Полярная система координат

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается <math>r</math>) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается <math>\varphi</math>, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Графическое представление

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются <math>r</math> (радиальная координата, угловое расстояние, встречается вариант <math>\rho</math>) и <math>\varphi</math> (угловая координата, полярный угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут <math>\theta</math> или <math>t</math>). Координата <math>r</math> соответствует расстоянию до полюса, а координата <math>\varphi</math> равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью).

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения <math>r\geqslant 0</math>. Полярный угол <math>\varphi</math> определен для любой точки плоскости, за исключением полюса <math>O</math>, и принимает значения <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi</math>. Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

• в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
• в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Например, точка с координатами <math>(3,\;60^\circ)</math> будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами <math>(3,\;-300^\circ)</math> будет нарисована на том же месте.

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка <math>(r,\;\varphi)</math> может быть представлена в виде <math>(r,\;\varphi\pm n\times 360^\circ)</math> или <math>(-r,\;\varphi\pm(2n+1)\times 180^\circ)</math>, где <math>n</math> — произвольное целое число.

Для обозначения полюса используют координаты <math>(0,\;\varphi)</math>. Независимо от координаты <math>\varphi</math> точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений <math>r\geqslant 0</math>, а угол <math>\varphi</math> к интервалу <math>[0,\;360^\circ)</math> или <math>(-180^\circ,\;180^\circ]</math> (в радианах <math>[0,\;2\pi)</math> или <math>(-\pi,\;\pi]</math>).

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом <math>2\pi\;\mathrm{RAD}=360^\circ</math>. Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики и почти во всех разделах математики используют радианы.

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат <math>r</math> и <math>\varphi</math> можно перевести в Декартовы координаты <math>x</math> и <math>y</math> путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

<math>x=r\cos\varphi,</math>

<math>y=r\sin\varphi,</math>

в то время как две декартовы координаты <math>x</math> и <math>y</math> могут быть переведены в полярную координату <math>r</math>:

<math>r^2=y^2+x^2</math> (по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты <math>\varphi</math> следует принять во внимание два следующих соображения:

• Для <math>{r\equiv0}</math>, <math>\varphi</math> может быть произвольным действительным числом.
• Для <math>r\ne0</math>, чтобы получить уникальное значение <math>\varphi</math>, следует ограничиться интервалом в <math>2\pi</math>. Обычно выбирают интервал <math>[0,\;2\pi)</math> или <math>(-\pi,\;\pi]</math>.

Для вычисления <math>\varphi</math> в интервале <math>[0,\;2\pi)</math>, можно воспользоваться такими уравнениями (<math>\mathrm{arctg}</math> обозначает обратную функцию к тангенсу):

<math>\theta =

\begin{cases} \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}), & x > 0, y \ge 0\\ \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + 2\pi, & x > 0, y < 0 \\ \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi, & x < 0\\ \frac{\pi}{2}, & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2}, & x = 0, y < 0\\ - & x = 0, y = 0 \end{cases}</math> Для вычисления <math>\varphi</math> в интервале <math>(-\pi,\;\pi]</math>, можно воспользоваться такими уравнениями:

<math>\theta =

\begin{cases} \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}), & x > 0\\ \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi, & x < 0 , y \ge 0\\ \operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) - \pi, & x < 0, y < 0\\ \frac{\pi}{2}, & x = 0, y > 0\\ -\frac{\pi}{2}, & x = 0, y < 0\\ - & x = 0, y = 0 \end{cases}</math> Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение <math>y</math> к <math>x</math>, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты <math>x</math>.

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Общее уравнение окружности с центром в (<math>r_0,\;\theta</math>) и радиусом <math>a</math> имеет вид:

<math>r^2-2rr_0\cos(\varphi-\theta)+r_0^2=a^2.</math>

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

<math>r(\varphi)=a</math>

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом <math>a</math>.

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

<math>\varphi=\theta,</math>

где <math>\theta</math> — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, <math>\theta=\mathrm{arctg}\,m</math> где <math>m</math> — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую <math>\varphi=\theta</math> в точке <math>(r_0,\;\theta)</math> определяется уравнением

<math>r(\varphi)=r_0\sec(\varphi-\theta).</math>

Полярная роза

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

<math>r(\varphi)=a\cos(k\varphi+\theta_0)</math>

для произвольной постоянной <math>\theta_0</math> (включая 0). Если <math>k</math> — целое число, то это уравнение будет определять розу с <math>k</math> лепестками для нечётных <math>k</math>, либо с <math>2k</math> лепестками для чётных <math>k</math>. Если <math>k</math> — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если <math>k</math> — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная <math>a</math> определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном <math>k</math> мы будем иметь <math>k</math>-лепестковую розу. Таким образом, уравнение <math>r(\varphi)=\cos(2\varphi)</math> будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

<math>r(\varphi)= a+b\varphi.</math>

Изменения параметра <math>a</math> приводят к повороту спирали, а параметра <math>b</math> — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для <math>\varphi>0</math> а другую для <math>\varphi<0</math>. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Конические сечения

Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

<math>r=\frac{\ell}{1-e\cos\varphi},</math>

где <math>e</math> — эксцентриситет, а <math>\ell</math> — фокальный параметр. Если <math>e>1</math>, это уравнение определяет гиперболу; если <math>e=1</math>, то параболу; если <math>e<1</math>, то эллипс. Отдельным случаем является <math>e=0</math>, определяющее окружность с радиусом <math>\ell</math>.

Комплексные числа

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число <math>z</math> может быть записано в прямоугольной форме так:

<math>z=x+iy,</math>

где <math>i</math> — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):

<math>z=r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math>

и отсюда:

<math>z=re^{i\varphi},</math>

где <math>e</math> — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол <math>\varphi</math> задан в радианах)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

• Умножение:

<math>r_0e^{i\varphi_0}\cdot r_1e^{i\varphi_1}=r_0r_1e^{i(\varphi_0+\varphi_1)}.</math>

• Деление:

<math>\frac{r_0e^{i\varphi_0}}{r_1e^{i\varphi_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0-\varphi_1)}.</math>

• Возведение в степень (формула Муавра):

<math>(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi}.</math>

В математическом анализе

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты.

Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

<math>r\frac{\partial}{\partial r}=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y},</math>

<math>\frac{\partial}{\partial\varphi}=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}.</math>

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой <math>r(\varphi)</math> в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

<math>x=r(\varphi)\cos\varphi,</math>

<math>y=r(\varphi)\sin\varphi.</math>

Дифференцируя оба уравнения по <math>\varphi</math> получим:

<math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi,</math>

<math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi.</math>

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке <math>(r,\;r(\varphi))</math>:

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>

Интегральное исчисление

Пусть <math>R</math> — область, которую образуют полярная кривая <math>r(\varphi)</math> и лучи <math>\varphi=a</math> и <math>\varphi=b</math>, где <math>0<b-a<2\pi</math>. Тогда площадь этой области находится определённым интегралом:

<math>\frac{1}{2}\int\limits_a^b[r(\varphi)]^2\,d\varphi.</math>

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал <math>[a,\;b]</math> на произвольное число подынтервалов <math>n</math>. Таким образом, длина такого подынтервала <math>\Delta\varphi</math> равна <math>b-a</math> (полная длина интервала), разделённая на <math>n</math> (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала <math>i=1,\;2,\;\ldots,\;n</math> <math>\varphi_i</math> — средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами <math>r(\varphi_i)</math>, центральными углами <math>\Delta\varphi</math> и длиной дуги <math>r(\varphi_i)\Delta\varphi</math>. Поэтому площадь каждого такого сектора будет <math>\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\Delta\varphi</math>. Отсюда, полная площадь всех секторов:

<math>\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.</math>

Если число подынтервалов <math>n</math> увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив <math>n\to\infty</math>, полученная сумма станет интегральной. Предел этой суммы при <math>\Delta\varphi\to 0</math> определяет вышеописанный интеграл:

<math>\lim_{\Delta\varphi\to 0}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_a^b[r(\varphi)]^2\,d\varphi.</math>

Обобщение

Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как <math>dA=dx\,dy</math>. При переходе к другой системе координат в многократных интегралах, необходимо использовать определитель Якоби:

<math>J=\det\frac{\partial(x,\;y)}{\partial(r,\;\varphi)}=\begin{vmatrix}

 \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\
 \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\end{vmatrix}.</math>

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен <math>r</math>:

<math>J=\begin{vmatrix}

 \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
 \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r.</math>

Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:

<math>dA=J\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi.</math>

Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

<math>\iint\limits_R f(r,\;\varphi)\,dA=\int\limits_a^b\int\limits_0^{r(\varphi)}f(r,\;\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.</math>

Здесь область <math>R</math>, как и в предыдущем разделе, такая, которую образуют полярная кривая <math>r(\varphi)</math> и лучи <math>\varphi=a</math> и <math>\varphi=b</math>.

Формула для вычисления площади, описанная в предыдущем разделе, получена в случае <math>f=1</math>. Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов является Интеграл Эйлера — Пуассона:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi.</math>

Векторный анализ

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле <math>\mathbf{F}</math> можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

<math>\mathbf{e}_r=(\cos\varphi,\;\sin\varphi)</math>

в направлении <math>\mathbf{r}</math>, и

<math>\mathbf{e}_\varphi=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi);</math>

<math>\mathbf{F}=F_r\mathbf{e}_r+F_\varphi\mathbf{e}_\varphi.</math>

Связь между декартовыми компонентами поля <math>F_x</math> и <math>F_y</math> и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

<math>F_x=F_r\cos\varphi-F_\varphi\sin\varphi;</math>

<math>F_y=F_r\sin\varphi+F_\varphi\cos\varphi.</math>

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля <math>\Phi(r,\;\varphi)</math> записывается:

<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial r}\mathbf{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}\mathbf{e}_\varphi.</math>

Трёхмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как <math>z</math>, образуя тройку координат <math>(\rho,\;\varphi,\;z)</math>.

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

<math>\begin{cases}

x=\rho\cos\varphi; \\ y=\rho\sin\varphi; \\ z=z.\end{cases}</math>

Сферические координаты

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты <math>\theta</math>, равным углу поворота от вертикальной оси <math>z</math> (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка <math>(r,\;\varphi,\;\theta)</math>, где <math>r</math> — расстояние от центра координат, <math>\varphi</math> — угол от оси <math>x</math> (как и в плоских полярных координатах), <math>\theta</math> — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта <math>\delta</math> является дополнением <math>\theta</math> и равна <math>\delta=90^\circ-\theta</math>, а долгота <math>l</math> вычисляется по формуле <math>l=\varphi-180^\circ</math>.

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

<math>\begin{cases}

x=r\sin\theta\cos\varphi; \\ y=r\sin\theta\sin\varphi; \\ z=r\cos\theta.\end{cases}</math>

Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай <math>n</math>-мерного пространства. Пусть <math>x_i\in\mathbb{R}</math>, <math>i=1,\;\ldots,\;n</math> — координатные векторы <math>n</math>-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в <math>n</math>-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора <math>x\in\mathbb{R}^n</math> от координатной оси <math>x_{i+2}</math>.

Для перевода обобщённых <math>n</math>-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

<math>\begin{array}{lcr}

x_1 & = & r\cos\varphi\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\ x_2 & = & r\sin\varphi\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\ x_3 & = & r\cos\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\ x_4 & = & r\cos\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\ \ldots & \ldots & \ldots\qquad\qquad\qquad \\ x_{n-1} & = & r\cos\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\ x_n & = & r\cos\vartheta_{n-2}.\end{array}</math> Как можно показать, случай <math>n=2</math> соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а <math>n=3</math> — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

<math>\det\frac{\partial(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{\partial(r,\;\varphi,\;\vartheta_1,\;\ldots,\;\vartheta_{n-2})}=r^{n-1}\sin\vartheta_1(\sin\vartheta_2)^2\ldots(\sin\vartheta_{n-2})^{n-2},</math>

где <math>n</math>-мерный элемент объёма имеет вид:

<math>dV=r^{n-1}\sin\vartheta_1(\sin\vartheta_2)^2\ldots(\sin\vartheta_{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi\,d\vartheta_1\ldots d\vartheta_

{n-2}=</math>

<math>=r^{n-1}\,dr\,d\varphi\prod\limits_{j=1}^{n-2}(\sin\vartheta_j)^j\,d\vartheta_j.</math>

Применение

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

Позиционирование и навигация

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро).

Моделирование

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности <math>M_\alpha</math> при падении звуковой волны под углом <math>\alpha</math> относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности:

<math>\varphi=\frac{M_\alpha}{M_0}.</math>

См. также

• Системы координат в элементарной математике
• Системы координат

Литература

• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. [publ.lib.ru/ARCHIVES/B/%27%27Bibliotechka_fiziko-matematicheskoy_shkoly%27%27/%27%27BFMSh._Matematika%27%27,v.01.(1973).%5Bdjv%5D.zip Метод координат.] Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.

Ссылки

• Программы для рисования графиков в каталоге ссылок Open Directory Project (dmoz).

Отрывок, характеризующий Полярная система координат

Офицер как будто смутился, как будто он понял, что можно думать о том, сколь многих не досчитаются завтра, но не следует говорить об этом.
– Ну да, посылай третью роту опять, – поспешно сказал офицер.
– А вы кто же, не из докторов?
– Нет, я так, – отвечал Пьер. И Пьер пошел под гору опять мимо ополченцев.
– Ах, проклятые! – проговорил следовавший за ним офицер, зажимая нос и пробегая мимо работающих.
– Вон они!.. Несут, идут… Вон они… сейчас войдут… – послышались вдруг голоса, и офицеры, солдаты и ополченцы побежали вперед по дороге.
Из под горы от Бородина поднималось церковное шествие. Впереди всех по пыльной дороге стройно шла пехота с снятыми киверами и ружьями, опущенными книзу. Позади пехоты слышалось церковное пение.
Обгоняя Пьера, без шапок бежали навстречу идущим солдаты и ополченцы.
– Матушку несут! Заступницу!.. Иверскую!..
– Смоленскую матушку, – поправил другой.
Ополченцы – и те, которые были в деревне, и те, которые работали на батарее, – побросав лопаты, побежали навстречу церковному шествию. За батальоном, шедшим по пыльной дороге, шли в ризах священники, один старичок в клобуке с причтом и певчпми. За ними солдаты и офицеры несли большую, с черным ликом в окладе, икону. Это была икона, вывезенная из Смоленска и с того времени возимая за армией. За иконой, кругом ее, впереди ее, со всех сторон шли, бежали и кланялись в землю с обнаженными головами толпы военных.
Взойдя на гору, икона остановилась; державшие на полотенцах икону люди переменились, дьячки зажгли вновь кадила, и начался молебен. Жаркие лучи солнца били отвесно сверху; слабый, свежий ветерок играл волосами открытых голов и лентами, которыми была убрана икона; пение негромко раздавалось под открытым небом. Огромная толпа с открытыми головами офицеров, солдат, ополченцев окружала икону. Позади священника и дьячка, на очищенном месте, стояли чиновные люди. Один плешивый генерал с Георгием на шее стоял прямо за спиной священника и, не крестясь (очевидно, пемец), терпеливо дожидался конца молебна, который он считал нужным выслушать, вероятно, для возбуждения патриотизма русского народа. Другой генерал стоял в воинственной позе и потряхивал рукой перед грудью, оглядываясь вокруг себя. Между этим чиновным кружком Пьер, стоявший в толпе мужиков, узнал некоторых знакомых; но он не смотрел на них: все внимание его было поглощено серьезным выражением лиц в этой толпе солдат и оиолченцев, однообразно жадно смотревших на икону. Как только уставшие дьячки (певшие двадцатый молебен) начинали лениво и привычно петь: «Спаси от бед рабы твоя, богородице», и священник и дьякон подхватывали: «Яко вси по бозе к тебе прибегаем, яко нерушимой стене и предстательству», – на всех лицах вспыхивало опять то же выражение сознания торжественности наступающей минуты, которое он видел под горой в Можайске и урывками на многих и многих лицах, встреченных им в это утро; и чаще опускались головы, встряхивались волоса и слышались вздохи и удары крестов по грудям.
Толпа, окружавшая икону, вдруг раскрылась и надавила Пьера. Кто то, вероятно, очень важное лицо, судя по поспешности, с которой перед ним сторонились, подходил к иконе.
Это был Кутузов, объезжавший позицию. Он, возвращаясь к Татариновой, подошел к молебну. Пьер тотчас же узнал Кутузова по его особенной, отличавшейся от всех фигуре.
В длинном сюртуке на огромном толщиной теле, с сутуловатой спиной, с открытой белой головой и с вытекшим, белым глазом на оплывшем лице, Кутузов вошел своей ныряющей, раскачивающейся походкой в круг и остановился позади священника. Он перекрестился привычным жестом, достал рукой до земли и, тяжело вздохнув, опустил свою седую голову. За Кутузовым был Бенигсен и свита. Несмотря на присутствие главнокомандующего, обратившего на себя внимание всех высших чинов, ополченцы и солдаты, не глядя на него, продолжали молиться.
Когда кончился молебен, Кутузов подошел к иконе, тяжело опустился на колена, кланяясь в землю, и долго пытался и не мог встать от тяжести и слабости. Седая голова его подергивалась от усилий. Наконец он встал и с детски наивным вытягиванием губ приложился к иконе и опять поклонился, дотронувшись рукой до земли. Генералитет последовал его примеру; потом офицеры, и за ними, давя друг друга, топчась, пыхтя и толкаясь, с взволнованными лицами, полезли солдаты и ополченцы.


Покачиваясь от давки, охватившей его, Пьер оглядывался вокруг себя.
– Граф, Петр Кирилыч! Вы как здесь? – сказал чей то голос. Пьер оглянулся.
Борис Друбецкой, обчищая рукой коленки, которые он запачкал (вероятно, тоже прикладываясь к иконе), улыбаясь подходил к Пьеру. Борис был одет элегантно, с оттенком походной воинственности. На нем был длинный сюртук и плеть через плечо, так же, как у Кутузова.
Кутузов между тем подошел к деревне и сел в тени ближайшего дома на лавку, которую бегом принес один казак, а другой поспешно покрыл ковриком. Огромная блестящая свита окружила главнокомандующего.
Икона тронулась дальше, сопутствуемая толпой. Пьер шагах в тридцати от Кутузова остановился, разговаривая с Борисом.
Пьер объяснил свое намерение участвовать в сражении и осмотреть позицию.
– Вот как сделайте, – сказал Борис. – Je vous ferai les honneurs du camp. [Я вас буду угощать лагерем.] Лучше всего вы увидите все оттуда, где будет граф Бенигсен. Я ведь при нем состою. Я ему доложу. А если хотите объехать позицию, то поедемте с нами: мы сейчас едем на левый фланг. А потом вернемся, и милости прошу у меня ночевать, и партию составим. Вы ведь знакомы с Дмитрием Сергеичем? Он вот тут стоит, – он указал третий дом в Горках.
– Но мне бы хотелось видеть правый фланг; говорят, он очень силен, – сказал Пьер. – Я бы хотел проехать от Москвы реки и всю позицию.
– Ну, это после можете, а главный – левый фланг…
– Да, да. А где полк князя Болконского, не можете вы указать мне? – спросил Пьер.
– Андрея Николаевича? мы мимо проедем, я вас проведу к нему.
– Что ж левый фланг? – спросил Пьер.
– По правде вам сказать, entre nous, [между нами,] левый фланг наш бог знает в каком положении, – сказал Борис, доверчиво понижая голос, – граф Бенигсен совсем не то предполагал. Он предполагал укрепить вон тот курган, совсем не так… но, – Борис пожал плечами. – Светлейший не захотел, или ему наговорили. Ведь… – И Борис не договорил, потому что в это время к Пьеру подошел Кайсаров, адъютант Кутузова. – А! Паисий Сергеич, – сказал Борис, с свободной улыбкой обращаясь к Кайсарову, – А я вот стараюсь объяснить графу позицию. Удивительно, как мог светлейший так верно угадать замыслы французов!
– Вы про левый фланг? – сказал Кайсаров.
– Да, да, именно. Левый фланг наш теперь очень, очень силен.
Несмотря на то, что Кутузов выгонял всех лишних из штаба, Борис после перемен, произведенных Кутузовым, сумел удержаться при главной квартире. Борис пристроился к графу Бенигсену. Граф Бенигсен, как и все люди, при которых находился Борис, считал молодого князя Друбецкого неоцененным человеком.
В начальствовании армией были две резкие, определенные партии: партия Кутузова и партия Бенигсена, начальника штаба. Борис находился при этой последней партии, и никто так, как он, не умел, воздавая раболепное уважение Кутузову, давать чувствовать, что старик плох и что все дело ведется Бенигсеном. Теперь наступила решительная минута сражения, которая должна была или уничтожить Кутузова и передать власть Бенигсену, или, ежели бы даже Кутузов выиграл сражение, дать почувствовать, что все сделано Бенигсеном. Во всяком случае, за завтрашний день должны были быть розданы большие награды и выдвинуты вперед новые люди. И вследствие этого Борис находился в раздраженном оживлении весь этот день.
За Кайсаровым к Пьеру еще подошли другие из его знакомых, и он не успевал отвечать на расспросы о Москве, которыми они засыпали его, и не успевал выслушивать рассказов, которые ему делали. На всех лицах выражались оживление и тревога. Но Пьеру казалось, что причина возбуждения, выражавшегося на некоторых из этих лиц, лежала больше в вопросах личного успеха, и у него не выходило из головы то другое выражение возбуждения, которое он видел на других лицах и которое говорило о вопросах не личных, а общих, вопросах жизни и смерти. Кутузов заметил фигуру Пьера и группу, собравшуюся около него.
– Позовите его ко мне, – сказал Кутузов. Адъютант передал желание светлейшего, и Пьер направился к скамейке. Но еще прежде него к Кутузову подошел рядовой ополченец. Это был Долохов.
– Этот как тут? – спросил Пьер.
– Это такая бестия, везде пролезет! – отвечали Пьеру. – Ведь он разжалован. Теперь ему выскочить надо. Какие то проекты подавал и в цепь неприятельскую ночью лазил… но молодец!..
Пьер, сняв шляпу, почтительно наклонился перед Кутузовым.
– Я решил, что, ежели я доложу вашей светлости, вы можете прогнать меня или сказать, что вам известно то, что я докладываю, и тогда меня не убудет… – говорил Долохов.
– Так, так.
– А ежели я прав, то я принесу пользу отечеству, для которого я готов умереть.
– Так… так…
– И ежели вашей светлости понадобится человек, который бы не жалел своей шкуры, то извольте вспомнить обо мне… Может быть, я пригожусь вашей светлости.
– Так… так… – повторил Кутузов, смеющимся, суживающимся глазом глядя на Пьера.
В это время Борис, с своей придворной ловкостью, выдвинулся рядом с Пьером в близость начальства и с самым естественным видом и не громко, как бы продолжая начатый разговор, сказал Пьеру:
– Ополченцы – те прямо надели чистые, белые рубахи, чтобы приготовиться к смерти. Какое геройство, граф!
Борис сказал это Пьеру, очевидно, для того, чтобы быть услышанным светлейшим. Он знал, что Кутузов обратит внимание на эти слова, и действительно светлейший обратился к нему:
– Ты что говоришь про ополченье? – сказал он Борису.
– Они, ваша светлость, готовясь к завтрашнему дню, к смерти, надели белые рубахи.
– А!.. Чудесный, бесподобный народ! – сказал Кутузов и, закрыв глаза, покачал головой. – Бесподобный народ! – повторил он со вздохом.
– Хотите пороху понюхать? – сказал он Пьеру. – Да, приятный запах. Имею честь быть обожателем супруги вашей, здорова она? Мой привал к вашим услугам. – И, как это часто бывает с старыми людьми, Кутузов стал рассеянно оглядываться, как будто забыв все, что ему нужно было сказать или сделать.
Очевидно, вспомнив то, что он искал, он подманил к себе Андрея Сергеича Кайсарова, брата своего адъютанта.
– Как, как, как стихи то Марина, как стихи, как? Что на Геракова написал: «Будешь в корпусе учитель… Скажи, скажи, – заговорил Кутузов, очевидно, собираясь посмеяться. Кайсаров прочел… Кутузов, улыбаясь, кивал головой в такт стихов.
Когда Пьер отошел от Кутузова, Долохов, подвинувшись к нему, взял его за руку.
– Очень рад встретить вас здесь, граф, – сказал он ему громко и не стесняясь присутствием посторонних, с особенной решительностью и торжественностью. – Накануне дня, в который бог знает кому из нас суждено остаться в живых, я рад случаю сказать вам, что я жалею о тех недоразумениях, которые были между нами, и желал бы, чтобы вы не имели против меня ничего. Прошу вас простить меня.
Пьер, улыбаясь, глядел на Долохова, не зная, что сказать ему. Долохов со слезами, выступившими ему на глаза, обнял и поцеловал Пьера.
Борис что то сказал своему генералу, и граф Бенигсен обратился к Пьеру и предложил ехать с собою вместе по линии.
– Вам это будет интересно, – сказал он.
– Да, очень интересно, – сказал Пьер.
Через полчаса Кутузов уехал в Татаринову, и Бенигсен со свитой, в числе которой был и Пьер, поехал по линии.


Бенигсен от Горок спустился по большой дороге к мосту, на который Пьеру указывал офицер с кургана как на центр позиции и у которого на берегу лежали ряды скошенной, пахнувшей сеном травы. Через мост они проехали в село Бородино, оттуда повернули влево и мимо огромного количества войск и пушек выехали к высокому кургану, на котором копали землю ополченцы. Это был редут, еще не имевший названия, потом получивший название редута Раевского, или курганной батареи.
Пьер не обратил особенного внимания на этот редут. Он не знал, что это место будет для него памятнее всех мест Бородинского поля. Потом они поехали через овраг к Семеновскому, в котором солдаты растаскивали последние бревна изб и овинов. Потом под гору и на гору они проехали вперед через поломанную, выбитую, как градом, рожь, по вновь проложенной артиллерией по колчам пашни дороге на флеши [род укрепления. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ], тоже тогда еще копаемые.
Бенигсен остановился на флешах и стал смотреть вперед на (бывший еще вчера нашим) Шевардинский редут, на котором виднелось несколько всадников. Офицеры говорили, что там был Наполеон или Мюрат. И все жадно смотрели на эту кучку всадников. Пьер тоже смотрел туда, стараясь угадать, который из этих чуть видневшихся людей был Наполеон. Наконец всадники съехали с кургана и скрылись.
Бенигсен обратился к подошедшему к нему генералу и стал пояснять все положение наших войск. Пьер слушал слова Бенигсена, напрягая все свои умственные силы к тому, чтоб понять сущность предстоящего сражения, но с огорчением чувствовал, что умственные способности его для этого были недостаточны. Он ничего не понимал. Бенигсен перестал говорить, и заметив фигуру прислушивавшегося Пьера, сказал вдруг, обращаясь к нему:
– Вам, я думаю, неинтересно?
– Ах, напротив, очень интересно, – повторил Пьер не совсем правдиво.
С флеш они поехали еще левее дорогою, вьющеюся по частому, невысокому березовому лесу. В середине этого
леса выскочил перед ними на дорогу коричневый с белыми ногами заяц и, испуганный топотом большого количества лошадей, так растерялся, что долго прыгал по дороге впереди их, возбуждая общее внимание и смех, и, только когда в несколько голосов крикнули на него, бросился в сторону и скрылся в чаще. Проехав версты две по лесу, они выехали на поляну, на которой стояли войска корпуса Тучкова, долженствовавшего защищать левый фланг.
Здесь, на крайнем левом фланге, Бенигсен много и горячо говорил и сделал, как казалось Пьеру, важное в военном отношении распоряжение. Впереди расположения войск Тучкова находилось возвышение. Это возвышение не было занято войсками. Бенигсен громко критиковал эту ошибку, говоря, что было безумно оставить незанятою командующую местностью высоту и поставить войска под нею. Некоторые генералы выражали то же мнение. Один в особенности с воинской горячностью говорил о том, что их поставили тут на убой. Бенигсен приказал своим именем передвинуть войска на высоту.
Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.


Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.
Как ни тесна и никому не нужна и ни тяжка теперь казалась князю Андрею его жизнь, он так же, как и семь лет тому назад в Аустерлице накануне сражения, чувствовал себя взволнованным и раздраженным.
Приказания на завтрашнее сражение были отданы и получены им. Делать ему было больше нечего. Но мысли самые простые, ясные и потому страшные мысли не оставляли его в покое. Он знал, что завтрашнее сражение должно было быть самое страшное изо всех тех, в которых он участвовал, и возможность смерти в первый раз в его жизни, без всякого отношения к житейскому, без соображений о том, как она подействует на других, а только по отношению к нему самому, к его душе, с живостью, почти с достоверностью, просто и ужасно, представилась ему. И с высоты этого представления все, что прежде мучило и занимало его, вдруг осветилось холодным белым светом, без теней, без перспективы, без различия очертаний. Вся жизнь представилась ему волшебным фонарем, в который он долго смотрел сквозь стекло и при искусственном освещении. Теперь он увидал вдруг, без стекла, при ярком дневном свете, эти дурно намалеванные картины. «Да, да, вот они те волновавшие и восхищавшие и мучившие меня ложные образы, – говорил он себе, перебирая в своем воображении главные картины своего волшебного фонаря жизни, глядя теперь на них при этом холодном белом свете дня – ясной мысли о смерти. – Вот они, эти грубо намалеванные фигуры, которые представлялись чем то прекрасным и таинственным. Слава, общественное благо, любовь к женщине, самое отечество – как велики казались мне эти картины, какого глубокого смысла казались они исполненными! И все это так просто, бледно и грубо при холодном белом свете того утра, которое, я чувствую, поднимается для меня». Три главные горя его жизни в особенности останавливали его внимание. Его любовь к женщине, смерть его отца и французское нашествие, захватившее половину России. «Любовь!.. Эта девочка, мне казавшаяся преисполненною таинственных сил. Как же я любил ее! я делал поэтические планы о любви, о счастии с нею. О милый мальчик! – с злостью вслух проговорил он. – Как же! я верил в какую то идеальную любовь, которая должна была мне сохранить ее верность за целый год моего отсутствия! Как нежный голубок басни, она должна была зачахнуть в разлуке со мной. А все это гораздо проще… Все это ужасно просто, гадко!
Отец тоже строил в Лысых Горах и думал, что это его место, его земля, его воздух, его мужики; а пришел Наполеон и, не зная об его существовании, как щепку с дороги, столкнул его, и развалились его Лысые Горы и вся его жизнь. А княжна Марья говорит, что это испытание, посланное свыше. Для чего же испытание, когда его уже нет и не будет? никогда больше не будет! Его нет! Так кому же это испытание? Отечество, погибель Москвы! А завтра меня убьет – и не француз даже, а свой, как вчера разрядил солдат ружье около моего уха, и придут французы, возьмут меня за ноги и за голову и швырнут в яму, чтоб я не вонял им под носом, и сложатся новые условия жизни, которые будут также привычны для других, и я не буду знать про них, и меня не будет».
Он поглядел на полосу берез с их неподвижной желтизной, зеленью и белой корой, блестящих на солнце. «Умереть, чтобы меня убили завтра, чтобы меня не было… чтобы все это было, а меня бы не было». Он живо представил себе отсутствие себя в этой жизни. И эти березы с их светом и тенью, и эти курчавые облака, и этот дым костров – все вокруг преобразилось для него и показалось чем то страшным и угрожающим. Мороз пробежал по его спине. Быстро встав, он вышел из сарая и стал ходить.
За сараем послышались голоса.
– Кто там? – окликнул князь Андрей.
Красноносый капитан Тимохин, бывший ротный командир Долохова, теперь, за убылью офицеров, батальонный командир, робко вошел в сарай. За ним вошли адъютант и казначей полка.
Князь Андрей поспешно встал, выслушал то, что по службе имели передать ему офицеры, передал им еще некоторые приказания и сбирался отпустить их, когда из за сарая послышался знакомый, пришепетывающий голос.
– Que diable! [Черт возьми!] – сказал голос человека, стукнувшегося обо что то.
Князь Андрей, выглянув из сарая, увидал подходящего к нему Пьера, который споткнулся на лежавшую жердь и чуть не упал. Князю Андрею вообще неприятно было видеть людей из своего мира, в особенности же Пьера, который напоминал ему все те тяжелые минуты, которые он пережил в последний приезд в Москву.
– А, вот как! – сказал он. – Какими судьбами? Вот не ждал.
В то время как он говорил это, в глазах его и выражении всего лица было больше чем сухость – была враждебность, которую тотчас же заметил Пьер. Он подходил к сараю в самом оживленном состоянии духа, но, увидав выражение лица князя Андрея, он почувствовал себя стесненным и неловким.
– Я приехал… так… знаете… приехал… мне интересно, – сказал Пьер, уже столько раз в этот день бессмысленно повторявший это слово «интересно». – Я хотел видеть сражение.
– Да, да, а братья масоны что говорят о войне? Как предотвратить ее? – сказал князь Андрей насмешливо. – Ну что Москва? Что мои? Приехали ли наконец в Москву? – спросил он серьезно.
– Приехали. Жюли Друбецкая говорила мне. Я поехал к ним и не застал. Они уехали в подмосковную.


Офицеры хотели откланяться, но князь Андрей, как будто не желая оставаться с глазу на глаз с своим другом, предложил им посидеть и напиться чаю. Подали скамейки и чай. Офицеры не без удивления смотрели на толстую, громадную фигуру Пьера и слушали его рассказы о Москве и о расположении наших войск, которые ему удалось объездить. Князь Андрей молчал, и лицо его так было неприятно, что Пьер обращался более к добродушному батальонному командиру Тимохину, чем к Болконскому.
– Так ты понял все расположение войск? – перебил его князь Андрей.
– Да, то есть как? – сказал Пьер. – Как невоенный человек, я не могу сказать, чтобы вполне, но все таки понял общее расположение.
– Eh bien, vous etes plus avance que qui cela soit, [Ну, так ты больше знаешь, чем кто бы то ни было.] – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Пьер с недоуменьем, через очки глядя на князя Андрея. – Ну, как вы скажете насчет назначения Кутузова? – сказал он.
– Я очень рад был этому назначению, вот все, что я знаю, – сказал князь Андрей.
– Ну, а скажите, какое ваше мнение насчет Барклая де Толли? В Москве бог знает что говорили про него. Как вы судите о нем?
– Спроси вот у них, – сказал князь Андрей, указывая на офицеров.
Пьер с снисходительно вопросительной улыбкой, с которой невольно все обращались к Тимохину, посмотрел на него.
– Свет увидали, ваше сиятельство, как светлейший поступил, – робко и беспрестанно оглядываясь на своего полкового командира, сказал Тимохин.
– Отчего же так? – спросил Пьер.
– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
– Сражение выиграет тот, кто твердо решил его выиграть. Отчего мы под Аустерлицем проиграли сражение? У нас потеря была почти равная с французами, но мы сказали себе очень рано, что мы проиграли сражение, – и проиграли. А сказали мы это потому, что нам там незачем было драться: поскорее хотелось уйти с поля сражения. «Проиграли – ну так бежать!» – мы и побежали. Ежели бы до вечера мы не говорили этого, бог знает что бы было. А завтра мы этого не скажем. Ты говоришь: наша позиция, левый фланг слаб, правый фланг растянут, – продолжал он, – все это вздор, ничего этого нет. А что нам предстоит завтра? Сто миллионов самых разнообразных случайностей, которые будут решаться мгновенно тем, что побежали или побегут они или наши, что убьют того, убьют другого; а то, что делается теперь, – все это забава. Дело в том, что те, с кем ты ездил по позиции, не только не содействуют общему ходу дел, но мешают ему. Они заняты только своими маленькими интересами.