Преобразование координат

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном <math>n</math>-мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат <math>\{r,\varphi\}</math> к декартовым <math>\{x, y\}</math> на евклидовой плоскости:

<math>\begin{cases} x=r \cos \varphi \\ y=r \sin \varphi \end{cases}</math>

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.





Определение и классификация

Преобразование координат — совокупность правил[1], ставящих в соответствие каждому набору координат <math>\{x_1, x_2 \dots x_n\}</math> на некотором <math>n</math>-мерном многообразии другой набор координат <math>\{x_1', x_2' \dots x_n'\}</math>:

<math>\begin{cases} x_1' = x_1'(x_1, x_2, \dots x_n)

\\ x_2' = x_2'(x_1, x_2, \dots x_n) \\ \dots \\ x_n' = x_n'(x_1, x_2, \dots x_n) \end{cases}</math>

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Это преобразование может трактоваться двояко[2].

  1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
  2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

Пример для евклидовой плоскости:

<math>\begin{cases} x' = x + 1 \\ y' = y \end{cases}</math>

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

  1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
  2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси <math>x.</math>

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы — например, выделить вращения, линейные преобразования, преобразования, сохраняющие длины и т. д. Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное.

Инварианты

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняются[3]. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

См. также

Напишите отзыв о статье "Преобразование координат"

Литература

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
  • Корн Г., Корн Т. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Справочник по математике (для научных работников и инженеров)]. — М.: Наука, 1973. — 720 с.
  • Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.

Ссылки

  • [www.math.ru/lib/files/pdf/geometry/Zaslavsky.pdf Заславский А. А. Геометрические преобразования].

Примечания

  1. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 362..
  2. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 362—363..
  3. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 363..

Отрывок, характеризующий Преобразование координат

Но ружья остались заряжены, бойницы в домах и укреплениях так же грозно смотрели вперед и так же, как прежде, остались друг против друга обращенные, снятые с передков пушки.


Объехав всю линию войск от правого до левого фланга, князь Андрей поднялся на ту батарею, с которой, по словам штаб офицера, всё поле было видно. Здесь он слез с лошади и остановился у крайнего из четырех снятых с передков орудий. Впереди орудий ходил часовой артиллерист, вытянувшийся было перед офицером, но по сделанному ему знаку возобновивший свое равномерное, скучливое хождение. Сзади орудий стояли передки, еще сзади коновязь и костры артиллеристов. Налево, недалеко от крайнего орудия, был новый плетеный шалашик, из которого слышались оживленные офицерские голоса.
Действительно, с батареи открывался вид почти всего расположения русских войск и большей части неприятеля. Прямо против батареи, на горизонте противоположного бугра, виднелась деревня Шенграбен; левее и правее можно было различить в трех местах, среди дыма их костров, массы французских войск, которых, очевидно, большая часть находилась в самой деревне и за горою. Левее деревни, в дыму, казалось что то похожее на батарею, но простым глазом нельзя было рассмотреть хорошенько. Правый фланг наш располагался на довольно крутом возвышении, которое господствовало над позицией французов. По нем расположена была наша пехота, и на самом краю видны были драгуны. В центре, где и находилась та батарея Тушина, с которой рассматривал позицию князь Андрей, был самый отлогий и прямой спуск и подъем к ручью, отделявшему нас от Шенграбена. Налево войска наши примыкали к лесу, где дымились костры нашей, рубившей дрова, пехоты. Линия французов была шире нашей, и ясно было, что французы легко могли обойти нас с обеих сторон. Сзади нашей позиции был крутой и глубокий овраг, по которому трудно было отступать артиллерии и коннице. Князь Андрей, облокотясь на пушку и достав бумажник, начертил для себя план расположения войск. В двух местах он карандашом поставил заметки, намереваясь сообщить их Багратиону. Он предполагал, во первых, сосредоточить всю артиллерию в центре и, во вторых, кавалерию перевести назад, на ту сторону оврага. Князь Андрей, постоянно находясь при главнокомандующем, следя за движениями масс и общими распоряжениями и постоянно занимаясь историческими описаниями сражений, и в этом предстоящем деле невольно соображал будущий ход военных действий только в общих чертах. Ему представлялись лишь следующего рода крупные случайности: «Ежели неприятель поведет атаку на правый фланг, – говорил он сам себе, – Киевский гренадерский и Подольский егерский должны будут удерживать свою позицию до тех пор, пока резервы центра не подойдут к ним. В этом случае драгуны могут ударить во фланг и опрокинуть их. В случае же атаки на центр, мы выставляем на этом возвышении центральную батарею и под ее прикрытием стягиваем левый фланг и отступаем до оврага эшелонами», рассуждал он сам с собою…
Всё время, что он был на батарее у орудия, он, как это часто бывает, не переставая, слышал звуки голосов офицеров, говоривших в балагане, но не понимал ни одного слова из того, что они говорили. Вдруг звук голосов из балагана поразил его таким задушевным тоном, что он невольно стал прислушиваться.
– Нет, голубчик, – говорил приятный и как будто знакомый князю Андрею голос, – я говорю, что коли бы возможно было знать, что будет после смерти, тогда бы и смерти из нас никто не боялся. Так то, голубчик.
Другой, более молодой голос перебил его:
– Да бойся, не бойся, всё равно, – не минуешь.
– А всё боишься! Эх вы, ученые люди, – сказал третий мужественный голос, перебивая обоих. – То то вы, артиллеристы, и учены очень оттого, что всё с собой свезти можно, и водочки и закусочки.
И владелец мужественного голоса, видимо, пехотный офицер, засмеялся.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Преобразование_координат&oldid=79196169»