Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение

Пара <math>\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right)</math> называется предгильбертовым пространством, если <math>X</math> — линейное пространство, а <math>\langle\cdot , \cdot\rangle</math> — определённое на <math>X</math> скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

<math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X</math>.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых <math>x</math> (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве <math>(H,\;\|\cdot\|)</math> справедлив закон параллелограмма, то <math>(H,\;\|\cdot\|)</math> — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение <math>(\cdot,\cdot)</math> такое, что <math>\|x\|=(x,x)^{1/2}</math>.

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом

<math>L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\,dx < \infty\right.\right\},</math>

если скалярное произведение определить как

<math>\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big).</math>

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство