Правильный семнадцатиугольник
Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности.
Содержание
Свойства
Центральный угол α равен <math>\frac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ</math>.
Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет
- <math>s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675.</math>
Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в 1796 году. Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:
- <math>\cos \frac{360^\circ}{17} = </math>
- <math>= \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right).</math>
В этой же работе Гаусс доказал, что правильные многоугольники с числом сторон вида (числа Ферма <math>F_n</math>):
- <math>F_n=2^{2^n}+1,</math>
где <math>n</math> — неотрицательное целое число, — число сторон правильного многоугольника, могут быть построены с помощью циркуля и линейки, так как при построении используются не более чем извлечение квадратного корня из заданного отрезка.
Факты
- Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.
- В 1893 году Герберт Уильям Ричмонд[en] опубликовал явное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.
Построение
Точное построение
- Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
- Проводим её диаметр AB.
- Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
- Отмечаем точку E — середину DO.
- Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
- Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
- Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
- Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
- Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
- Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
- Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
- Строим касательную к k₃ через N.
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
- Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
- Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
- Делим пополам отрезок EB (точка F).
- строим перпендикуляр к AB в точке F.
- Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Анимированное построение Эрхингера
Звёздчатые формы
У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.
- 1st stellation of heptadecagon coloured.PNG
{17/2}
- 2nd stellation of heptadecagon coloured.png
{17/3}
- 3rd stellation of heptadecagon coloured.png
{17/4}
- 4th stellation of heptadecagon coloured.png
{17/5}
- 5th stellation of heptadecagon.png
{17/6}
- Pre-final stellation of heptadecagon.png
Предпоследняя {17/7}
- Final stellation of heptadecagon coloured.png
Последняя {17/8}
См. также
Напишите отзыв о статье "Правильный семнадцатиугольник"
Ссылки
- Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101—118.
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html Семнадцатиугольник] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
|
|
Отрывок, характеризующий Правильный семнадцатиугольник
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.Пьер, решившись во всем повиноваться своей руководительнице, направился к диванчику, который она ему указала. Как только Анна Михайловна скрылась, он заметил, что взгляды всех, бывших в комнате, больше чем с любопытством и с участием устремились на него. Он заметил, что все перешептывались, указывая на него глазами, как будто со страхом и даже с подобострастием. Ему оказывали уважение, какого прежде никогда не оказывали: неизвестная ему дама, которая говорила с духовными лицами, встала с своего места и предложила ему сесть, адъютант поднял уроненную Пьером перчатку и подал ему; доктора почтительно замолкли, когда он проходил мимо их, и посторонились, чтобы дать ему место. Пьер хотел сначала сесть на другое место, чтобы не стеснять даму, хотел сам поднять перчатку и обойти докторов, которые вовсе и не стояли на дороге; но он вдруг почувствовал, что это было бы неприлично, он почувствовал, что он в нынешнюю ночь есть лицо, которое обязано совершить какой то страшный и ожидаемый всеми обряд, и что поэтому он должен был принимать от всех услуги. Он принял молча перчатку от адъютанта, сел на место дамы, положив свои большие руки на симметрично выставленные колени, в наивной позе египетской статуи, и решил про себя, что всё это так именно должно быть и что ему в нынешний вечер, для того чтобы не потеряться и не наделать глупостей, не следует действовать по своим соображениям, а надобно предоставить себя вполне на волю тех, которые руководили им.
Не прошло и двух минут, как князь Василий, в своем кафтане с тремя звездами, величественно, высоко неся голову, вошел в комнату. Он казался похудевшим с утра; глаза его были больше обыкновенного, когда он оглянул комнату и увидал Пьера. Он подошел к нему, взял руку (чего он прежде никогда не делал) и потянул ее книзу, как будто он хотел испытать, крепко ли она держится.
– Courage, courage, mon ami. Il a demande a vous voir. C'est bien… [Не унывать, не унывать, мой друг. Он пожелал вас видеть. Это хорошо…] – и он хотел итти.
Но Пьер почел нужным спросить:
– Как здоровье…
Он замялся, не зная, прилично ли назвать умирающего графом; назвать же отцом ему было совестно.
– Il a eu encore un coup, il y a une demi heure. Еще был удар. Courage, mon аmi… [Полчаса назад у него был еще удар. Не унывать, мой друг…]
Пьер был в таком состоянии неясности мысли, что при слове «удар» ему представился удар какого нибудь тела. Он, недоумевая, посмотрел на князя Василия и уже потом сообразил, что ударом называется болезнь. Князь Василий на ходу сказал несколько слов Лоррену и прошел в дверь на цыпочках. Он не умел ходить на цыпочках и неловко подпрыгивал всем телом. Вслед за ним прошла старшая княжна, потом прошли духовные лица и причетники, люди (прислуга) тоже прошли в дверь. За этою дверью послышалось передвиженье, и наконец, всё с тем же бледным, но твердым в исполнении долга лицом, выбежала Анна Михайловна и, дотронувшись до руки Пьера, сказала:
– La bonte divine est inepuisable. C'est la ceremonie de l'extreme onction qui va commencer. Venez. [Милосердие Божие неисчерпаемо. Соборование сейчас начнется. Пойдемте.]
Пьер прошел в дверь, ступая по мягкому ковру, и заметил, что и адъютант, и незнакомая дама, и еще кто то из прислуги – все прошли за ним, как будто теперь уж не надо было спрашивать разрешения входить в эту комнату.
Пьер хорошо знал эту большую, разделенную колоннами и аркой комнату, всю обитую персидскими коврами. Часть комнаты за колоннами, где с одной стороны стояла высокая красного дерева кровать, под шелковыми занавесами, а с другой – огромный киот с образами, была красно и ярко освещена, как бывают освещены церкви во время вечерней службы. Под освещенными ризами киота стояло длинное вольтеровское кресло, и на кресле, обложенном вверху снежно белыми, не смятыми, видимо, только – что перемененными подушками, укрытая до пояса ярко зеленым одеялом, лежала знакомая Пьеру величественная фигура его отца, графа Безухого, с тою же седою гривой волос, напоминавших льва, над широким лбом и с теми же характерно благородными крупными морщинами на красивом красно желтом лице. Он лежал прямо под образами; обе толстые, большие руки его были выпростаны из под одеяла и лежали на нем. В правую руку, лежавшую ладонью книзу, между большим и указательным пальцами вставлена была восковая свеча, которую, нагибаясь из за кресла, придерживал в ней старый слуга. Над креслом стояли духовные лица в своих величественных блестящих одеждах, с выпростанными на них длинными волосами, с зажженными свечами в руках, и медленно торжественно служили. Немного позади их стояли две младшие княжны, с платком в руках и у глаз, и впереди их старшая, Катишь, с злобным и решительным видом, ни на мгновение не спуская глаз с икон, как будто говорила всем, что не отвечает за себя, если оглянется. Анна Михайловна, с кроткою печалью и всепрощением на лице, и неизвестная дама стояли у двери. Князь Василий стоял с другой стороны двери, близко к креслу, за резным бархатным стулом, который он поворотил к себе спинкой, и, облокотив на нее левую руку со свечой, крестился правою, каждый раз поднимая глаза кверху, когда приставлял персты ко лбу. Лицо его выражало спокойную набожность и преданность воле Божией. «Ежели вы не понимаете этих чувств, то тем хуже для вас», казалось, говорило его лицо.