Преобразования Лоренца

Для термина «Лоренц» см. также другие значения.

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры <math>(n-1,\;1)</math> находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Преобразования Лоренца в математике

Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).

Определение

Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства <math>L</math> — это линейное преобразование <math>A\colon L\to L</math>, сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов <math>x,\;y\in L</math> выполняется равенство

<math>\langle A(x),\;A(y)\rangle=\langle x,\;y\rangle,</math>

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение <math>\langle x,\;y\rangle</math> в псевдоевклидовом пространстве <math>L</math>.

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).

Общие свойства

• Так как любое аффинное преобразование является композицией параллельного переноса (очевидным образом, сохраняющего расстояние между точками) и преобразования, имеющего неподвижную точку, то группа преобразований Лоренца аффинного пространства (группа Пуанкаре) получается из группы преобразований Лоренца векторного пространства (группа Лоренца) такой же размерности путём добавления к ней всевозможных параллельных переносов.
• Если в псевдоевклидовом векторном пространстве <math>L</math> выбран некоторый базис <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math>, то для индефинитного скалярного произведения <math>\langle x,\;y\rangle</math> определена матрица Грама <math>G</math>. Тогда матрица <math>A</math> преобразования Лоренца удовлетворяет соотношению

<math>A^T\,G\,A=G,\qquad(*)</math>

И обратно, любая матрица <math>A</math>, удовлетворяющая соотношению <math>(*)</math>, является матрицей преобразования Лоренца. Всегда можно выбрать базис <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math> таким образом, что индефинитное скалярное произведение имеет вид

<math>\langle x,\;y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_ky_k-x_{k+1}y_{k+1}-\ldots-x_ny_n,</math>

и в равенстве <math>(*)</math> матрица <math>G</math> ― диагональная с элементами <math>1</math> (первые <math>k</math>) и <math>-1</math> (последние <math>n-k</math>).

• Из соотношения <math>(*)</math> следует, что, как и в случае ортогонального преобразования, определитель <math>|A|=+1</math> или <math>|A|=-1</math>.
• Если подпространство <math>L_1\subset L</math> инвариантно относительно лоренцева преобразования <math>A\colon L\to L</math>, то и его ортогональное (в смысле данного индефинитного скалярного произведения) дополнение <math>L_1^\perp</math> тоже инвариантно относительно преобразования <math>A</math>, причем <math>\dim L_1+\dim L_1^\perp=\dim L</math>. Однако, в отличие от ортогональных преобразований евклидовых пространств, равенство <math>L_1\oplus L_1^\perp=L</math>, где символ <math>\oplus</math> означает прямую сумму подпространств, вообще говоря, не имеет места (оба подпространства <math>L_1</math> и <math>L_1^\perp</math> могут содержать одни и те же ненулевые изотропные векторы, то есть <math>L_1\cap L_1^\perp\neq 0</math>, так как любой изотропный вектор ортогонален сам себе).

Свойства в пространствах сигнатуры (n-1, 1)

• Из равенства <math>\langle A(x),\;A(x)\rangle=\langle x,\;x\rangle</math> следует, что лоренцево преобразование переводит световой конус в себя, а также переводит в себя его внешность (в СТО — область абсолютно удалённого). Однако при этом две компоненты светового конуса, разделенные его вершиной (в СТО они ограничивают конус будущего и конус прошлого), могут либо переходить в себя, либо меняться друг с другом местами.
• Исходя из того, переставляет ли данное лоренцево преобразование <math>A</math> части светового конуса, или оставляет их на месте, а также из знака определителя <math>|A|=\pm 1</math>, группу Лоренца можно разделить на 4 части, которые являются её линейно связными компонентами (но подгруппой является лишь одна из них). Этот факт (наличие четырёх компонент связности) часто интерпретируют как наличие четырёх ориентаций псевдоевклидова пространства (в отличие от евклидова пространства, где есть только две ориентации).

Явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости

Лоренцевы преобразования псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, используя базис <math>e,\;g</math>, состоящий из двух изотропных векторов:

<math>\langle e,\;e\rangle=0,\quad\langle g,\;g\rangle=0,\quad\langle e,\;g\rangle=1/2.</math>

Именно, в зависимости от знака определителя <math>|A|=\pm 1</math>, матрица преобразования в данном базисе имеет вид:

<math>A=\begin{pmatrix} a&\ \ \, 0\\ 0&\, 1/a\end{pmatrix} \ \Leftrightarrow \ |A|=+1, \qquad

A=\begin{pmatrix} 0&\ a\\ 1/a&\,0\end{pmatrix} \ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.</math> Знак числа <math>a</math> определяет то, оставляет ли преобразование <math>A</math> части светового конуса на месте <math>(a>0)</math>, или меняет их местами <math>(a<0)</math>.

Другой часто встречающийся вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получается при выборе базиса, состоящего из векторов <math>e'=e+g</math> и <math>g'=e-g</math>:

<math>\langle e',\;e'\rangle=+1,\quad\langle g',\;g'\rangle=-1,\quad\langle e',\;g'\rangle=0.</math>

В базисе <math>e',\;g'</math> матрица преобразования <math>A</math> имеет одну из четырёх форм:

<math>\begin{pmatrix}\ \operatorname{ch}\varphi& \ \ \operatorname{sh}\varphi\\

\,\operatorname{sh}\varphi& \ \operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\ -\operatorname{ch}\varphi& \, \ -\operatorname{sh}\varphi\\ \,-\operatorname{sh}\varphi& \, -\operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -\operatorname{ch}\varphi& \, -\operatorname{sh}\varphi\\ \,\operatorname{sh}\varphi& \ \operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\ \operatorname{ch}\varphi& \ \, \operatorname{sh}\varphi\\ \,-\operatorname{sh}\varphi& \, -\operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \qquad (0)</math> где <math>\operatorname{sh}</math> и <math>\operatorname{ch}</math> — гиперболические синус и косинус, а <math>\varphi</math> — быстрота.

Явный вид преобразований пространства сигнатуры (n-1, 1)

Лоренцевы преобразования <math>n</math>-мерного псевдоевклидова пространства <math>L</math> со скалярным произведением

<math>\langle x,\;y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_{n-1}y_{n-1}-x_ny_n\quad(1)</math>

описываются следующей теоремой.

Теорема 1. Для всякого лоренцева преобразования <math>A\colon L\to L</math> существуют такие инвариантные подпространства <math>L_0\subset L</math> и <math>L_1\subset L</math>, что ограничение скалярного произведения (1) на каждое из них невырождено и имеет место ортогональное разложение <math>L=L_0\oplus L_1,\quad L_0\perp L_1,</math> причем подпространство <math>L_0</math> со скалярным произведением (1) является евклидовым и <math>\dim L_1\leqslant 3</math>.

Теорема 1 утверждает, что любое лоренцево преобразование псевдоевклидова пространства <math>L</math> сигнатуры <math>(n-1,\;1)</math> задается лоренцевым преобразованием псевдоевклидова пространства <math>L_1\subset L</math> размерности 1 или 2 или 3 и ортогональным преобразованием евклидова пространства <math>L_0\subset L</math> дополнительной размерности.

Лемма. Если <math>\dim L_1=3</math>, то инвариантное псевдоевклидово подпространство <math>L_1</math>, в свою очередь, представимо в виде прямой суммы <math>L_1=M_1\oplus M_2\oplus M_3</math> или <math>L_1=M_1\oplus M_2</math> подпространств <math>M_i\subset L_1</math>, попарно ортогональных и инвариантных относительно преобразования <math>A</math>, за исключением одного единственного случая, когда преобразование <math>A\colon L_1\to L_1</math> имеет единственное собственное значение <math>\lambda=\pm 1</math> кратности 3 и единственный собственный вектор <math>e\in L_1</math> является изотропным: <math>\langle e,\;e\rangle=0</math>. В этом единственном случае инвариантное подпространство <math>L_1</math> не разлагается в прямую сумму никаких подпространств, инвариантных относительно преобразования <math>A\colon L_1\to L_1</math>, а является трёхмерным корневым подпространством этого преобразования.

Теорема 1 вместе с леммой позволяют установить следующий результат:

Теорема 2. Для всякого лоренцева преобразования <math>A\colon L\to L</math> существует такой ортонормированный (относительно индефинитного скалярного произведения (1)) базис <math>e_1,\;\ldots,\;e_n</math>: <math>\langle e_1,\;e_1\rangle=\ldots=\langle e_{n-1},\;e_{n-1}\rangle=+1,\quad\langle e_n,\;e_n\rangle=-1,\quad\langle e_i,\;e_j\rangle=0\;(\forall i\neq j),</math> в котором матрица <math>A</math> имеет блочно-диагональный вид с блоками следующих типов: порядка 1 с элементом <math>\pm 1</math>, порядка 2 — матрица поворота евклидовой плоскости на угол <math>\varphi</math>, порядка 2 — матрица лоренцева преобразования псевдоевклидовой плоскости вида <math>(0)</math>, порядка 3 — матрица лоренцева преобразования трёхмерного псевдоевклидова пространства с трёхкратным собственным значением <math>\lambda=\pm 1</math> и единственным собственным вектором, являющимся изотропным. При этом матрица <math>A</math> может содержать не более одного блока, относящегося двум последним типам.

Кроме того, имеет место следующее представление лоренцевых преобразований <math>n</math>-мерного псевдоевклидова пространства <math>L</math> со скалярным произведением <math>(1)</math>.

Теорема 3. Всякое лоренцево преобразование <math>A\colon L\to L</math> пространства <math>L</math> со скалярным произведением <math>(1)</math> представимо в виде композиции следующих линейных преобразований: ортогонального преобразования евклидова подпространства, заданного уравнением <math>x_n=0</math>, с координатами <math>(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})</math>, лоренцева преобразования псевдоевклидовой плоскости с координатами <math>(x_i,\;x_n)</math> с некоторым <math>i<n</math>, отражений вида <math>x_i\mapsto\pm x_i</math>, <math>i\in\{1,\;\ldots,\;n\}</math>.

Преобразования Лоренца в физике

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты <math>(x,\;y,\;z,\;t)</math> каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца векторного пространства (т.е. без сдвигов начала отсчёта) образуют группу Лоренца, а преобразования Лоренца аффинного пространства (т.е. со сдвигами) — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами, преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

• Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под <math>c</math> следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике).

Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Если ИСО <math>K'</math> движется относительно ИСО <math>K</math> с постоянной скоростью <math>v</math> вдоль оси <math>x</math>, а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

<math>x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>

<math>y'=y,\ </math>

<math>z'=z,\ </math>

<math>t'=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>

где <math>c</math> — скорость света, величины со штрихами измерены в системе <math>K'</math>, без штрихов — в <math>K</math>.

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемая иногда бустом (англ. boost) или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает, по сути, всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

• Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие <math>x',\;y',\;z',\;t'</math> через <math>x,\;y,\;z,\;t</math> можно получить просто заменой <math>v</math> на <math>-v</math> (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта <math>|v|</math> одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить <math>v</math> штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой «штрихованных» <math>x</math> и <math>t</math> с «нештрихованными». Или решая систему уравнений (1) относительно <math>x',\;y',\;z',\;t'</math>.
• Надо иметь в виду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где <math>c=1,</math> что действительно делает их вид более изящным.
• Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того, у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым <math>c</math>), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Анри Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом <math>c</math> в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

Разные формы записи преобразований

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

<math>\mathbf{r}'=\mathbf{i}x'+\mathbf{j}y'+\mathbf{k}z',</math>

где <math>\mathbf{i},\;\mathbf{j},\;\mathbf{k}</math> — орты, надо разбить на составляющую <math>\mathbf{r}'_\|</math> параллельную скорости и составляющую <math>\mathbf{r}'_\perp</math> ей перпендикулярную

<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_\| + \mathbf{r}'_\perp.</math>

Тогда преобразования получат вид

<math>\mathbf{r}_\|=\frac{\mathbf{r}'_\|+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\quad\mathbf{r}_\perp=\mathbf{r}'_\perp,\quad t=\frac{t'+(v/c^2)r_\|}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>

где <math>v=\left|\mathbf{v}\right|</math> — абсолютная величина скорости, <math>r_\|=\left|\mathbf{r}_\|\right|</math> — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

<math>\mathbf{r}=\frac{\mathbf{r}'+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{1}{v^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)(\mathbf{r}'\otimes\mathbf{v})\otimes\mathbf{v};</math>

<math>t=\frac{t'+\mathbf{r'v}/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

<math>\begin{bmatrix}

ct \\x \\y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma&-\dfrac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\dfrac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix},</math> где Лоренц-фактор <math>\gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.</math>

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

<math>\begin{bmatrix} ct \\ \vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

\gamma & -\dfrac{\vec v}{c}\gamma \\ -\dfrac{\vec v}{c}\gamma & I+\dfrac{\vec v\otimes\vec v}{v^2}(\gamma-1)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ \vec r\,'\end{bmatrix},</math>

где <math>I</math> — единичная матрица <math>3\times 3,</math> <math>\otimes</math> — тензорное умножение трёхмерных векторов.

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

Свойства преобразований Лоренца

• Можно заметить, что в случае, когда <math>c\to\infty,</math> преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда <math>v/c\to 0.</math> Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последнее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень высокой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.
• Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал для любой пары событий (точек пространства-времени) — то есть любой пары точек пространства-времени Минковского:

<math>s=\sqrt{c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}=\sqrt{c^2(\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2}.</math>

Убедиться в этом нетрудно, например, проверив явно то, что матрица преобразования Лоренца <math>L</math> ортогональна в смысле метрики Минковского:

<math>\eta_{ik}=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}\right],</math>

определяемой таким выражением, то есть <math>\sum_{i,\;k}L^i_j\eta_{ik}L^k_m=\delta_{jm}.</math> Это проще всего проделать для буста, а для трёхмерных вращений это очевидно из определения декартовых координат, кроме того, сдвиги начала отсчёта не меняют разностей координат. Следовательно, это свойство верно и для любых композиций бустов, вращений и сдвигов, что и составляет полную группу Пуанкаре; как только мы узнали, что преобразования координат ортогональны, из этого сразу следует, что формула для расстояния остаётся неизменной при переходе к новой системе координат — по определению ортогональных преобразований.

• В частности, инвариантность интервала имеет место и для случая <math>s=0,</math> а значит, гиперповерхность в пространстве-времени, которая определяется равенством нулю интервала до заданной точки — световой конус — является неподвижной при преобразованиях Лоренца (что является проявлением инвариантности скорости света). Внутренность двух полостей конуса соответствует времениподобным — вещественным — интервалам от их точек до вершины, внешняя область — пространственноподобным — чисто мнимым (в принятой в этой статье сигнатуре интервала).
• Другие инвариантные гиперповерхности однородных преобразований Лоренца (аналоги сферы для пространства Минковского) — гиперболоиды: двуполостный гиперболоид для времениподобных интервалов относительно начала координат, и однополостный — для пространственноподобных интервалов.
• Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц <math>c=1</math>) можно представить как:

  <math>\begin{bmatrix}

\mathop{\rm ch}\,\theta & -\mathop{\rm sh}\,\theta & 0 & 0\\ -\mathop{\rm sh}\,\theta & \mathop{\rm ch}\,\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix},</math> где <math>\theta=\mathop{\rm Arth}\,(v/c)\ </math>. В этом легко убедиться, учитывая <math>\rm ch^2\,\theta-\rm sh^2\,\theta=1\ </math> и проверив выполнение соответствующего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

• Если принять введённые Минковским обозначения <math>x_0=i\,ct,\;x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z\ </math>, то преобразование Лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось <math>x_0\ </math> (для случая движения вдоль оси <math>x_1\ </math> — в плоскости <math>x_0x_1</math>). Это очевидно, исходя из подстановки <math>\mathop{\rm ch}\,\theta=\mathop{\rm cos}\,(i\,\theta),\;\mathop{\rm sh}\,\theta=-i\,\mathop{\rm sin}\,(i\theta)</math> в матрицу, приведенную чуть выше — и её небольшого изменения для того, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты — и сравнении её с обычной матрицей вращения.

Следствия преобразований Лоренца

Изменение длины

Пусть в системе отсчета <math>K'</math> покоится стержень, и координаты его начала и конца равны <math>x_1'</math>, <math>x_2'</math>. Для определения длины стержня в системе <math>K</math> фиксируются координаты этих же точек в один и тот же момент времени системы <math>K</math>. Пусть <math>l_0=x_2'-x_1'</math> — собственная длина стержня в <math>K'</math>, а <math>l=x_2-x_1</math> — длина стержня в <math>K</math>. Тогда из преобразований Лоренца следует:

<math>l_0 =x'_2-x'_1=\frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-\frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}</math>

или

<math>l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.</math>

Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная «неподвижными» наблюдателями, оказывается меньше, чем собственная длина стержня.

Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. При <math>\Delta t'=0</math> из преобразований Лоренца следует:

Если <math>\Delta x=x_2-x_1>0</math>, то и <math>\Delta t=t_2-t_1>0</math>. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого (<math>t_2>t_1</math>). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси <math>x</math> расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время. Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе <math>S</math>. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в <math>S'</math> (правый рисунок).

Связанные определения

Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учетом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась лоренц-инвариантность.

История

Данный вид преобразований, по предложению А. Пуанкаре, назван в честь голландского физика Х. А. Лоренца, который в серии работ (1892, 1895, 1899 годы) опубликовал их приближённый вариант (с точностью до членов порядка <math>v^2/c^2</math>). Позднее историки физики обнаружили, что эти преобразования были опубликованы независимо другими физиками:

1. 1887 год: В. Фогт, при исследовании эффекта Доплера.
2. 1897 год: Дж. Лармор, его целью было обнаружить преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны.

Лоренц исследовал связь параметров двух электромагнитных процессов, один из которых неподвижен относительно эфира, а другой движется.

Современный вид формулам преобразования придали французский математик А. Пуанкаре (1900 год) и (параллельно и независимо) А. Эйнштейн (1905 год). Пуанкаре первым установил и детально изучил одно из самых важных свойств преобразований Лоренца — их групповую структуру, и показал, что «преобразования Лоренца представляют ничто иное как поворот в пространстве четырёх измерений, точки которого имеют координаты <math>(x,\;y,\;z,\;it)</math>». Пуанкаре ввёл термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца» и показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (то есть системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея.

Эйнштейн в своей теории относительности (1905 год) распространил преобразования Лоренца на все физические (не только электромагнитные) процессы и указал, что все физические законы должны быть инвариантны относительно этих преобразований. Геометрическую четырёхмерную модель кинематики теории относительности, где преобразования Лоренца играют роль вращения координат, открыл Герман Минковский.

В 1910 году В. С. Игнатовский первым попытался получить преобразование Лоренца на основе теории групп и без использования постулата о постоянстве скорости света.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Физическая энциклопедия, т. 2 — М.: Большая Российская Энциклопедия [www.physicum.narod.ru/vol_2/608.pdf стр. 608] и [www.physicum.narod.ru/vol_2/609.pdf стр. 609].
• Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.
• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представление группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит , 2009.

См. также

• Сложное движение (формула преобразования скорости, согласованная с преобразованиями Лоренца)
• Прецессия Томаса
• Группа Лоренца

Ссылки

• [synset.com/ru/Преобразования_Лоренца Преобразования Лоренца] в книге [synset.com/ru/Релятивистский_мир Релятивистский мир]

Отрывок, характеризующий Преобразования Лоренца

Иногда она вспоминала его взгляды, его участие, его слова, и ей казалось счастье не невозможным. И тогда то Дуняша замечала, что она, улыбаясь, глядела в окно кареты.
«И надо было ему приехать в Богучарово, и в эту самую минуту! – думала княжна Марья. – И надо было его сестре отказать князю Андрею! – И во всем этом княжна Марья видела волю провиденья.
Впечатление, произведенное на Ростова княжной Марьей, было очень приятное. Когда ои вспоминал про нее, ему становилось весело, и когда товарищи, узнав о бывшем с ним приключении в Богучарове, шутили ему, что он, поехав за сеном, подцепил одну из самых богатых невест в России, Ростов сердился. Он сердился именно потому, что мысль о женитьбе на приятной для него, кроткой княжне Марье с огромным состоянием не раз против его воли приходила ему в голову. Для себя лично Николай не мог желать жены лучше княжны Марьи: женитьба на ней сделала бы счастье графини – его матери, и поправила бы дела его отца; и даже – Николай чувствовал это – сделала бы счастье княжны Марьи. Но Соня? И данное слово? И от этого то Ростов сердился, когда ему шутили о княжне Болконской.


Приняв командование над армиями, Кутузов вспомнил о князе Андрее и послал ему приказание прибыть в главную квартиру.
Князь Андрей приехал в Царево Займище в тот самый день и в то самое время дня, когда Кутузов делал первый смотр войскам. Князь Андрей остановился в деревне у дома священника, у которого стоял экипаж главнокомандующего, и сел на лавочке у ворот, ожидая светлейшего, как все называли теперь Кутузова. На поле за деревней слышны были то звуки полковой музыки, то рев огромного количества голосов, кричавших «ура!новому главнокомандующему. Тут же у ворот, шагах в десяти от князя Андрея, пользуясь отсутствием князя и прекрасной погодой, стояли два денщика, курьер и дворецкий. Черноватый, обросший усами и бакенбардами, маленький гусарский подполковник подъехал к воротам и, взглянув на князя Андрея, спросил: здесь ли стоит светлейший и скоро ли он будет?
Князь Андрей сказал, что он не принадлежит к штабу светлейшего и тоже приезжий. Гусарский подполковник обратился к нарядному денщику, и денщик главнокомандующего сказал ему с той особенной презрительностью, с которой говорят денщики главнокомандующих с офицерами:
– Что, светлейший? Должно быть, сейчас будет. Вам что?
Гусарский подполковник усмехнулся в усы на тон денщика, слез с лошади, отдал ее вестовому и подошел к Болконскому, слегка поклонившись ему. Болконский посторонился на лавке. Гусарский подполковник сел подле него.
– Тоже дожидаетесь главнокомандующего? – заговорил гусарский подполковник. – Говог'ят, всем доступен, слава богу. А то с колбасниками беда! Недаг'ом Ег'молов в немцы пг'осился. Тепег'ь авось и г'усским говог'ить можно будет. А то чег'т знает что делали. Все отступали, все отступали. Вы делали поход? – спросил он.
– Имел удовольствие, – отвечал князь Андрей, – не только участвовать в отступлении, но и потерять в этом отступлении все, что имел дорогого, не говоря об именьях и родном доме… отца, который умер с горя. Я смоленский.
– А?.. Вы князь Болконский? Очень г'ад познакомиться: подполковник Денисов, более известный под именем Васьки, – сказал Денисов, пожимая руку князя Андрея и с особенно добрым вниманием вглядываясь в лицо Болконского. – Да, я слышал, – сказал он с сочувствием и, помолчав немного, продолжал: – Вот и скифская война. Это все хог'ошо, только не для тех, кто своими боками отдувается. А вы – князь Андг'ей Болконский? – Он покачал головой. – Очень г'ад, князь, очень г'ад познакомиться, – прибавил он опять с грустной улыбкой, пожимая ему руку.
Князь Андрей знал Денисова по рассказам Наташи о ее первом женихе. Это воспоминанье и сладко и больно перенесло его теперь к тем болезненным ощущениям, о которых он последнее время давно уже не думал, но которые все таки были в его душе. В последнее время столько других и таких серьезных впечатлений, как оставление Смоленска, его приезд в Лысые Горы, недавнее известно о смерти отца, – столько ощущений было испытано им, что эти воспоминания уже давно не приходили ему и, когда пришли, далеко не подействовали на него с прежней силой. И для Денисова тот ряд воспоминаний, которые вызвало имя Болконского, было далекое, поэтическое прошедшее, когда он, после ужина и пения Наташи, сам не зная как, сделал предложение пятнадцатилетней девочке. Он улыбнулся воспоминаниям того времени и своей любви к Наташе и тотчас же перешел к тому, что страстно и исключительно теперь занимало его. Это был план кампании, который он придумал, служа во время отступления на аванпостах. Он представлял этот план Барклаю де Толли и теперь намерен был представить его Кутузову. План основывался на том, что операционная линия французов слишком растянута и что вместо того, или вместе с тем, чтобы действовать с фронта, загораживая дорогу французам, нужно было действовать на их сообщения. Он начал разъяснять свой план князю Андрею.
– Они не могут удержать всей этой линии. Это невозможно, я отвечаю, что пг'ог'ву их; дайте мне пятьсот человек, я г'азог'ву их, это вег'но! Одна система – паг'тизанская.
Денисов встал и, делая жесты, излагал свой план Болконскому. В средине его изложения крики армии, более нескладные, более распространенные и сливающиеся с музыкой и песнями, послышались на месте смотра. На деревне послышался топот и крики.
– Сам едет, – крикнул казак, стоявший у ворот, – едет! Болконский и Денисов подвинулись к воротам, у которых стояла кучка солдат (почетный караул), и увидали подвигавшегося по улице Кутузова, верхом на невысокой гнедой лошадке. Огромная свита генералов ехала за ним. Барклай ехал почти рядом; толпа офицеров бежала за ними и вокруг них и кричала «ура!».
Вперед его во двор проскакали адъютанты. Кутузов, нетерпеливо подталкивая свою лошадь, плывшую иноходью под его тяжестью, и беспрестанно кивая головой, прикладывал руку к бедой кавалергардской (с красным околышем и без козырька) фуражке, которая была на нем. Подъехав к почетному караулу молодцов гренадеров, большей частью кавалеров, отдававших ему честь, он с минуту молча, внимательно посмотрел на них начальническим упорным взглядом и обернулся к толпе генералов и офицеров, стоявших вокруг него. Лицо его вдруг приняло тонкое выражение; он вздернул плечами с жестом недоумения.
– И с такими молодцами всё отступать и отступать! – сказал он. – Ну, до свиданья, генерал, – прибавил он и тронул лошадь в ворота мимо князя Андрея и Денисова.
– Ура! ура! ура! – кричали сзади его.
С тех пор как не видал его князь Андрей, Кутузов еще потолстел, обрюзг и оплыл жиром. Но знакомые ему белый глаз, и рана, и выражение усталости в его лице и фигуре были те же. Он был одет в мундирный сюртук (плеть на тонком ремне висела через плечо) и в белой кавалергардской фуражке. Он, тяжело расплываясь и раскачиваясь, сидел на своей бодрой лошадке.
– Фю… фю… фю… – засвистал он чуть слышно, въезжая на двор. На лице его выражалась радость успокоения человека, намеревающегося отдохнуть после представительства. Он вынул левую ногу из стремени, повалившись всем телом и поморщившись от усилия, с трудом занес ее на седло, облокотился коленкой, крякнул и спустился на руки к казакам и адъютантам, поддерживавшим его.
Он оправился, оглянулся своими сощуренными глазами и, взглянув на князя Андрея, видимо, не узнав его, зашагал своей ныряющей походкой к крыльцу.
– Фю… фю… фю, – просвистал он и опять оглянулся на князя Андрея. Впечатление лица князя Андрея только после нескольких секунд (как это часто бывает у стариков) связалось с воспоминанием о его личности.
– А, здравствуй, князь, здравствуй, голубчик, пойдем… – устало проговорил он, оглядываясь, и тяжело вошел на скрипящее под его тяжестью крыльцо. Он расстегнулся и сел на лавочку, стоявшую на крыльце.
– Ну, что отец?
– Вчера получил известие о его кончине, – коротко сказал князь Андрей.
Кутузов испуганно открытыми глазами посмотрел на князя Андрея, потом снял фуражку и перекрестился: «Царство ему небесное! Да будет воля божия над всеми нами!Он тяжело, всей грудью вздохнул и помолчал. „Я его любил и уважал и сочувствую тебе всей душой“. Он обнял князя Андрея, прижал его к своей жирной груди и долго не отпускал от себя. Когда он отпустил его, князь Андрей увидал, что расплывшие губы Кутузова дрожали и на глазах были слезы. Он вздохнул и взялся обеими руками за лавку, чтобы встать.
– Пойдем, пойдем ко мне, поговорим, – сказал он; но в это время Денисов, так же мало робевший перед начальством, как и перед неприятелем, несмотря на то, что адъютанты у крыльца сердитым шепотом останавливали его, смело, стуча шпорами по ступенькам, вошел на крыльцо. Кутузов, оставив руки упертыми на лавку, недовольно смотрел на Денисова. Денисов, назвав себя, объявил, что имеет сообщить его светлости дело большой важности для блага отечества. Кутузов усталым взглядом стал смотреть на Денисова и досадливым жестом, приняв руки и сложив их на животе, повторил: «Для блага отечества? Ну что такое? Говори». Денисов покраснел, как девушка (так странно было видеть краску на этом усатом, старом и пьяном лице), и смело начал излагать свой план разрезания операционной линии неприятеля между Смоленском и Вязьмой. Денисов жил в этих краях и знал хорошо местность. План его казался несомненно хорошим, в особенности по той силе убеждения, которая была в его словах. Кутузов смотрел себе на ноги и изредка оглядывался на двор соседней избы, как будто он ждал чего то неприятного оттуда. Из избы, на которую он смотрел, действительно во время речи Денисова показался генерал с портфелем под мышкой.
– Что? – в середине изложения Денисова проговорил Кутузов. – Уже готовы?
– Готов, ваша светлость, – сказал генерал. Кутузов покачал головой, как бы говоря: «Как это все успеть одному человеку», и продолжал слушать Денисова.
– Даю честное благородное слово гусского офицег'а, – говорил Денисов, – что я г'азог'ву сообщения Наполеона.
– Тебе Кирилл Андреевич Денисов, обер интендант, как приходится? – перебил его Кутузов.
– Дядя г'одной, ваша светлость.
– О! приятели были, – весело сказал Кутузов. – Хорошо, хорошо, голубчик, оставайся тут при штабе, завтра поговорим. – Кивнув головой Денисову, он отвернулся и протянул руку к бумагам, которые принес ему Коновницын.
– Не угодно ли вашей светлости пожаловать в комнаты, – недовольным голосом сказал дежурный генерал, – необходимо рассмотреть планы и подписать некоторые бумаги. – Вышедший из двери адъютант доложил, что в квартире все было готово. Но Кутузову, видимо, хотелось войти в комнаты уже свободным. Он поморщился…
– Нет, вели подать, голубчик, сюда столик, я тут посмотрю, – сказал он. – Ты не уходи, – прибавил он, обращаясь к князю Андрею. Князь Андрей остался на крыльце, слушая дежурного генерала.
Во время доклада за входной дверью князь Андрей слышал женское шептанье и хрустение женского шелкового платья. Несколько раз, взглянув по тому направлению, он замечал за дверью, в розовом платье и лиловом шелковом платке на голове, полную, румяную и красивую женщину с блюдом, которая, очевидно, ожидала входа влавввквмандующего. Адъютант Кутузова шепотом объяснил князю Андрею, что это была хозяйка дома, попадья, которая намеревалась подать хлеб соль его светлости. Муж ее встретил светлейшего с крестом в церкви, она дома… «Очень хорошенькая», – прибавил адъютант с улыбкой. Кутузов оглянулся на эти слова. Кутузов слушал доклад дежурного генерала (главным предметом которого была критика позиции при Цареве Займище) так же, как он слушал Денисова, так же, как он слушал семь лет тому назад прения Аустерлицкого военного совета. Он, очевидно, слушал только оттого, что у него были уши, которые, несмотря на то, что в одном из них был морской канат, не могли не слышать; но очевидно было, что ничто из того, что мог сказать ему дежурный генерал, не могло не только удивить или заинтересовать его, но что он знал вперед все, что ему скажут, и слушал все это только потому, что надо прослушать, как надо прослушать поющийся молебен. Все, что говорил Денисов, было дельно и умно. То, что говорил дежурный генерал, было еще дельнее и умнее, но очевидно было, что Кутузов презирал и знание и ум и знал что то другое, что должно было решить дело, – что то другое, независимое от ума и знания. Князь Андрей внимательно следил за выражением лица главнокомандующего, и единственное выражение, которое он мог заметить в нем, было выражение скуки, любопытства к тому, что такое означал женский шепот за дверью, и желание соблюсти приличие. Очевидно было, что Кутузов презирал ум, и знание, и даже патриотическое чувство, которое выказывал Денисов, но презирал не умом, не чувством, не знанием (потому что он и не старался выказывать их), а он презирал их чем то другим. Он презирал их своей старостью, своею опытностью жизни. Одно распоряжение, которое от себя в этот доклад сделал Кутузов, откосилось до мародерства русских войск. Дежурный редерал в конце доклада представил светлейшему к подписи бумагу о взысканий с армейских начальников по прошению помещика за скошенный зеленый овес.
Кутузов зачмокал губами и закачал головой, выслушав это дело.
– В печку… в огонь! И раз навсегда тебе говорю, голубчик, – сказал он, – все эти дела в огонь. Пуская косят хлеба и жгут дрова на здоровье. Я этого не приказываю и не позволяю, но и взыскивать не могу. Без этого нельзя. Дрова рубят – щепки летят. – Он взглянул еще раз на бумагу. – О, аккуратность немецкая! – проговорил он, качая головой.


– Ну, теперь все, – сказал Кутузов, подписывая последнюю бумагу, и, тяжело поднявшись и расправляя складки своей белой пухлой шеи, с повеселевшим лицом направился к двери.
Попадья, с бросившеюся кровью в лицо, схватилась за блюдо, которое, несмотря на то, что она так долго приготовлялась, она все таки не успела подать вовремя. И с низким поклоном она поднесла его Кутузову.
Глаза Кутузова прищурились; он улыбнулся, взял рукой ее за подбородок и сказал:
– И красавица какая! Спасибо, голубушка!
Он достал из кармана шаровар несколько золотых и положил ей на блюдо.
– Ну что, как живешь? – сказал Кутузов, направляясь к отведенной для него комнате. Попадья, улыбаясь ямочками на румяном лице, прошла за ним в горницу. Адъютант вышел к князю Андрею на крыльцо и приглашал его завтракать; через полчаса князя Андрея позвали опять к Кутузову. Кутузов лежал на кресле в том же расстегнутом сюртуке. Он держал в руке французскую книгу и при входе князя Андрея, заложив ее ножом, свернул. Это был «Les chevaliers du Cygne», сочинение madame de Genlis [«Рыцари Лебедя», мадам де Жанлис], как увидал князь Андрей по обертке.
– Ну садись, садись тут, поговорим, – сказал Кутузов. – Грустно, очень грустно. Но помни, дружок, что я тебе отец, другой отец… – Князь Андрей рассказал Кутузову все, что он знал о кончине своего отца, и о том, что он видел в Лысых Горах, проезжая через них.
– До чего… до чего довели! – проговорил вдруг Кутузов взволнованным голосом, очевидно, ясно представив себе, из рассказа князя Андрея, положение, в котором находилась Россия. – Дай срок, дай срок, – прибавил он с злобным выражением лица и, очевидно, не желая продолжать этого волновавшего его разговора, сказал: – Я тебя вызвал, чтоб оставить при себе.
– Благодарю вашу светлость, – отвечал князь Андрей, – но я боюсь, что не гожусь больше для штабов, – сказал он с улыбкой, которую Кутузов заметил. Кутузов вопросительно посмотрел на него. – А главное, – прибавил князь Андрей, – я привык к полку, полюбил офицеров, и люди меня, кажется, полюбили. Мне бы жалко было оставить полк. Ежели я отказываюсь от чести быть при вас, то поверьте…
Умное, доброе и вместе с тем тонко насмешливое выражение светилось на пухлом лице Кутузова. Он перебил Болконского:
– Жалею, ты бы мне нужен был; но ты прав, ты прав. Нам не сюда люди нужны. Советчиков всегда много, а людей нет. Не такие бы полки были, если бы все советчики служили там в полках, как ты. Я тебя с Аустерлица помню… Помню, помню, с знаменем помню, – сказал Кутузов, и радостная краска бросилась в лицо князя Андрея при этом воспоминании. Кутузов притянул его за руку, подставляя ему щеку, и опять князь Андрей на глазах старика увидал слезы. Хотя князь Андрей и знал, что Кутузов был слаб на слезы и что он теперь особенно ласкает его и жалеет вследствие желания выказать сочувствие к его потере, но князю Андрею и радостно и лестно было это воспоминание об Аустерлице.
– Иди с богом своей дорогой. Я знаю, твоя дорога – это дорога чести. – Он помолчал. – Я жалел о тебе в Букареште: мне послать надо было. – И, переменив разговор, Кутузов начал говорить о турецкой войне и заключенном мире. – Да, немало упрекали меня, – сказал Кутузов, – и за войну и за мир… а все пришло вовремя. Tout vient a point a celui qui sait attendre. [Все приходит вовремя для того, кто умеет ждать.] A и там советчиков не меньше было, чем здесь… – продолжал он, возвращаясь к советчикам, которые, видимо, занимали его. – Ох, советчики, советчики! – сказал он. Если бы всех слушать, мы бы там, в Турции, и мира не заключили, да и войны бы не кончили. Всё поскорее, а скорое на долгое выходит. Если бы Каменский не умер, он бы пропал. Он с тридцатью тысячами штурмовал крепости. Взять крепость не трудно, трудно кампанию выиграть. А для этого не нужно штурмовать и атаковать, а нужно терпение и время. Каменский на Рущук солдат послал, а я их одних (терпение и время) посылал и взял больше крепостей, чем Каменский, и лошадиное мясо турок есть заставил. – Он покачал головой. – И французы тоже будут! Верь моему слову, – воодушевляясь, проговорил Кутузов, ударяя себя в грудь, – будут у меня лошадиное мясо есть! – И опять глаза его залоснились слезами.
– Однако до лжно же будет принять сражение? – сказал князь Андрей.
– До лжно будет, если все этого захотят, нечего делать… А ведь, голубчик: нет сильнее тех двух воинов, терпение и время; те всё сделают, да советчики n'entendent pas de cette oreille, voila le mal. [этим ухом не слышат, – вот что плохо.] Одни хотят, другие не хотят. Что ж делать? – спросил он, видимо, ожидая ответа. – Да, что ты велишь делать? – повторил он, и глаза его блестели глубоким, умным выражением. – Я тебе скажу, что делать, – проговорил он, так как князь Андрей все таки не отвечал. – Я тебе скажу, что делать и что я делаю. Dans le doute, mon cher, – он помолчал, – abstiens toi, [В сомнении, мой милый, воздерживайся.] – выговорил он с расстановкой.
– Ну, прощай, дружок; помни, что я всей душой несу с тобой твою потерю и что я тебе не светлейший, не князь и не главнокомандующий, а я тебе отец. Ежели что нужно, прямо ко мне. Прощай, голубчик. – Он опять обнял и поцеловал его. И еще князь Андрей не успел выйти в дверь, как Кутузов успокоительно вздохнул и взялся опять за неконченный роман мадам Жанлис «Les chevaliers du Cygne».
Как и отчего это случилось, князь Андрей не мог бы никак объяснить; но после этого свидания с Кутузовым он вернулся к своему полку успокоенный насчет общего хода дела и насчет того, кому оно вверено было. Чем больше он видел отсутствие всего личного в этом старике, в котором оставались как будто одни привычки страстей и вместо ума (группирующего события и делающего выводы) одна способность спокойного созерцания хода событий, тем более он был спокоен за то, что все будет так, как должно быть. «У него не будет ничего своего. Он ничего не придумает, ничего не предпримет, – думал князь Андрей, – но он все выслушает, все запомнит, все поставит на свое место, ничему полезному не помешает и ничего вредного не позволит. Он понимает, что есть что то сильнее и значительнее его воли, – это неизбежный ход событий, и он умеет видеть их, умеет понимать их значение и, ввиду этого значения, умеет отрекаться от участия в этих событиях, от своей личной волн, направленной на другое. А главное, – думал князь Андрей, – почему веришь ему, – это то, что он русский, несмотря на роман Жанлис и французские поговорки; это то, что голос его задрожал, когда он сказал: „До чего довели!“, и что он захлипал, говоря о том, что он „заставит их есть лошадиное мясо“. На этом же чувстве, которое более или менее смутно испытывали все, и основано было то единомыслие и общее одобрение, которое сопутствовало народному, противному придворным соображениям, избранию Кутузова в главнокомандующие.


После отъезда государя из Москвы московская жизнь потекла прежним, обычным порядком, и течение этой жизни было так обычно, что трудно было вспомнить о бывших днях патриотического восторга и увлечения, и трудно было верить, что действительно Россия в опасности и что члены Английского клуба суть вместе с тем и сыны отечества, готовые для него на всякую жертву. Одно, что напоминало о бывшем во время пребывания государя в Москве общем восторженно патриотическом настроении, было требование пожертвований людьми и деньгами, которые, как скоро они были сделаны, облеклись в законную, официальную форму и казались неизбежны.
С приближением неприятеля к Москве взгляд москвичей на свое положение не только не делался серьезнее, но, напротив, еще легкомысленнее, как это всегда бывает с людьми, которые видят приближающуюся большую опасность. При приближении опасности всегда два голоса одинаково сильно говорят в душе человека: один весьма разумно говорит о том, чтобы человек обдумал самое свойство опасности и средства для избавления от нее; другой еще разумнее говорит, что слишком тяжело и мучительно думать об опасности, тогда как предвидеть все и спастись от общего хода дела не во власти человека, и потому лучше отвернуться от тяжелого, до тех пор пока оно не наступило, и думать о приятном. В одиночестве человек большею частью отдается первому голосу, в обществе, напротив, – второму. Так было и теперь с жителями Москвы. Давно так не веселились в Москве, как этот год.
Растопчинские афишки с изображением вверху питейного дома, целовальника и московского мещанина Карпушки Чигирина, который, быв в ратниках и выпив лишний крючок на тычке, услыхал, будто Бонапарт хочет идти на Москву, рассердился, разругал скверными словами всех французов, вышел из питейного дома и заговорил под орлом собравшемуся народу, читались и обсуживались наравне с последним буриме Василия Львовича Пушкина.
В клубе, в угловой комнате, собирались читать эти афиши, и некоторым нравилось, как Карпушка подтрунивал над французами, говоря, что они от капусты раздуются, от каши перелопаются, от щей задохнутся, что они все карлики и что их троих одна баба вилами закинет. Некоторые не одобряли этого тона и говорила, что это пошло и глупо. Рассказывали о том, что французов и даже всех иностранцев Растопчин выслал из Москвы, что между ними шпионы и агенты Наполеона; но рассказывали это преимущественно для того, чтобы при этом случае передать остроумные слова, сказанные Растопчиным при их отправлении. Иностранцев отправляли на барке в Нижний, и Растопчин сказал им: «Rentrez en vous meme, entrez dans la barque et n'en faites pas une barque ne Charon». [войдите сами в себя и в эту лодку и постарайтесь, чтобы эта лодка не сделалась для вас лодкой Харона.] Рассказывали, что уже выслали из Москвы все присутственные места, и тут же прибавляли шутку Шиншина, что за это одно Москва должна быть благодарна Наполеону. Рассказывали, что Мамонову его полк будет стоить восемьсот тысяч, что Безухов еще больше затратил на своих ратников, но что лучше всего в поступке Безухова то, что он сам оденется в мундир и поедет верхом перед полком и ничего не будет брать за места с тех, которые будут смотреть на него.
– Вы никому не делаете милости, – сказала Жюли Друбецкая, собирая и прижимая кучку нащипанной корпии тонкими пальцами, покрытыми кольцами.
Жюли собиралась на другой день уезжать из Москвы и делала прощальный вечер.
– Безухов est ridicule [смешон], но он так добр, так мил. Что за удовольствие быть так caustique [злоязычным]?
– Штраф! – сказал молодой человек в ополченском мундире, которого Жюли называла «mon chevalier» [мой рыцарь] и который с нею вместе ехал в Нижний.
В обществе Жюли, как и во многих обществах Москвы, было положено говорить только по русски, и те, которые ошибались, говоря французские слова, платили штраф в пользу комитета пожертвований.
– Другой штраф за галлицизм, – сказал русский писатель, бывший в гостиной. – «Удовольствие быть не по русски.
– Вы никому не делаете милости, – продолжала Жюли к ополченцу, не обращая внимания на замечание сочинителя. – За caustique виновата, – сказала она, – и плачу, но за удовольствие сказать вам правду я готова еще заплатить; за галлицизмы не отвечаю, – обратилась она к сочинителю: – у меня нет ни денег, ни времени, как у князя Голицына, взять учителя и учиться по русски. А вот и он, – сказала Жюли. – Quand on… [Когда.] Нет, нет, – обратилась она к ополченцу, – не поймаете. Когда говорят про солнце – видят его лучи, – сказала хозяйка, любезно улыбаясь Пьеру. – Мы только говорили о вас, – с свойственной светским женщинам свободой лжи сказала Жюли. – Мы говорили, что ваш полк, верно, будет лучше мамоновского.
– Ах, не говорите мне про мой полк, – отвечал Пьер, целуя руку хозяйке и садясь подле нее. – Он мне так надоел!
– Вы ведь, верно, сами будете командовать им? – сказала Жюли, хитро и насмешливо переглянувшись с ополченцем.
Ополченец в присутствии Пьера был уже не так caustique, и в лице его выразилось недоуменье к тому, что означала улыбка Жюли. Несмотря на свою рассеянность и добродушие, личность Пьера прекращала тотчас же всякие попытки на насмешку в его присутствии.
– Нет, – смеясь, отвечал Пьер, оглядывая свое большое, толстое тело. – В меня слишком легко попасть французам, да и я боюсь, что не влезу на лошадь…
В числе перебираемых лиц для предмета разговора общество Жюли попало на Ростовых.
– Очень, говорят, плохи дела их, – сказала Жюли. – И он так бестолков – сам граф. Разумовские хотели купить его дом и подмосковную, и все это тянется. Он дорожится.
– Нет, кажется, на днях состоится продажа, – сказал кто то. – Хотя теперь и безумно покупать что нибудь в Москве.
– Отчего? – сказала Жюли. – Неужели вы думаете, что есть опасность для Москвы?
– Отчего же вы едете?
– Я? Вот странно. Я еду, потому… ну потому, что все едут, и потом я не Иоанна д'Арк и не амазонка.
– Ну, да, да, дайте мне еще тряпочек.
– Ежели он сумеет повести дела, он может заплатить все долги, – продолжал ополченец про Ростова.
– Добрый старик, но очень pauvre sire [плох]. И зачем они живут тут так долго? Они давно хотели ехать в деревню. Натали, кажется, здорова теперь? – хитро улыбаясь, спросила Жюли у Пьера.
– Они ждут меньшого сына, – сказал Пьер. – Он поступил в казаки Оболенского и поехал в Белую Церковь. Там формируется полк. А теперь они перевели его в мой полк и ждут каждый день. Граф давно хотел ехать, но графиня ни за что не согласна выехать из Москвы, пока не приедет сын.
– Я их третьего дня видела у Архаровых. Натали опять похорошела и повеселела. Она пела один романс. Как все легко проходит у некоторых людей!
– Что проходит? – недовольно спросил Пьер. Жюли улыбнулась.
– Вы знаете, граф, что такие рыцари, как вы, бывают только в романах madame Suza.
– Какой рыцарь? Отчего? – краснея, спросил Пьер.
– Ну, полноте, милый граф, c'est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d'honneur. [это вся Москва знает. Право, я вам удивляюсь.]
– Штраф! Штраф! – сказал ополченец.
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!
– Qu'est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s'excuse – s'accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..


Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.