Поток Риччи
Поделись знанием:
– Молодцами, ребята! – сказал князь Багратион.
«Ради… ого го го го го!…» раздалось по рядам. Угрюмый солдат, шедший слева, крича, оглянулся глазами на Багратиона с таким выражением, как будто говорил: «сами знаем»; другой, не оглядываясь и как будто боясь развлечься, разинув рот, кричал и проходил.
Велено было остановиться и снять ранцы.
Багратион объехал прошедшие мимо его ряды и слез с лошади. Он отдал казаку поводья, снял и отдал бурку, расправил ноги и поправил на голове картуз. Голова французской колонны, с офицерами впереди, показалась из под горы.
«С Богом!» проговорил Багратион твердым, слышным голосом, на мгновение обернулся к фронту и, слегка размахивая руками, неловким шагом кавалериста, как бы трудясь, пошел вперед по неровному полю. Князь Андрей чувствовал, что какая то непреодолимая сила влечет его вперед, и испытывал большое счастие. [Тут произошла та атака, про которую Тьер говорит: «Les russes se conduisirent vaillamment, et chose rare a la guerre, on vit deux masses d'infanterie Mariecher resolument l'une contre l'autre sans qu'aucune des deux ceda avant d'etre abordee»; а Наполеон на острове Св. Елены сказал: «Quelques bataillons russes montrerent de l'intrepidite„. [Русские вели себя доблестно, и вещь – редкая на войне, две массы пехоты шли решительно одна против другой, и ни одна из двух не уступила до самого столкновения“. Слова Наполеона: [Несколько русских батальонов проявили бесстрашие.]
Уже близко становились французы; уже князь Андрей, шедший рядом с Багратионом, ясно различал перевязи, красные эполеты, даже лица французов. (Он ясно видел одного старого французского офицера, который вывернутыми ногами в штиблетах с трудом шел в гору.) Князь Багратион не давал нового приказания и всё так же молча шел перед рядами. Вдруг между французами треснул один выстрел, другой, третий… и по всем расстроившимся неприятельским рядам разнесся дым и затрещала пальба. Несколько человек наших упало, в том числе и круглолицый офицер, шедший так весело и старательно. Но в то же мгновение как раздался первый выстрел, Багратион оглянулся и закричал: «Ура!»
«Ура а а а!» протяжным криком разнеслось по нашей линии и, обгоняя князя Багратиона и друг друга, нестройною, но веселою и оживленною толпой побежали наши под гору за расстроенными французами.
Атака 6 го егерского обеспечила отступление правого фланга. В центре действие забытой батареи Тушина, успевшего зажечь Шенграбен, останавливало движение французов. Французы тушили пожар, разносимый ветром, и давали время отступать. Отступление центра через овраг совершалось поспешно и шумно; однако войска, отступая, не путались командами. Но левый фланг, который единовременно был атакован и обходим превосходными силами французов под начальством Ланна и который состоял из Азовского и Подольского пехотных и Павлоградского гусарского полков, был расстроен. Багратион послал Жеркова к генералу левого фланга с приказанием немедленно отступать.
Жерков бойко, не отнимая руки от фуражки, тронул лошадь и поскакал. Но едва только он отъехал от Багратиона, как силы изменили ему. На него нашел непреодолимый страх, и он не мог ехать туда, где было опасно.
Подъехав к войскам левого фланга, он поехал не вперед, где была стрельба, а стал отыскивать генерала и начальников там, где их не могло быть, и потому не передал приказания.
Командование левым флангом принадлежало по старшинству полковому командиру того самого полка, который представлялся под Браунау Кутузову и в котором служил солдатом Долохов. Командование же крайнего левого фланга было предназначено командиру Павлоградского полка, где служил Ростов, вследствие чего произошло недоразумение. Оба начальника были сильно раздражены друг против друга, и в то самое время как на правом фланге давно уже шло дело и французы уже начали наступление, оба начальника были заняты переговорами, которые имели целью оскорбить друг друга. Полки же, как кавалерийский, так и пехотный, были весьма мало приготовлены к предстоящему делу. Люди полков, от солдата до генерала, не ждали сражения и спокойно занимались мирными делами: кормлением лошадей в коннице, собиранием дров – в пехоте.
– Есть он, однако, старше моего в чином, – говорил немец, гусарский полковник, краснея и обращаясь к подъехавшему адъютанту, – то оставляяй его делать, как он хочет. Я своих гусар не могу жертвовать. Трубач! Играй отступление!
Для термина «Риччи» см. также другие значения.
Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.
Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.
Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.
Содержание
Уравнение
Уравнение потока Риччи имеет вид:
- <math>\partial_t g_t=-2\cdot\mathrm{Rc}_{t}.</math>
где <math>g_t</math> обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра <math>t</math>), и <math>\mathrm{Rc}_{t}</math> — её тензор Риччи.
Свойства
- Формально говоря, система уравнений <math>R</math>, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений <math>R'</math> предложенная Детурком, такая, что если <math>g_0</math> риманова метрика на компактном многообразии <math>M</math> и <math>g_t</math>, <math>g'_t</math> — решения систем <math>R</math> и <math>R'</math>, то <math>(M,\;g_t)</math> изометрично <math>(M,\;g_t')</math> для всех <math>t</math>.
- Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
- Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при <math>t=0</math>, можно получить решения лишь в одну сторону по <math>t</math>, а именно <math>t\geqslant 0</math>.
- В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при <math>t\to\infty</math>. Решение продолжается на максимальный интервал <math>[0,\;T)</math>. В случае если <math>T</math> конечно, при приближении к <math>T</math> кривизна многообразия идёт к бесконечности и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
- Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.
Изменение геометрических характеристик
- Для объёма <math>\mathrm{vol}_t</math> метрики <math>g_t</math> верно соотношение
- <math>\tfrac\partial{\partial t} (\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t)=-\mathrm{R}_t\cdot(\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t).</math>
- Для скалярной кривизны <math>\mathrm{R}_t</math> метрики <math>g_t</math> верно соотношение
- <math>\tfrac\partial{\partial t} \mathrm{R}_t=\triangle_t \mathrm{R}_t+|\mathrm{Rc}_t|^2</math>
- где <math>|\mathrm{Rc}_t|^2</math> определяется как <math>\sum_{i,j}(\mathrm{Rc}(e_i,e_j))^2</math> для ортонормированного репера <math>\{e_i\}</math> в точке.
- В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
- Более того нижняя грань скалярной кривизны не убывает.
- Для каждого <math>g_0</math>-ортонормированного репера <math>\{e^i\}</math> в точке <math>x\in M</math> существует так называемый сопутствующий <math>g_t</math>-ортонормированный репер <math>\{e^i_t\}</math>. Для тензора кривизны <math>\mathrm{Rm}_t</math>, записанного в этом базисе, верно соотношение
- <math>\tfrac\partial{\partial t} \mathrm{Rm}_t=\triangle_t \mathrm{Rm}_t+Q(\mathrm{Rm}_t,\mathrm{Rm}_t),</math>
- где <math>Q</math> — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.
- Билинейная квадратичная форма <math>Q</math> определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны <math>x</math> приписывается другой тензор кривизны <math>v_x=Q(x,x)</math>. Решения ОДУ
- <math>\dot x= v_x</math>
- играют важную роль в теории потоков Риччи.
- Выпуклые множества <math>K</math> в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ <math>x(0)\in K</math>, то <math>x(t)\in K</math> при <math>t\ge 0</math> называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому <math>K</math>, то тоже верно и для метрик получаемых из неё потоком Риччи. Рассужедения такого сорта называются «принципом максимума» для поток Риччи.
- К инвариантным множествам относятся
- Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
- Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
- В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительным кривизной Риччи
Размерность 3
В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого <math>x</math> и <math>t</math> можно подобрать репер <math>\{e^i_t\}</math>, в котором <math>\mathrm{Rm}_t</math> диагонализуется в базисе <math>e_1\wedge e_2</math>, <math>e_2\wedge e_3</math>, <math>e_3\wedge e_1</math>, скажем,
- <math>\mathrm{Rm}=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\mu&0\\0&0&\nu\end{pmatrix}</math>.
Тогда
- <math>Q(\mathrm{Rm},\mathrm{Rm})=\begin{pmatrix}\lambda^2+\mu\cdot\nu&0&0\\0&\mu^2+\nu\cdot\lambda&0\\0&0&\nu^2+\lambda\cdot\mu\end{pmatrix}.</math>
История
Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x. С помощю потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.
Используя потоки Риччи в своих статьях[1] опубликованных с 2002 по 2003 год, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2]
Напишите отзыв о статье "Поток Риччи"
Примечания
- ↑ См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.
- ↑ arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».
Литература
- Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
- Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
- Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:[www.arxiv.org/abs/math.DG/0211159 math.DG/0211159] [math.DG]
- Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:[www.arxiv.org/abs/math.DG/0303109 math.DG/0303109] [math.DG]
- Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:[www.arxiv.org/abs/math.DG/0307245 math.DG/0307245] [math.DG]
- Bruce Kleiner, John Lott: [math.berkeley.edu/~lott/gt-2008-12-059p.pdf Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers] (PDF; 1,5 MB), 2008.
- J. Rubinstein, R. Sinclair: [www.ms.unimelb.edu.au/~rubin/publications/roti9d.pdf Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution] (PDF; 2,7 MB), 2004.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Поток Риччи
С фрунтовым самодовольством он шел легко на мускулистых ногах, точно он плыл, без малейшего усилия вытягиваясь и отличаясь этою легкостью от тяжелого шага солдат, шедших по его шагу. Он нес у ноги вынутую тоненькую, узенькую шпагу (гнутую шпажку, не похожую на оружие) и, оглядываясь то на начальство, то назад, не теряя шагу, гибко поворачивался всем своим сильным станом. Казалось, все силы души его были направлены на то,чтобы наилучшим образом пройти мимо начальства, и, чувствуя, что он исполняет это дело хорошо, он был счастлив. «Левой… левой… левой…», казалось, внутренно приговаривал он через каждый шаг, и по этому такту с разно образно строгими лицами двигалась стена солдатских фигур, отягченных ранцами и ружьями, как будто каждый из этих сотен солдат мысленно через шаг приговаривал: «левой… левой… левой…». Толстый майор, пыхтя и разрознивая шаг, обходил куст по дороге; отставший солдат, запыхавшись, с испуганным лицом за свою неисправность, рысью догонял роту; ядро, нажимая воздух, пролетело над головой князя Багратиона и свиты и в такт: «левой – левой!» ударилось в колонну. «Сомкнись!» послышался щеголяющий голос ротного командира. Солдаты дугой обходили что то в том месте, куда упало ядро; старый кавалер, фланговый унтер офицер, отстав около убитых, догнал свой ряд, подпрыгнув, переменил ногу, попал в шаг и сердито оглянулся. «Левой… левой… левой…», казалось, слышалось из за угрожающего молчания и однообразного звука единовременно ударяющих о землю ног.– Молодцами, ребята! – сказал князь Багратион.
«Ради… ого го го го го!…» раздалось по рядам. Угрюмый солдат, шедший слева, крича, оглянулся глазами на Багратиона с таким выражением, как будто говорил: «сами знаем»; другой, не оглядываясь и как будто боясь развлечься, разинув рот, кричал и проходил.
Велено было остановиться и снять ранцы.
Багратион объехал прошедшие мимо его ряды и слез с лошади. Он отдал казаку поводья, снял и отдал бурку, расправил ноги и поправил на голове картуз. Голова французской колонны, с офицерами впереди, показалась из под горы.
«С Богом!» проговорил Багратион твердым, слышным голосом, на мгновение обернулся к фронту и, слегка размахивая руками, неловким шагом кавалериста, как бы трудясь, пошел вперед по неровному полю. Князь Андрей чувствовал, что какая то непреодолимая сила влечет его вперед, и испытывал большое счастие. [Тут произошла та атака, про которую Тьер говорит: «Les russes se conduisirent vaillamment, et chose rare a la guerre, on vit deux masses d'infanterie Mariecher resolument l'une contre l'autre sans qu'aucune des deux ceda avant d'etre abordee»; а Наполеон на острове Св. Елены сказал: «Quelques bataillons russes montrerent de l'intrepidite„. [Русские вели себя доблестно, и вещь – редкая на войне, две массы пехоты шли решительно одна против другой, и ни одна из двух не уступила до самого столкновения“. Слова Наполеона: [Несколько русских батальонов проявили бесстрашие.]
Уже близко становились французы; уже князь Андрей, шедший рядом с Багратионом, ясно различал перевязи, красные эполеты, даже лица французов. (Он ясно видел одного старого французского офицера, который вывернутыми ногами в штиблетах с трудом шел в гору.) Князь Багратион не давал нового приказания и всё так же молча шел перед рядами. Вдруг между французами треснул один выстрел, другой, третий… и по всем расстроившимся неприятельским рядам разнесся дым и затрещала пальба. Несколько человек наших упало, в том числе и круглолицый офицер, шедший так весело и старательно. Но в то же мгновение как раздался первый выстрел, Багратион оглянулся и закричал: «Ура!»
«Ура а а а!» протяжным криком разнеслось по нашей линии и, обгоняя князя Багратиона и друг друга, нестройною, но веселою и оживленною толпой побежали наши под гору за расстроенными французами.
Атака 6 го егерского обеспечила отступление правого фланга. В центре действие забытой батареи Тушина, успевшего зажечь Шенграбен, останавливало движение французов. Французы тушили пожар, разносимый ветром, и давали время отступать. Отступление центра через овраг совершалось поспешно и шумно; однако войска, отступая, не путались командами. Но левый фланг, который единовременно был атакован и обходим превосходными силами французов под начальством Ланна и который состоял из Азовского и Подольского пехотных и Павлоградского гусарского полков, был расстроен. Багратион послал Жеркова к генералу левого фланга с приказанием немедленно отступать.
Жерков бойко, не отнимая руки от фуражки, тронул лошадь и поскакал. Но едва только он отъехал от Багратиона, как силы изменили ему. На него нашел непреодолимый страх, и он не мог ехать туда, где было опасно.
Подъехав к войскам левого фланга, он поехал не вперед, где была стрельба, а стал отыскивать генерала и начальников там, где их не могло быть, и потому не передал приказания.
Командование левым флангом принадлежало по старшинству полковому командиру того самого полка, который представлялся под Браунау Кутузову и в котором служил солдатом Долохов. Командование же крайнего левого фланга было предназначено командиру Павлоградского полка, где служил Ростов, вследствие чего произошло недоразумение. Оба начальника были сильно раздражены друг против друга, и в то самое время как на правом фланге давно уже шло дело и французы уже начали наступление, оба начальника были заняты переговорами, которые имели целью оскорбить друг друга. Полки же, как кавалерийский, так и пехотный, были весьма мало приготовлены к предстоящему делу. Люди полков, от солдата до генерала, не ждали сражения и спокойно занимались мирными делами: кормлением лошадей в коннице, собиранием дров – в пехоте.
– Есть он, однако, старше моего в чином, – говорил немец, гусарский полковник, краснея и обращаясь к подъехавшему адъютанту, – то оставляяй его делать, как он хочет. Я своих гусар не могу жертвовать. Трубач! Играй отступление!
