Постоянная Эйлера — Маскерони

Иррациональные числа γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

<math>\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n}{1\over k} - \ln n \right)=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n - \ln n \right)</math>

Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы. Карл Антон Бретшнайдер предложил современное обозначение <math>\gamma</math> (греческая буква «гамма»).

Значение константы:

<math>\gamma</math> ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805 767 234 884 867 726 777 664 670 936 947 063 291 746 749 515…

В теории чисел нередко используется константа

e^γ ≈ 1,781 072 417 990 197 985 236 504 103 107 179 549 169 645 214 303 430 205 357 665 876 512 841 076 813 588 293 707 574 216 488 418 280…

<math> e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4}

\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5} \cdots </math>

Свойства

• Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

  <math>\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx</math>

  <math>\gamma = 1-\int\limits_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{x\}}{x^2}\,dx</math>, где <math>\left\{t\right\}</math> — дробная часть числа <math>t</math>.

  <math>\gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}=\int\limits_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx.</math>

  <math>-\tfrac14(\gamma+2 \ln 2)\sqrt{\pi} = \int\limits_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx </math>

• Также она выражается через производную гамма-функции:

  <math>\gamma = -\Gamma^{'}(1) = -\Psi(1)</math>.

• До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — рациональная дробь, её знаменатель больше <math>10^{242080}</math> 
• <math>\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\

&= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\
&=\frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ).\end{align} </math>

• <math>\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum\limits_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(k!)</math>.
• <math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}</math>
• <math>{\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=2}^\infty\left(\frac1{\lfloor \sqrt{k} \rfloor^2} - \frac1{k}\right) = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2} \sum_{k=1}^{2 \times 2} \frac k {k+2^2} + \frac1{3^2} \sum_{k=1}^{3 \times 2} \frac k {k+3^2} + \dots.}</math>
• <math>2\gamma = \lim\limits_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\}</math>
• <math> \frac{\pi^2}{3\gamma^2} = \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\}.</math>
• <math> \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.</math>
• <math> e^{-\gamma} = \lim\limits_{x\to\infty}\ln x\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right).</math>
• <math> \sum\limits_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x - \gamma +o(1).</math>

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Отрывок, характеризующий Постоянная Эйлера — Маскерони

Бенигсен остановился на флешах и стал смотреть вперед на (бывший еще вчера нашим) Шевардинский редут, на котором виднелось несколько всадников. Офицеры говорили, что там был Наполеон или Мюрат. И все жадно смотрели на эту кучку всадников. Пьер тоже смотрел туда, стараясь угадать, который из этих чуть видневшихся людей был Наполеон. Наконец всадники съехали с кургана и скрылись.
Бенигсен обратился к подошедшему к нему генералу и стал пояснять все положение наших войск. Пьер слушал слова Бенигсена, напрягая все свои умственные силы к тому, чтоб понять сущность предстоящего сражения, но с огорчением чувствовал, что умственные способности его для этого были недостаточны. Он ничего не понимал. Бенигсен перестал говорить, и заметив фигуру прислушивавшегося Пьера, сказал вдруг, обращаясь к нему:
– Вам, я думаю, неинтересно?
– Ах, напротив, очень интересно, – повторил Пьер не совсем правдиво.
С флеш они поехали еще левее дорогою, вьющеюся по частому, невысокому березовому лесу. В середине этого
леса выскочил перед ними на дорогу коричневый с белыми ногами заяц и, испуганный топотом большого количества лошадей, так растерялся, что долго прыгал по дороге впереди их, возбуждая общее внимание и смех, и, только когда в несколько голосов крикнули на него, бросился в сторону и скрылся в чаще. Проехав версты две по лесу, они выехали на поляну, на которой стояли войска корпуса Тучкова, долженствовавшего защищать левый фланг.
Здесь, на крайнем левом фланге, Бенигсен много и горячо говорил и сделал, как казалось Пьеру, важное в военном отношении распоряжение. Впереди расположения войск Тучкова находилось возвышение. Это возвышение не было занято войсками. Бенигсен громко критиковал эту ошибку, говоря, что было безумно оставить незанятою командующую местностью высоту и поставить войска под нею. Некоторые генералы выражали то же мнение. Один в особенности с воинской горячностью говорил о том, что их поставили тут на убой. Бенигсен приказал своим именем передвинуть войска на высоту.
Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.


Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.