Полуинвариант

Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд МакЛорена.

Определение

Через характеристическую функцию

Полуинварианты, в отличие от моментов, не могут быть определены напрямую через функцию распределения p(x). Их определяют либо через логарифм характеристической функции G(u), либо через моменты μ (второе определение, на самом деле, вытекает из первого). Формально, полуинварианты определяются как коэффициенты в разложении в ряд МакЛорена логарифма характеристической функции аналогично тому, как определяются моменты для самой характеристической функции:

<math>\ln G(u) \, = \, iu\kappa_1 + \frac{(iu)^2}{2!}\kappa_2 + \ldots +\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n + \ldots = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n</math>

Единственное отличие состоит в том, что первый член этого ряда полагается равным 0, а не 1 как в случае моментов. Таким образом, логарифм характеристической функции является производящей функцией для полуинвариантов, его иногда называют второй характеристической функцей и обозначают:

<math>\varphi(u)\,\equiv\,\ln G(u).</math>

Интерес к этой функции обусловлен тем, что она аддитивна для независимых случайных величин, то есть для суммы таких величин она равна сумме соответстующих функций для каждой величины:

<math>\ln G(a+b) = \ln G(a)+\ln G(b).</math>

Это с очевидностью следует из того факта, что характеристическая функция мультипликативна по независимым случайным величинам (равна произведению соответствующих функций). Это же свойство, как следствие, присуще полуинвариантам: в частности, поскольку первым и вторым полуинвариантом случайной величины служат её математическое ожидание и дисперсия, то для суммы независимых случайных величин они соответственно равны сумме математических ожиданий или дисперсий самих величин. (Это верно и для третьего центральнного момента, который поэтому совпадает с третьим полуинвариантом. Для четвёртых и более высоких центрированных моментов это равенство уже не выполняется.) Указанное свойство упрощает работу с кумулянтами, так как для них, в отличие от моментов распределения суммы независимых случайных величин, имеющих достаточно громоздкое выражение через моменты самих величин, выражение через полуинвариатны слагаемых весьма просто.

Из определения ряда МакЛорена полуинвариант порядка n определяется как:

<math>\kappa_n \,=\, (-i)^n \left.\frac{\,\partial^n\varphi}{\,\partial u^n}\right|_{u=0}.</math>

В частности, для первого полуинварианта имеем:

<math>\kappa_1 \,=\, -i \left.\frac{\,\partial\varphi}{\,\partial u}\right|_{u=0}\,=\,-i \left.\frac{G'_u}{\,G(u)}\right|_{u=0}.</math>

Через моменты

Выведем теперь альтернативное определение полуинварианта через моменты. Разлагая характеристическую функцию G(u) в ряд МакЛорена через моменты, можно переписать первую формулу в следующем виде:

<math>\ln \left\{1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \mu_n \right\} \, = \,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n</math>

Разлагая и логарифм в ряд МакЛорена и предполагая, что условия на его радиус сходимости выполняются, мы получим:

<math>\sum\limits_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{\displaystyle\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \mu_n \right)^{\!\!m} }{m} \,=\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n</math>

Приравнивая коэффициенты при равных степенях iu в суммах слева и справа, получаем:

<math>\begin{cases}

\kappa_1=\mu_1 \\[1mm] \kappa_2=-\mu^2_1+\mu_2 \\[1mm] \kappa_3=2\mu^3_1-3\mu_1\mu_2 +\mu_3 \\[1mm] \;\ldots \end{cases}</math>

Интересный метод основанный на производной для более простого отыскания этих взаимоотношений, а также эти выражения для более высоких порядков описаны у Кендалла. Он также даёт общую формулу для отысканий моментов через полуинварианты и обратно, эта же формула встречается и у Ширяева. Кстати, эту общую формулу в некоторой литературе так и называют формулой Ширяева—Леонтьева, хотя по всей видимости они не были первыми, кто её вывели.

История

Полуинварианты были введены датским астрономом и математиком Торвальдом Николаем Тиле в 1889 году (по другим данным в 1903 году). В русском языке также используется название семиинварианты (от латинского semi-, что означает полу-, половина). Тиле назвал эти статистические величины полуинвариантами (semi-invariant), и до 1930-х годов их так и называли, пока английский статистик Фишер не предложил название кумулянты (англ. cumulants), ввиду их кумулятивных свойств, и со временем именно это название и закрепилось в литературе. Тем не менее, в русскоязычной литературе предпочтение всегда отдавалось оригинальному названию, например, Ширяев использует только лишь оригинальное латинское название. Для обозначения полуинвариант почти всегда используется греческая буква κ, хотя, например, Ширяев использует ξ.

Несмотря на то, что введены полуинварианты были давно, им уделяли очень мало внимания; только лишь в конце 1930-х годов Фишер впервые провёл систематическое исследование полуинвариантов.

На сегодняшний день, полуинварианты прочно вошли в мир современной статистики и её приложений. В частности, они очень широко используются в области обработки сигналов, что связано с некоторыми их полезными свойствами: например, все полуинварианты третьего и более высоких порядков равны нулю для нормальных процессов, а смешанные полуинварианты всех порядков статистически независимых величин равны нулю. Используя понятие полуинвариантов, можно ввести более общее понятие статистической независимости двух величин до n-ого порядка, подразумевая под этим то, что все смешанные полуинварианты порядка до n (включительно) равны нулю.

Отрывок, характеризующий Полуинвариант

– Запишите, это нехорошо. Очень нехорошо, – строго сказал ему генерал с белыми усами и красным, румяным лицом.
На четвертый день пожары начались на Зубовском валу.
Пьера с тринадцатью другими отвели на Крымский Брод, в каретный сарай купеческого дома. Проходя по улицам, Пьер задыхался от дыма, который, казалось, стоял над всем городом. С разных сторон виднелись пожары. Пьер тогда еще не понимал значения сожженной Москвы и с ужасом смотрел на эти пожары.
В каретном сарае одного дома у Крымского Брода Пьер пробыл еще четыре дня и во время этих дней из разговора французских солдат узнал, что все содержащиеся здесь ожидали с каждым днем решения маршала. Какого маршала, Пьер не мог узнать от солдат. Для солдата, очевидно, маршал представлялся высшим и несколько таинственным звеном власти.
Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n'avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.
Очевидно, русское гнездо было разорено и уничтожено; но за уничтожением этого русского порядка жизни Пьер бессознательно чувствовал, что над этим разоренным гнездом установился свой, совсем другой, но твердый французский порядок. Он чувствовал это по виду тех, бодро и весело, правильными рядами шедших солдат, которые конвоировали его с другими преступниками; он чувствовал это по виду какого то важного французского чиновника в парной коляске, управляемой солдатом, проехавшего ему навстречу. Он это чувствовал по веселым звукам полковой музыки, доносившимся с левой стороны поля, и в особенности он чувствовал и понимал это по тому списку, который, перекликая пленных, прочел нынче утром приезжавший французский офицер. Пьер был взят одними солдатами, отведен в одно, в другое место с десятками других людей; казалось, они могли бы забыть про него, смешать его с другими. Но нет: ответы его, данные на допросе, вернулись к нему в форме наименования его: celui qui n'avoue pas son nom. И под этим названием, которое страшно было Пьеру, его теперь вели куда то, с несомненной уверенностью, написанною на их лицах, что все остальные пленные и он были те самые, которых нужно, и что их ведут туда, куда нужно. Пьер чувствовал себя ничтожной щепкой, попавшей в колеса неизвестной ему, но правильно действующей машины.
Пьера с другими преступниками привели на правую сторону Девичьего поля, недалеко от монастыря, к большому белому дому с огромным садом. Это был дом князя Щербатова, в котором Пьер часто прежде бывал у хозяина и в котором теперь, как он узнал из разговора солдат, стоял маршал, герцог Экмюльский.
Их подвели к крыльцу и по одному стали вводить в дом. Пьера ввели шестым. Через стеклянную галерею, сени, переднюю, знакомые Пьеру, его ввели в длинный низкий кабинет, у дверей которого стоял адъютант.
Даву сидел на конце комнаты над столом, с очками на носу. Пьер близко подошел к нему. Даву, не поднимая глаз, видимо справлялся с какой то бумагой, лежавшей перед ним. Не поднимая же глаз, он тихо спросил:
– Qui etes vous? [Кто вы такой?]
Пьер молчал оттого, что не в силах был выговорить слова. Даву для Пьера не был просто французский генерал; для Пьера Даву был известный своей жестокостью человек. Глядя на холодное лицо Даву, который, как строгий учитель, соглашался до времени иметь терпение и ждать ответа, Пьер чувствовал, что всякая секунда промедления могла стоить ему жизни; но он не знал, что сказать. Сказать то же, что он говорил на первом допросе, он не решался; открыть свое звание и положение было и опасно и стыдно. Пьер молчал. Но прежде чем Пьер успел на что нибудь решиться, Даву приподнял голову, приподнял очки на лоб, прищурил глаза и пристально посмотрел на Пьера.