Правильные многомерные многогранники
Поделись знанием:
Но княжна, не договорив, заплакала.
– Я не знаю, что со мной нынче. Не слушайте меня, забудьте, что я вам сказала.
Вся веселость Пьера исчезла. Он озабоченно расспрашивал княжну, просил ее высказать всё, поверить ему свое горе; но она только повторила, что просит его забыть то, что она сказала, что она не помнит, что она сказала, и что у нее нет горя, кроме того, которое он знает – горя о том, что женитьба князя Андрея угрожает поссорить отца с сыном.
– Слышали ли вы про Ростовых? – спросила она, чтобы переменить разговор. – Мне говорили, что они скоро будут. Andre я тоже жду каждый день. Я бы желала, чтоб они увиделись здесь.
– А как он смотрит теперь на это дело? – спросил Пьер, под он разумея старого князя. Княжна Марья покачала головой.
– Но что же делать? До года остается только несколько месяцев. И это не может быть. Я бы только желала избавить брата от первых минут. Я желала бы, чтобы они скорее приехали. Я надеюсь сойтись с нею. Вы их давно знаете, – сказала княжна Марья, – скажите мне, положа руку на сердце, всю истинную правду, что это за девушка и как вы находите ее? Но всю правду; потому что, вы понимаете, Андрей так много рискует, делая это против воли отца, что я бы желала знать…
Неясный инстинкт сказал Пьеру, что в этих оговорках и повторяемых просьбах сказать всю правду, выражалось недоброжелательство княжны Марьи к своей будущей невестке, что ей хотелось, чтобы Пьер не одобрил выбора князя Андрея; но Пьер сказал то, что он скорее чувствовал, чем думал.
– Я не знаю, как отвечать на ваш вопрос, – сказал он, покраснев, сам не зная от чего. – Я решительно не знаю, что это за девушка; я никак не могу анализировать ее. Она обворожительна. А отчего, я не знаю: вот всё, что можно про нее сказать. – Княжна Марья вздохнула и выражение ее лица сказало: «Да, я этого ожидала и боялась».
– Умна она? – спросила княжна Марья. Пьер задумался.
– Я думаю нет, – сказал он, – а впрочем да. Она не удостоивает быть умной… Да нет, она обворожительна, и больше ничего. – Княжна Марья опять неодобрительно покачала головой.
– Ах, я так желаю любить ее! Вы ей это скажите, ежели увидите ее прежде меня.
– Я слышал, что они на днях будут, – сказал Пьер.
Княжна Марья сообщила Пьеру свой план о том, как она, только что приедут Ростовы, сблизится с будущей невесткой и постарается приучить к ней старого князя.
Женитьба на богатой невесте в Петербурге не удалась Борису и он с этой же целью приехал в Москву. В Москве Борис находился в нерешительности между двумя самыми богатыми невестами – Жюли и княжной Марьей. Хотя княжна Марья, несмотря на свою некрасивость, и казалась ему привлекательнее Жюли, ему почему то неловко было ухаживать за Болконской. В последнее свое свиданье с ней, в именины старого князя, на все его попытки заговорить с ней о чувствах, она отвечала ему невпопад и очевидно не слушала его.
Жюли, напротив, хотя и особенным, одной ей свойственным способом, но охотно принимала его ухаживанье.
Жюли было 27 лет. После смерти своих братьев, она стала очень богата. Она была теперь совершенно некрасива; но думала, что она не только так же хороша, но еще гораздо больше привлекательна, чем была прежде. В этом заблуждении поддерживало ее то, что во первых она стала очень богатой невестой, а во вторых то, что чем старее она становилась, тем она была безопаснее для мужчин, тем свободнее было мужчинам обращаться с нею и, не принимая на себя никаких обязательств, пользоваться ее ужинами, вечерами и оживленным обществом, собиравшимся у нее. Мужчина, который десять лет назад побоялся бы ездить каждый день в дом, где была 17 ти летняя барышня, чтобы не компрометировать ее и не связать себя, теперь ездил к ней смело каждый день и обращался с ней не как с барышней невестой, а как с знакомой, не имеющей пола.
Дом Карагиных был в эту зиму в Москве самым приятным и гостеприимным домом. Кроме званых вечеров и обедов, каждый день у Карагиных собиралось большое общество, в особенности мужчин, ужинающих в 12 м часу ночи и засиживающихся до 3 го часу. Не было бала, гулянья, театра, который бы пропускала Жюли. Туалеты ее были всегда самые модные. Но, несмотря на это, Жюли казалась разочарована во всем, говорила всякому, что она не верит ни в дружбу, ни в любовь, ни в какие радости жизни, и ожидает успокоения только там . Она усвоила себе тон девушки, понесшей великое разочарованье, девушки, как будто потерявшей любимого человека или жестоко обманутой им. Хотя ничего подобного с ней не случилось, на нее смотрели, как на такую, и сама она даже верила, что она много пострадала в жизни. Эта меланхолия, не мешавшая ей веселиться, не мешала бывавшим у нее молодым людям приятно проводить время. Каждый гость, приезжая к ним, отдавал свой долг меланхолическому настроению хозяйки и потом занимался и светскими разговорами, и танцами, и умственными играми, и турнирами буриме, которые были в моде у Карагиных. Только некоторые молодые люди, в числе которых был и Борис, более углублялись в меланхолическое настроение Жюли, и с этими молодыми людьми она имела более продолжительные и уединенные разговоры о тщете всего мирского, и им открывала свои альбомы, исписанные грустными изображениями, изречениями и стихами.
Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
Содержание
Определение
Флагом n-мерного многогранника <math>P</math> называется набор его граней <math>F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1})</math>, где <math>F_i</math> есть <math>i</math>-мерная грань многогранника Р, причем <math>F_i \subseteq F_{n-1}</math> для <math>i= 1, 2,\dots,n-1</math>.
Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник <math>P</math>, у которого для любых двух его флагов <math>F</math> и <math>F'</math> найдётся движение <math>P</math>, переводящее <math>F</math> в <math>F'</math>.
Классификация
В размерности n = 4
Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):
| Название | Изображение (диаграмма Шлегеля) |
Символ Шлефли |
Ячейка | Число ячеек |
Число граней |
Число рёбер |
Число вершин |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пятиячейник | 
|
{3,3,3} | правильный тетраэдр |
5 | 10 | 10 | 5 |
| Тессеракт | 
|
{4,3,3} | куб | 8 | 24 | 32 | 16 |
| Шестнадцатиячейник | 
|
{3,3,4} | правильный тетраэдр |
16 | 32 | 24 | 8 |
| Двадцатичетырёхячейник | 
|
{3,4,3} | октаэдр | 24 | 96 | 96 | 24 |
| Стодвадцатиячейник | 
|
{5,3,3} | додекаэдр | 120 | 720 | 1200 | 600 |
| Шестисотячейник | 
|
{3,3,5} | правильный тетраэдр |
600 | 1200 | 720 | 120 |
В размерности n ≥ 5
В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):
| Название | Символ Шлефли |
|---|---|
| n-мерный правильный симплекс |
{3;3;...;3;3} |
| n-мерный гиперкуб |
{4;3;...;3;3} |
| n-мерный гипероктаэдр |
{3;3;...;3;4} |
Геометрические свойства
Углы
Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли <math> \{p_1, p_2, p_3, \dots, p_{N-3}, p_{N-2}, p_{N-1}\} </math>, определяется по формуле[1][2][3]:
- <math> \sin^2\beta=\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-1}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-2}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-3}}}{\frac{\ddots}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_3}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_2}}{1-\cos^2\frac{\pi}{p_1}}}}}}} </math>
где <math>\beta</math> — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника
Радиусы, объёмы
Радиус вписанной N-мерной сферы:
- <math>r_N=r_{N-1} \operatorname{tg} {\frac{T_N}{2}},</math>
где <math>r_{N-1}</math> — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.
Объём N-мерного многогранника:
- <math>V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N,</math>
где <math>V_{N-1}</math> — объём (N-1)-мерной грани, <math>A_{N-1}</math> — количество (N-1)-мерных граней.
Замощения
В размерности n = 4
- Тессерактовые соты (англ.)
- Шестнадцатиячейниковые соты (англ.)
- Двадцатичетырёхячейниковые соты (англ.)
В размерности n ≥ 5
См. также
Напишите отзыв о статье "Правильные многомерные многогранники"
Примечания
- ↑ Sommerville D.M.Y. [archive.org/stream/IntroductionToTheGeometryOfNDimensions/Sommerville-IntroductionToTheGeometryOfNDimensions#page/n203/mode/1up An Introduction to the Geometry of n Dimensions]. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
- ↑ Coxeter H.S.M. [books.google.ru/books?id=2ee7AQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=ru&pg=PA134#v=onepage&q&f=true Regular Polytoopes]. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
- ↑ Розенфельд Б.А. [padaread.com/?book=37174&pg=193 Многомерные пространства]. — Наука, 1966. — С. 193.
Ссылки
- [www.youtube.com/watch?v=vYkNFGZUZew&NR=1 Наглядный пример на YouTube]
- [local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/platonic4d/ Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D] (2003). Проверено 30 января 2011. [www.webcitation.org/67PoytDYX Архивировано из первоисточника 4 мая 2012].
- Е. Ю. Смирнов. [www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections.pdf Группы отражений и правильные многогранники]. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.
- Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман [mi.mathnet.ru/intf110 Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны] // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Правильные многомерные многогранники
– Что вы, что с вами, княжна?Но княжна, не договорив, заплакала.
– Я не знаю, что со мной нынче. Не слушайте меня, забудьте, что я вам сказала.
Вся веселость Пьера исчезла. Он озабоченно расспрашивал княжну, просил ее высказать всё, поверить ему свое горе; но она только повторила, что просит его забыть то, что она сказала, что она не помнит, что она сказала, и что у нее нет горя, кроме того, которое он знает – горя о том, что женитьба князя Андрея угрожает поссорить отца с сыном.
– Слышали ли вы про Ростовых? – спросила она, чтобы переменить разговор. – Мне говорили, что они скоро будут. Andre я тоже жду каждый день. Я бы желала, чтоб они увиделись здесь.
– А как он смотрит теперь на это дело? – спросил Пьер, под он разумея старого князя. Княжна Марья покачала головой.
– Но что же делать? До года остается только несколько месяцев. И это не может быть. Я бы только желала избавить брата от первых минут. Я желала бы, чтобы они скорее приехали. Я надеюсь сойтись с нею. Вы их давно знаете, – сказала княжна Марья, – скажите мне, положа руку на сердце, всю истинную правду, что это за девушка и как вы находите ее? Но всю правду; потому что, вы понимаете, Андрей так много рискует, делая это против воли отца, что я бы желала знать…
Неясный инстинкт сказал Пьеру, что в этих оговорках и повторяемых просьбах сказать всю правду, выражалось недоброжелательство княжны Марьи к своей будущей невестке, что ей хотелось, чтобы Пьер не одобрил выбора князя Андрея; но Пьер сказал то, что он скорее чувствовал, чем думал.
– Я не знаю, как отвечать на ваш вопрос, – сказал он, покраснев, сам не зная от чего. – Я решительно не знаю, что это за девушка; я никак не могу анализировать ее. Она обворожительна. А отчего, я не знаю: вот всё, что можно про нее сказать. – Княжна Марья вздохнула и выражение ее лица сказало: «Да, я этого ожидала и боялась».
– Умна она? – спросила княжна Марья. Пьер задумался.
– Я думаю нет, – сказал он, – а впрочем да. Она не удостоивает быть умной… Да нет, она обворожительна, и больше ничего. – Княжна Марья опять неодобрительно покачала головой.
– Ах, я так желаю любить ее! Вы ей это скажите, ежели увидите ее прежде меня.
– Я слышал, что они на днях будут, – сказал Пьер.
Княжна Марья сообщила Пьеру свой план о том, как она, только что приедут Ростовы, сблизится с будущей невесткой и постарается приучить к ней старого князя.
Женитьба на богатой невесте в Петербурге не удалась Борису и он с этой же целью приехал в Москву. В Москве Борис находился в нерешительности между двумя самыми богатыми невестами – Жюли и княжной Марьей. Хотя княжна Марья, несмотря на свою некрасивость, и казалась ему привлекательнее Жюли, ему почему то неловко было ухаживать за Болконской. В последнее свое свиданье с ней, в именины старого князя, на все его попытки заговорить с ней о чувствах, она отвечала ему невпопад и очевидно не слушала его.
Жюли, напротив, хотя и особенным, одной ей свойственным способом, но охотно принимала его ухаживанье.
Жюли было 27 лет. После смерти своих братьев, она стала очень богата. Она была теперь совершенно некрасива; но думала, что она не только так же хороша, но еще гораздо больше привлекательна, чем была прежде. В этом заблуждении поддерживало ее то, что во первых она стала очень богатой невестой, а во вторых то, что чем старее она становилась, тем она была безопаснее для мужчин, тем свободнее было мужчинам обращаться с нею и, не принимая на себя никаких обязательств, пользоваться ее ужинами, вечерами и оживленным обществом, собиравшимся у нее. Мужчина, который десять лет назад побоялся бы ездить каждый день в дом, где была 17 ти летняя барышня, чтобы не компрометировать ее и не связать себя, теперь ездил к ней смело каждый день и обращался с ней не как с барышней невестой, а как с знакомой, не имеющей пола.
Дом Карагиных был в эту зиму в Москве самым приятным и гостеприимным домом. Кроме званых вечеров и обедов, каждый день у Карагиных собиралось большое общество, в особенности мужчин, ужинающих в 12 м часу ночи и засиживающихся до 3 го часу. Не было бала, гулянья, театра, который бы пропускала Жюли. Туалеты ее были всегда самые модные. Но, несмотря на это, Жюли казалась разочарована во всем, говорила всякому, что она не верит ни в дружбу, ни в любовь, ни в какие радости жизни, и ожидает успокоения только там . Она усвоила себе тон девушки, понесшей великое разочарованье, девушки, как будто потерявшей любимого человека или жестоко обманутой им. Хотя ничего подобного с ней не случилось, на нее смотрели, как на такую, и сама она даже верила, что она много пострадала в жизни. Эта меланхолия, не мешавшая ей веселиться, не мешала бывавшим у нее молодым людям приятно проводить время. Каждый гость, приезжая к ним, отдавал свой долг меланхолическому настроению хозяйки и потом занимался и светскими разговорами, и танцами, и умственными играми, и турнирами буриме, которые были в моде у Карагиных. Только некоторые молодые люди, в числе которых был и Борис, более углублялись в меланхолическое настроение Жюли, и с этими молодыми людьми она имела более продолжительные и уединенные разговоры о тщете всего мирского, и им открывала свои альбомы, исписанные грустными изображениями, изречениями и стихами.
