <math>P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0</math> называется алгебраическим уравнением над полем <math>{F}</math>.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена <math>P</math>.

Например, уравнение

<math>y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + \sqrt{3} x^2 - \sin{1} = 0</math>

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0,</math> где <math>n</math> — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: <math>ax + b = 0, \quad a \ne 0.</math>
  • от нескольких переменных: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0.</math>
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: <math>ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.</math>
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: <math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.</math>
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: <math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.</math>
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = 0, \quad a \neq 0.</math>
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: <math>ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0, \quad a \neq 0.</math>
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: <math>a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... +a_{1}x + a_0 = 0,</math> коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если <math>a_{n - k} = a_k,</math>, при <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>.

См. также

• Алгебраическая функция
• Основная теорема алгебры
• Ряд Пюизё
• Трансцендентное уравнение

Ссылки

• [mathworld.wolfram.com/AlgebraicEquation.html Algebraic Equation] на MathWorld (англ.)

Отрывок, характеризующий Алгебраическое уравнение

– Мне никого не нужно, я никого не люблю, кроме его. Как ты смеешь говорить, что он неблагороден? Ты разве не знаешь, что я его люблю? – кричала Наташа. – Соня, уйди, я не хочу с тобой ссориться, уйди, ради Бога уйди: ты видишь, как я мучаюсь, – злобно кричала Наташа сдержанно раздраженным и отчаянным голосом. Соня разрыдалась и выбежала из комнаты.
Наташа подошла к столу и, не думав ни минуты, написала тот ответ княжне Марье, который она не могла написать целое утро. В письме этом она коротко писала княжне Марье, что все недоразуменья их кончены, что, пользуясь великодушием князя Андрея, который уезжая дал ей свободу, она просит ее забыть всё и простить ее ежели она перед нею виновата, но что она не может быть его женой. Всё это ей казалось так легко, просто и ясно в эту минуту.

В пятницу Ростовы должны были ехать в деревню, а граф в среду поехал с покупщиком в свою подмосковную.
В день отъезда графа, Соня с Наташей были званы на большой обед к Карагиным, и Марья Дмитриевна повезла их. На обеде этом Наташа опять встретилась с Анатолем, и Соня заметила, что Наташа говорила с ним что то, желая не быть услышанной, и всё время обеда была еще более взволнована, чем прежде. Когда они вернулись домой, Наташа начала первая с Соней то объяснение, которого ждала ее подруга.
– Вот ты, Соня, говорила разные глупости про него, – начала Наташа кротким голосом, тем голосом, которым говорят дети, когда хотят, чтобы их похвалили. – Мы объяснились с ним нынче.
– Ну, что же, что? Ну что ж он сказал? Наташа, как я рада, что ты не сердишься на меня. Говори мне всё, всю правду. Что же он сказал?
Наташа задумалась.
– Ах Соня, если бы ты знала его так, как я! Он сказал… Он спрашивал меня о том, как я обещала Болконскому. Он обрадовался, что от меня зависит отказать ему.
Соня грустно вздохнула.
– Но ведь ты не отказала Болконскому, – сказала она.
– А может быть я и отказала! Может быть с Болконским всё кончено. Почему ты думаешь про меня так дурно?