Представление Гейзенберга

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
   Квантовая механика
<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.





Описание представления Гейзенберга

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор <math>\hat A </math>, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства <math> |\Psi\rangle </math>. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

<math>\frac{d}{dt}\hat A_H(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A_H(t)]+\frac{\partial \hat A_H}{\partial t},</math>

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга

Пусть <math>\hat A(t) </math> - оператор в представлении Шрёдингера, а <math>\hat A_H(t) </math> - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

<math> \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0), </math>

где <math> \hat S(t,t_0) </math> - оператор эволюции:

<math> \hat S(t,t_0)=T\left\{ \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t')\, dt'}\right) \right\}, t > t_0 </math>
<math> \hat S(t,t_0)=\overline{T}\left\{ \exp\left({\frac{i}{\hbar} \int_t^{t_0} H(t')\, dt'}\right) \right\}, t < t_0 </math>

где <math>T,\overline{T}</math> - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

<math> \hat S(t,t_0)=\exp\left({-\frac{i}{\hbar}\hat H(t-t_0)}\right), </math>

и унитарное преобразование принимает вид:

<math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar} </math>

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

<math> \hat H(t) \left| \Psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial \over \partial t} \left| \Psi (t) \right\rangle,</math>

где <math>\hat H(t)</math> - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции <math>\hat S(t,t_0)</math>, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

<math> \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle~~(2)</math>

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

<math>

i\hbar {\partial \over \partial t} \hat S(t,t_0) = \hat H(t) \hat S(t,t_0), ~~(3) </math>

<math>

\hat S(t_0,t_0)=\hat I. </math> где <math>\hat I</math> - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

<math> \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar} </math>

Теперь рассмотрим среднее значение оператора <math> \hat A </math> некоторой наблюдаемой величины:

<math> \langle \hat A(t) \rangle=\langle \Psi(t)| \hat A(t) | \Psi(t) \rangle=\langle \Psi(t_0)|\hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0) | \Psi(t_0) \rangle = \langle \Psi(t_0)| \hat A_H(t) | \Psi(t_0) \rangle </math>

Таким образом, оператор <math> \hat A </math> в представлении Гейзенберга определяется формулой:

<math> \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0)~~(4) </math>

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

<math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar} </math>

Продифференцируем формулу <math>(4) </math> по времени и используем уравнение <math>(3) </math>, тогда получим уравнение движения операторa <math>\hat A(t)</math> в Гейзенберговском представлении:

<math>{d \over dt} \hat A_H(t)= {i \over \hbar }[\hat H(t),\hat A_H(t)] + {\partial \over \partial t}\hat A_H(t)~~(5),</math>

где частная производная обозначает явную зависимость оператора <math>\hat A(t)</math> от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

<math> \hat H= \hbar\omega(\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2)</math>

Т. к. операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение <math>(5)</math> перепишется в виде

<math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= - \hbar\omega [\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2,\hat a_H(t)], </math>
<math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= \hbar\omega\hat a_H(t), </math>
<math> \hat a_H(t)=\hat a e^{-i\omega(t-t_0)}, </math>
<math> \hat a^{\dagger}_H(t)=\hat a^{\dagger} e^{i\omega(t-t_0)}. </math>

, где было использовано (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения <math>[\hat a,\hat a^{\dagger}]_{\mp}=1</math>

Применение

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также

Напишите отзыв о статье "Представление Гейзенберга"

Литература

  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д., Квантовые поля. М.: Наука, 1980. Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга. стр.55-56.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
  • Мессиа А., Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Глава VIII. Параграф 10. Представление Гейзенберга. стр.306-307.
  • Садбери А., Квантовая механика и физика элементарных частиц (Мир, 1989) (490с)Параграф 3.4. Гейзенберговская картина. стр.154-155.
  • В. Г. Сербо, Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки

  • [femto.com.ua/articles/part_1/0697.html Гейзенберга представление] — статья из Физической энциклопедии
  • [www.worldscibooks.com/etextbook/3770/3770_chap1_2.pdf Heisenberg picture (англ.)]

Отрывок, характеризующий Представление Гейзенберга

– Что ж вы не начинаете, Михаил Ларионович? – поспешно обратился император Александр к Кутузову, в то же время учтиво взглянув на императора Франца.
– Я поджидаю, ваше величество, – отвечал Кутузов, почтительно наклоняясь вперед.
Император пригнул ухо, слегка нахмурясь и показывая, что он не расслышал.
– Поджидаю, ваше величество, – повторил Кутузов (князь Андрей заметил, что у Кутузова неестественно дрогнула верхняя губа, в то время как он говорил это поджидаю ). – Не все колонны еще собрались, ваше величество.
Государь расслышал, но ответ этот, видимо, не понравился ему; он пожал сутуловатыми плечами, взглянул на Новосильцева, стоявшего подле, как будто взглядом этим жалуясь на Кутузова.
– Ведь мы не на Царицыном лугу, Михаил Ларионович, где не начинают парада, пока не придут все полки, – сказал государь, снова взглянув в глаза императору Францу, как бы приглашая его, если не принять участие, то прислушаться к тому, что он говорит; но император Франц, продолжая оглядываться, не слушал.
– Потому и не начинаю, государь, – сказал звучным голосом Кутузов, как бы предупреждая возможность не быть расслышанным, и в лице его еще раз что то дрогнуло. – Потому и не начинаю, государь, что мы не на параде и не на Царицыном лугу, – выговорил он ясно и отчетливо.
В свите государя на всех лицах, мгновенно переглянувшихся друг с другом, выразился ропот и упрек. «Как он ни стар, он не должен бы, никак не должен бы говорить этак», выразили эти лица.
Государь пристально и внимательно посмотрел в глаза Кутузову, ожидая, не скажет ли он еще чего. Но Кутузов, с своей стороны, почтительно нагнув голову, тоже, казалось, ожидал. Молчание продолжалось около минуты.
– Впрочем, если прикажете, ваше величество, – сказал Кутузов, поднимая голову и снова изменяя тон на прежний тон тупого, нерассуждающего, но повинующегося генерала.
Он тронул лошадь и, подозвав к себе начальника колонны Милорадовича, передал ему приказание к наступлению.
Войско опять зашевелилось, и два батальона Новгородского полка и батальон Апшеронского полка тронулись вперед мимо государя.
В то время как проходил этот Апшеронский батальон, румяный Милорадович, без шинели, в мундире и орденах и со шляпой с огромным султаном, надетой набекрень и с поля, марш марш выскакал вперед и, молодецки салютуя, осадил лошадь перед государем.
– С Богом, генерал, – сказал ему государь.
– Ma foi, sire, nous ferons ce que qui sera dans notre possibilite, sire, [Право, ваше величество, мы сделаем, что будет нам возможно сделать, ваше величество,] – отвечал он весело, тем не менее вызывая насмешливую улыбку у господ свиты государя своим дурным французским выговором.
Милорадович круто повернул свою лошадь и стал несколько позади государя. Апшеронцы, возбуждаемые присутствием государя, молодецким, бойким шагом отбивая ногу, проходили мимо императоров и их свиты.
– Ребята! – крикнул громким, самоуверенным и веселым голосом Милорадович, видимо, до такой степени возбужденный звуками стрельбы, ожиданием сражения и видом молодцов апшеронцев, еще своих суворовских товарищей, бойко проходивших мимо императоров, что забыл о присутствии государя. – Ребята, вам не первую деревню брать! – крикнул он.
– Рады стараться! – прокричали солдаты.
Лошадь государя шарахнулась от неожиданного крика. Лошадь эта, носившая государя еще на смотрах в России, здесь, на Аустерлицком поле, несла своего седока, выдерживая его рассеянные удары левой ногой, настораживала уши от звуков выстрелов, точно так же, как она делала это на Марсовом поле, не понимая значения ни этих слышавшихся выстрелов, ни соседства вороного жеребца императора Франца, ни всего того, что говорил, думал, чувствовал в этот день тот, кто ехал на ней.
Государь с улыбкой обратился к одному из своих приближенных, указывая на молодцов апшеронцев, и что то сказал ему.


Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.