Функция Гамильтона

Эта статья включает описание термина «полная энергия»

Функция Гамильтона, или Гамильтониан — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

<math>H(p,q)</math>

или

<math>H(p,q,t)</math>

где <math>p = (p_1, p_2, ..., p_n)</math> — полный набор обобщенных импульсов, описывающий данную систему (n — число степеней свободы),

<math>q = (q_1, q_2, ..., q_n)</math> — полный набор обобщенных координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан или оператор Гамильтона, определяющий временну́ю эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является её обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона — участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

<math>H=\vec p \cdot \dot{\vec q} - L</math>

где <math>\vec p</math> — обобщённый импульс частицы, а <math>\dot {\vec q}</math> — её обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) <math>\omega</math> через волновой вектор <math>\mathbf k</math> для каждой точки <math>\mathbf x</math> пространства:

<math>\omega = H(\mathbf k,\mathbf x).</math>

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от <math>\mathbf x</math>) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых <math>(\dot q_i = \partial H/ \partial p_i)</math> интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие <math>(\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i)</math> вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Литература

• Механика, том 1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Под ред. Л. П. Питаевского. 4-е изд., 224 с., 2007, 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5

Отрывок, характеризующий Функция Гамильтона

– Я думаю… – сказал Пьер. – Ему нечего прощать… Ежели бы я был на его месте… – По связи воспоминаний, Пьер мгновенно перенесся воображением к тому времени, когда он, утешая ее, сказал ей, что ежели бы он был не он, а лучший человек в мире и свободен, то он на коленях просил бы ее руки, и то же чувство жалости, нежности, любви охватило его, и те же слова были у него на устах. Но она не дала ему времени сказать их.
– Да вы – вы, – сказала она, с восторгом произнося это слово вы, – другое дело. Добрее, великодушнее, лучше вас я не знаю человека, и не может быть. Ежели бы вас не было тогда, да и теперь, я не знаю, что бы было со мною, потому что… – Слезы вдруг полились ей в глаза; она повернулась, подняла ноты к глазам, запела и пошла опять ходить по зале.
В это же время из гостиной выбежал Петя.
Петя был теперь красивый, румяный пятнадцатилетний мальчик с толстыми, красными губами, похожий на Наташу. Он готовился в университет, но в последнее время, с товарищем своим Оболенским, тайно решил, что пойдет в гусары.
Петя выскочил к своему тезке, чтобы переговорить о деле.
Он просил его узнать, примут ли его в гусары.
Пьер шел по гостиной, не слушая Петю.
Петя дернул его за руку, чтоб обратить на себя его вниманье.
– Ну что мое дело, Петр Кирилыч. Ради бога! Одна надежда на вас, – говорил Петя.
– Ах да, твое дело. В гусары то? Скажу, скажу. Нынче скажу все.
– Ну что, mon cher, ну что, достали манифест? – спросил старый граф. – А графинюшка была у обедни у Разумовских, молитву новую слышала. Очень хорошая, говорит.
– Достал, – отвечал Пьер. – Завтра государь будет… Необычайное дворянское собрание и, говорят, по десяти с тысячи набор. Да, поздравляю вас.
– Да, да, слава богу. Ну, а из армии что?
– Наши опять отступили. Под Смоленском уже, говорят, – отвечал Пьер.
– Боже мой, боже мой! – сказал граф. – Где же манифест?
– Воззвание! Ах, да! – Пьер стал в карманах искать бумаг и не мог найти их. Продолжая охлопывать карманы, он поцеловал руку у вошедшей графини и беспокойно оглядывался, очевидно, ожидая Наташу, которая не пела больше, но и не приходила в гостиную.
– Ей богу, не знаю, куда я его дел, – сказал он.
– Ну уж, вечно растеряет все, – сказала графиня. Наташа вошла с размягченным, взволнованным лицом и села, молча глядя на Пьера. Как только она вошла в комнату, лицо Пьера, до этого пасмурное, просияло, и он, продолжая отыскивать бумаги, несколько раз взглядывал на нее.
– Ей богу, я съезжу, я дома забыл. Непременно…
– Ну, к обеду опоздаете.
– Ах, и кучер уехал.
Но Соня, пошедшая в переднюю искать бумаги, нашла их в шляпе Пьера, куда он их старательно заложил за подкладку. Пьер было хотел читать.
– Нет, после обеда, – сказал старый граф, видимо, в этом чтении предвидевший большое удовольствие.
За обедом, за которым пили шампанское за здоровье нового Георгиевского кавалера, Шиншин рассказывал городские новости о болезни старой грузинской княгини, о том, что Метивье исчез из Москвы, и о том, что к Растопчину привели какого то немца и объявили ему, что это шампиньон (так рассказывал сам граф Растопчин), и как граф Растопчин велел шампиньона отпустить, сказав народу, что это не шампиньон, а просто старый гриб немец.
– Хватают, хватают, – сказал граф, – я графине и то говорю, чтобы поменьше говорила по французски. Теперь не время.
– А слышали? – сказал Шиншин. – Князь Голицын русского учителя взял, по русски учится – il commence a devenir dangereux de parler francais dans les rues. [становится опасным говорить по французски на улицах.]