Постоянная Каталана
Поделись знанием:
«Миром, – все вместе, без различия сословий, без вражды, а соединенные братской любовью – будем молиться», – думала Наташа.
– О свышнем мире и о спасении душ наших!
«О мире ангелов и душ всех бестелесных существ, которые живут над нами», – молилась Наташа.
Когда молились за воинство, она вспомнила брата и Денисова. Когда молились за плавающих и путешествующих, она вспомнила князя Андрея и молилась за него, и молилась за то, чтобы бог простил ей то зло, которое она ему сделала. Когда молились за любящих нас, она молилась о своих домашних, об отце, матери, Соне, в первый раз теперь понимая всю свою вину перед ними и чувствуя всю силу своей любви к ним. Когда молились о ненавидящих нас, она придумала себе врагов и ненавидящих для того, чтобы молиться за них. Она причисляла к врагам кредиторов и всех тех, которые имели дело с ее отцом, и всякий раз, при мысли о врагах и ненавидящих, она вспоминала Анатоля, сделавшего ей столько зла, и хотя он не был ненавидящий, она радостно молилась за него как за врага. Только на молитве она чувствовала себя в силах ясно и спокойно вспоминать и о князе Андрее, и об Анатоле, как об людях, к которым чувства ее уничтожались в сравнении с ее чувством страха и благоговения к богу. Когда молились за царскую фамилию и за Синод, она особенно низко кланялась и крестилась, говоря себе, что, ежели она не понимает, она не может сомневаться и все таки любит правительствующий Синод и молится за него.
Окончив ектенью, дьякон перекрестил вокруг груди орарь и произнес:
– «Сами себя и живот наш Христу богу предадим».
«Сами себя богу предадим, – повторила в своей душе Наташа. – Боже мой, предаю себя твоей воле, – думала она. – Ничего не хочу, не желаю; научи меня, что мне делать, куда употребить свою волю! Да возьми же меня, возьми меня! – с умиленным нетерпением в душе говорила Наташа, не крестясь, опустив свои тонкие руки и как будто ожидая, что вот вот невидимая сила возьмет ее и избавит от себя, от своих сожалений, желаний, укоров, надежд и пороков.
Графиня несколько раз во время службы оглядывалась на умиленное, с блестящими глазами, лицо своей дочери и молилась богу о том, чтобы он помог ей.
Неожиданно, в середине и не в порядке службы, который Наташа хорошо знала, дьячок вынес скамеечку, ту самую, на которой читались коленопреклоненные молитвы в троицын день, и поставил ее перед царскими дверьми. Священник вышел в своей лиловой бархатной скуфье, оправил волосы и с усилием стал на колена. Все сделали то же и с недоумением смотрели друг на друга. Это была молитва, только что полученная из Синода, молитва о спасении России от вражеского нашествия.
– «Господи боже сил, боже спасения нашего, – начал священник тем ясным, ненапыщенным и кротким голосом, которым читают только одни духовные славянские чтецы и который так неотразимо действует на русское сердце. – Господи боже сил, боже спасения нашего! Призри ныне в милости и щедротах на смиренные люди твоя, и человеколюбно услыши, и пощади, и помилуй нас. Се враг смущаяй землю твою и хотяй положити вселенную всю пусту, восста на ны; се людие беззаконии собрашася, еже погубити достояние твое, разорити честный Иерусалим твой, возлюбленную тебе Россию: осквернити храмы твои, раскопати алтари и поругатися святыне нашей. Доколе, господи, доколе грешницы восхвалятся? Доколе употребляти имать законопреступный власть?
Владыко господи! Услыши нас, молящихся тебе: укрепи силою твоею благочестивейшего, самодержавнейшего великого государя нашего императора Александра Павловича; помяни правду его и кротость, воздаждь ему по благости его, ею же хранит ны, твой возлюбленный Израиль. Благослови его советы, начинания и дела; утверди всемогущною твоею десницею царство его и подаждь ему победу на врага, яко же Моисею на Амалика, Гедеону на Мадиама и Давиду на Голиафа. Сохрани воинство его; положи лук медян мышцам, во имя твое ополчившихся, и препояши их силою на брань. Приими оружие и щит, и восстани в помощь нашу, да постыдятся и посрамятся мыслящий нам злая, да будут пред лицем верного ти воинства, яко прах пред лицем ветра, и ангел твой сильный да будет оскорбляяй и погоняяй их; да приидет им сеть, юже не сведают, и их ловитва, юже сокрыша, да обымет их; да падут под ногами рабов твоих и в попрание воем нашим да будут. Господи! не изнеможет у тебе спасати во многих и в малых; ты еси бог, да не превозможет противу тебе человек.
Боже отец наших! Помяни щедроты твоя и милости, яже от века суть: не отвержи нас от лица твоего, ниже возгнушайся недостоинством нашим, но помилуй нас по велицей милости твоей и по множеству щедрот твоих презри беззакония и грехи наша. Сердце чисто созижди в нас, и дух прав обнови во утробе нашей; всех нас укрепи верою в тя, утверди надеждою, одушеви истинною друг ко другу любовию, вооружи единодушием на праведное защищение одержания, еже дал еси нам и отцем нашим, да не вознесется жезл нечестивых на жребий освященных.
Господи боже наш, в него же веруем и на него же уповаем, не посрами нас от чаяния милости твоея и сотвори знамение во благо, яко да видят ненавидящий нас и православную веру нашу, и посрамятся и погибнут; и да уведят все страны, яко имя тебе господь, и мы людие твои. Яви нам, господи, ныне милость твою и спасение твое даждь нам; возвесели сердце рабов твоих о милости твоей; порази враги наши, и сокруши их под ноги верных твоих вскоре. Ты бо еси заступление, помощь и победа уповающим на тя, и тебе славу воссылаем, отцу и сыну и святому духу и ныне, и присно, и во веки веков. Аминь».
В том состоянии раскрытости душевной, в котором находилась Наташа, эта молитва сильно подействовала на нее. Она слушала каждое слово о победе Моисея на Амалика, и Гедеона на Мадиама, и Давида на Голиафа, и о разорении Иерусалима твоего и просила бога с той нежностью и размягченностью, которою было переполнено ее сердце; но не понимала хорошенько, о чем она просила бога в этой молитве. Она всей душой участвовала в прошении о духе правом, об укреплении сердца верою, надеждою и о воодушевлении их любовью. Но она не могла молиться о попрании под ноги врагов своих, когда она за несколько минут перед этим только желала иметь их больше, чтобы любить их, молиться за них. Но она тоже не могла сомневаться в правоте читаемой колено преклонной молитвы. Она ощущала в душе своей благоговейный и трепетный ужас перед наказанием, постигшим людей за их грехи, и в особенности за свои грехи, и просила бога о том, чтобы он простил их всех и ее и дал бы им всем и ей спокойствия и счастия в жизни. И ей казалось, что бог слышит ее молитву.
Постоя́нная Катала́на (англ. Catalan's constant) — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:
- <math>G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots</math>
Её численное значение приблизительно равно[1]:
Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.
Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).
Содержание
Связь с другими функциями
Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:
- <math> G = \beta(2) \; . </math>
Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма
- <math> G = \mathrm{Cl}_2(\pi/2) \; = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2(e^{\mathrm{i}\pi/2}) \right) = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2({\mathrm{i}}) \right)\; . </math>
Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов
- <math> \psi_{1}\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G \; ,</math>
- <math> \psi_{1}\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G \; ,</math>
так что
- <math> G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_{1}\left(\tfrac14\right) - \psi_{1}\left(\tfrac34\right)\right] \; .</math>
Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> и постоянной Каталана G.
Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:
- <math>G=4\pi \ln\left( \frac{ G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8}) }{ G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8}) } \right) +4 \pi \ln \left( \frac{ \Gamma(\tfrac{3}{8}) }{ \Gamma(\tfrac{1}{8}) } \right) +\frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \, (2-\sqrt{2})} \right) .</math>
Интегральные представления
Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:
- <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \; ,</math>
- <math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \; ,</math>
- <math>G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt \; ,</math>
- <math> G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\,dx \; ,</math>
- <math> G = \tfrac12 \int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}\,dx \; .</math>
Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),
- <math> G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \; .</math>
Быстро сходящиеся ряды
Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:
- <math>G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.</math>
и
<math>G =</math> <math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) </math>
<math> - 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right)</math>
Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5].
Вычисление десятичных цифр
Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[6].
| Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
|---|---|---|
| 1865 | 14 | Эжен Шарль Каталан |
| 1877 | 20 | Джеймс Уитбред Ли Глейшер |
| 1913 | 32 | Джеймс Уитбред Ли Глейшер |
| 1990 | 20 000 | Greg J. Fee |
| 1996 | 50 000 | Greg J. Fee |
| 1996, 14 августа | 100 000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
| 1996, 29 сентября | 300 000 | Thomas Papanikolaou |
| 1996 | 1 500 000 | Thomas Papanikolaou |
| 1997 | 3 379 957 | Patrick Demichel |
| 1998, 4 января | 12 500 000 | Xavier Gourdon |
| 2001 | 100 000 500 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
| 2002 | 201 000 000 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
| 2006, октябрь | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[7] |
| 2008, август | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8] |
| 2009, 31 января | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[9] |
| 2009, 16 апреля | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[9] |
См. также
Напишите отзыв о статье "Постоянная Каталана"
Примечания
- ↑ [www.gutenberg.org/etext/812 Catalan's Constant to 1,500,000 Places] (HTML). gutenberg.org. Проверено 5 февраля 2011.
- ↑ B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)
- ↑ D. J. Broadhurst, «[arxiv.org/abs/math.CA/9803067 Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)]», (1998) arXiv math.CA/9803067
- ↑ E. A. Карацуба Быстрое вычисление трансцендентных функций // Проблемы передачи информации. — 1991. — Т. 27, № 4. — С. 87-110.
- ↑ E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)
- ↑ X. Gourdon, P. Sebah, [numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]
- ↑ [ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html Shigeru Kondo’s website]
- ↑ [numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]
- ↑ 1 2 [www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html Large Computations]
Ссылки
- Victor Adamchik, [www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan’s constant]
- Victor Adamchik (2002). «[www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html A certain series associated with Catalan's constant]». Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) 21 (3): 1–10. MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1929434 1929434].
- Simon Plouffe, [www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html A few identities (III) with Catalan], (1993)
- Simon Plouffe, [www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html A few identities with Catalan constant and Pi²], (1999)
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html Catalan's Constant] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- [functions.wolfram.com/Constants/Catalan/06/01/ Catalan constant: Generalized power series] на сайте Wolfram Functions
- Greg Fee, [www.gutenberg.org/etext/682 Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula)] (1996)
- David M. Bradley (1999). «A class of series acceleration formulae for Catalan's constant». The Ramanujan Journal 3 (2): 159–173. DOI:10.1023/A:1006945407723. MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1703281 1703281].
- David M. Bradley (2007), "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant", arΧiv:[www.arxiv.org/abs/0706.0356 0706.0356]
| ||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Постоянная Каталана
– «Миром господу помолимся».«Миром, – все вместе, без различия сословий, без вражды, а соединенные братской любовью – будем молиться», – думала Наташа.
– О свышнем мире и о спасении душ наших!
«О мире ангелов и душ всех бестелесных существ, которые живут над нами», – молилась Наташа.
Когда молились за воинство, она вспомнила брата и Денисова. Когда молились за плавающих и путешествующих, она вспомнила князя Андрея и молилась за него, и молилась за то, чтобы бог простил ей то зло, которое она ему сделала. Когда молились за любящих нас, она молилась о своих домашних, об отце, матери, Соне, в первый раз теперь понимая всю свою вину перед ними и чувствуя всю силу своей любви к ним. Когда молились о ненавидящих нас, она придумала себе врагов и ненавидящих для того, чтобы молиться за них. Она причисляла к врагам кредиторов и всех тех, которые имели дело с ее отцом, и всякий раз, при мысли о врагах и ненавидящих, она вспоминала Анатоля, сделавшего ей столько зла, и хотя он не был ненавидящий, она радостно молилась за него как за врага. Только на молитве она чувствовала себя в силах ясно и спокойно вспоминать и о князе Андрее, и об Анатоле, как об людях, к которым чувства ее уничтожались в сравнении с ее чувством страха и благоговения к богу. Когда молились за царскую фамилию и за Синод, она особенно низко кланялась и крестилась, говоря себе, что, ежели она не понимает, она не может сомневаться и все таки любит правительствующий Синод и молится за него.
Окончив ектенью, дьякон перекрестил вокруг груди орарь и произнес:
– «Сами себя и живот наш Христу богу предадим».
«Сами себя богу предадим, – повторила в своей душе Наташа. – Боже мой, предаю себя твоей воле, – думала она. – Ничего не хочу, не желаю; научи меня, что мне делать, куда употребить свою волю! Да возьми же меня, возьми меня! – с умиленным нетерпением в душе говорила Наташа, не крестясь, опустив свои тонкие руки и как будто ожидая, что вот вот невидимая сила возьмет ее и избавит от себя, от своих сожалений, желаний, укоров, надежд и пороков.
Графиня несколько раз во время службы оглядывалась на умиленное, с блестящими глазами, лицо своей дочери и молилась богу о том, чтобы он помог ей.
Неожиданно, в середине и не в порядке службы, который Наташа хорошо знала, дьячок вынес скамеечку, ту самую, на которой читались коленопреклоненные молитвы в троицын день, и поставил ее перед царскими дверьми. Священник вышел в своей лиловой бархатной скуфье, оправил волосы и с усилием стал на колена. Все сделали то же и с недоумением смотрели друг на друга. Это была молитва, только что полученная из Синода, молитва о спасении России от вражеского нашествия.
– «Господи боже сил, боже спасения нашего, – начал священник тем ясным, ненапыщенным и кротким голосом, которым читают только одни духовные славянские чтецы и который так неотразимо действует на русское сердце. – Господи боже сил, боже спасения нашего! Призри ныне в милости и щедротах на смиренные люди твоя, и человеколюбно услыши, и пощади, и помилуй нас. Се враг смущаяй землю твою и хотяй положити вселенную всю пусту, восста на ны; се людие беззаконии собрашася, еже погубити достояние твое, разорити честный Иерусалим твой, возлюбленную тебе Россию: осквернити храмы твои, раскопати алтари и поругатися святыне нашей. Доколе, господи, доколе грешницы восхвалятся? Доколе употребляти имать законопреступный власть?
Владыко господи! Услыши нас, молящихся тебе: укрепи силою твоею благочестивейшего, самодержавнейшего великого государя нашего императора Александра Павловича; помяни правду его и кротость, воздаждь ему по благости его, ею же хранит ны, твой возлюбленный Израиль. Благослови его советы, начинания и дела; утверди всемогущною твоею десницею царство его и подаждь ему победу на врага, яко же Моисею на Амалика, Гедеону на Мадиама и Давиду на Голиафа. Сохрани воинство его; положи лук медян мышцам, во имя твое ополчившихся, и препояши их силою на брань. Приими оружие и щит, и восстани в помощь нашу, да постыдятся и посрамятся мыслящий нам злая, да будут пред лицем верного ти воинства, яко прах пред лицем ветра, и ангел твой сильный да будет оскорбляяй и погоняяй их; да приидет им сеть, юже не сведают, и их ловитва, юже сокрыша, да обымет их; да падут под ногами рабов твоих и в попрание воем нашим да будут. Господи! не изнеможет у тебе спасати во многих и в малых; ты еси бог, да не превозможет противу тебе человек.
Боже отец наших! Помяни щедроты твоя и милости, яже от века суть: не отвержи нас от лица твоего, ниже возгнушайся недостоинством нашим, но помилуй нас по велицей милости твоей и по множеству щедрот твоих презри беззакония и грехи наша. Сердце чисто созижди в нас, и дух прав обнови во утробе нашей; всех нас укрепи верою в тя, утверди надеждою, одушеви истинною друг ко другу любовию, вооружи единодушием на праведное защищение одержания, еже дал еси нам и отцем нашим, да не вознесется жезл нечестивых на жребий освященных.
Господи боже наш, в него же веруем и на него же уповаем, не посрами нас от чаяния милости твоея и сотвори знамение во благо, яко да видят ненавидящий нас и православную веру нашу, и посрамятся и погибнут; и да уведят все страны, яко имя тебе господь, и мы людие твои. Яви нам, господи, ныне милость твою и спасение твое даждь нам; возвесели сердце рабов твоих о милости твоей; порази враги наши, и сокруши их под ноги верных твоих вскоре. Ты бо еси заступление, помощь и победа уповающим на тя, и тебе славу воссылаем, отцу и сыну и святому духу и ныне, и присно, и во веки веков. Аминь».
В том состоянии раскрытости душевной, в котором находилась Наташа, эта молитва сильно подействовала на нее. Она слушала каждое слово о победе Моисея на Амалика, и Гедеона на Мадиама, и Давида на Голиафа, и о разорении Иерусалима твоего и просила бога с той нежностью и размягченностью, которою было переполнено ее сердце; но не понимала хорошенько, о чем она просила бога в этой молитве. Она всей душой участвовала в прошении о духе правом, об укреплении сердца верою, надеждою и о воодушевлении их любовью. Но она не могла молиться о попрании под ноги врагов своих, когда она за несколько минут перед этим только желала иметь их больше, чтобы любить их, молиться за них. Но она тоже не могла сомневаться в правоте читаемой колено преклонной молитвы. Она ощущала в душе своей благоговейный и трепетный ужас перед наказанием, постигшим людей за их грехи, и в особенности за свои грехи, и просила бога о том, чтобы он простил их всех и ее и дал бы им всем и ей спокойствия и счастия в жизни. И ей казалось, что бог слышит ее молитву.
