Проекция (геометрия)

Проекции
Параллельная Прямоугольная (ортогональная) Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Косоугольная Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Перспективная (центральная)
Прочие Рыбий глаз

Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд)

1. изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения, фотографии, камеры-обскуры. Термин проекция в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается начертательная геометрия.
2. обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме проекции точек трёхмерного пространства на плоскость, это может быть проекция точек трёхмерного пространства на прямую, точек плоскости на прямую, точек 7-мерного пространства на его 4-мерное подпространство и т. п., а также проекция вектора на любое подпространство исходного пространства, и в особенности, как особенно важный частный случай, на прямую или на направление. Проекция в этом смысле находит широкое применение в отношении векторов (как в элементарном контексте, так и в абстрактном), при использовании декартовых координат и т. п.

Общее определение

Отображение <math>P\colon A\to A</math> из пространства в себя называется проекцией, если <math>P\circ P=P</math>, то есть при повторном применении отображения результат не изменяется: <math>P(P(a))=P(a)\quad \forall a\in A</math>.

Проекция из трёхмерного пространства на плоскость

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.

Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.

• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае — в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление

Чаще всего используется ортогональная проекция. Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроецировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

• Последнее определение очень просто заменить на эквивалентное с использованием скалярного произведения: если направление задаётся единичным вектором e, то проекция любого вектора a на это направление равно скалярному произведению a•e.
• Это же можно переписать <math>|\mathbf a|\mathrm{cos}\ \alpha</math>, где <math>|\mathbf a|</math> — длина вектора <math>\mathbf a</math>, <math>\alpha</math> — угол между вектором <math>\mathbf a</math> и направлением, на которое ищется проекция.

Неортогональная проекция на прямую и на направление

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае — вместо плоскости другую прямую, в случае n-мерного пространства — гиперплоскость размерности (n-1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

• Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проецирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

См. также

• Проектор (математика)

Ссылки

• Проекция // Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 4 т. — СПб., 1907—1909.
• Проекция — статья из Большой советской энциклопедии.
• Проекционный аппарат, Фотоувеличитель, Проекционное печатание, Кинопроекционный аппарат // Фотокинотехника: Энциклопедия / Главный редактор Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981.

Отрывок, характеризующий Проекция (геометрия)

«Я начинаю аb ovo. Враг рода человеческого , вам известный, аттакует пруссаков. Пруссаки – наши верные союзники, которые нас обманули только три раза в три года. Мы заступаемся за них. Но оказывается, что враг рода человеческого не обращает никакого внимания на наши прелестные речи, и с своей неучтивой и дикой манерой бросается на пруссаков, не давая им времени кончить их начатый парад, вдребезги разбивает их и поселяется в потсдамском дворце.
«Я очень желаю, пишет прусской король Бонапарту, чтобы ваше величество были приняты в моем дворце самым приятнейшим для вас образом, и я с особенной заботливостью сделал для того все нужные распоряжения на сколько позволили обстоятельства. Весьма желаю, чтоб я достигнул цели». Прусские генералы щеголяют учтивостью перед французами и сдаются по первому требованию. Начальник гарнизона Глогау, с десятью тысячами, спрашивает у прусского короля, что ему делать, если ему придется сдаваться. Всё это положительно верно. Словом, мы думали внушить им страх только положением наших военных сил, но кончается тем, что мы вовлечены в войну, на нашей же границе и, главное, за прусского короля и заодно с ним. Всего у нас в избытке, недостает только маленькой штучки, а именно – главнокомандующего. Так как оказалось, что успехи Аустерлица могли бы быть положительнее, если б главнокомандующий был бы не так молод, то делается обзор осьмидесятилетних генералов, и между Прозоровским и Каменским выбирают последнего. Генерал приезжает к нам в кибитке по Суворовски, и его принимают с радостными и торжественными восклицаниями.
4 го приезжает первый курьер из Петербурга. Приносят чемоданы в кабинет фельдмаршала, который любит всё делать сам. Меня зовут, чтобы помочь разобрать письма и взять те, которые назначены нам. Фельдмаршал, предоставляя нам это занятие, ждет конвертов, адресованных ему. Мы ищем – но их не оказывается. Фельдмаршал начинает волноваться, сам принимается за работу и находит письма от государя к графу Т., князю В. и другим. Он приходит в сильнейший гнев, выходит из себя, берет письма, распечатывает их и читает письма Императора, адресованные другим… Затем пишет знаменитый суточный приказ генералу Бенигсену.
Фельдмаршал сердится на государя, и наказывает всех нас: неправда ли это логично!
Вот первое действие. При следующих интерес и забавность возрастают, само собой разумеется. После отъезда фельдмаршала оказывается, что мы в виду неприятеля, и необходимо дать сражение. Буксгевден, главнокомандующий по старшинству, но генерал Бенигсен совсем не того же мнения, тем более, что он с своим корпусом находится в виду неприятеля, и хочет воспользоваться случаем дать сражение самостоятельно. Он его и дает.
Это пултуская битва, которая считается великой победой, но которая совсем не такова, по моему мнению. Мы штатские имеем, как вы знаете, очень дурную привычку решать вопрос о выигрыше или проигрыше сражения. Тот, кто отступил после сражения, тот проиграл его, вот что мы говорим, и судя по этому мы проиграли пултуское сражение. Одним словом, мы отступаем после битвы, но посылаем курьера в Петербург с известием о победе, и генерал Бенигсен не уступает начальствования над армией генералу Буксгевдену, надеясь получить из Петербурга в благодарность за свою победу звание главнокомандующего. Во время этого междуцарствия, мы начинаем очень оригинальный и интересный ряд маневров. План наш не состоит более, как бы он должен был состоять, в том, чтобы избегать или атаковать неприятеля, но только в том, чтобы избегать генерала Буксгевдена, который по праву старшинства должен бы был быть нашим начальником. Мы преследуем эту цель с такой энергией, что даже переходя реку, на которой нет бродов, мы сжигаем мост, с целью отдалить от себя нашего врага, который в настоящее время не Бонапарт, но Буксгевден. Генерал Буксгевден чуть чуть не был атакован и взят превосходными неприятельскими силами, вследствие одного из таких маневров, спасавших нас от него. Буксгевден нас преследует – мы бежим. Только что он перейдет на нашу сторону реки, мы переходим на другую. Наконец враг наш Буксгевден ловит нас и атакует. Оба генерала сердятся и дело доходит до вызова на дуэль со стороны Буксгевдена и припадка падучей болезни со стороны Бенигсена. Но в самую критическую минуту курьер, который возил в Петербург известие о пултуской победе, возвращается и привозит нам назначение главнокомандующего, и первый враг – Буксгевден побежден. Мы теперь можем думать о втором враге – Бонапарте. Но оказывается, что в эту самую минуту возникает перед нами третий враг – православное , которое громкими возгласами требует хлеба, говядины, сухарей, сена, овса, – и мало ли чего еще! Магазины пусты, дороги непроходимы. Православное начинает грабить, и грабёж доходит до такой степени, о которой последняя кампания не могла вам дать ни малейшего понятия. Половина полков образуют вольные команды, которые обходят страну и все предают мечу и пламени. Жители разорены совершенно, больницы завалены больными, и везде голод. Два раза мародеры нападали даже на главную квартиру, и главнокомандующий принужден был взять баталион солдат, чтобы прогнать их. В одно из этих нападений у меня унесли мой пустой чемодан и халат. Государь хочет дать право всем начальникам дивизии расстреливать мародеров, но я очень боюсь, чтобы это не заставило одну половину войска расстрелять другую.]
Князь Андрей сначала читал одними глазами, но потом невольно то, что он читал (несмотря на то, что он знал, на сколько должно было верить Билибину) больше и больше начинало занимать его. Дочитав до этого места, он смял письмо и бросил его. Не то, что он прочел в письме, сердило его, но его сердило то, что эта тамошняя, чуждая для него, жизнь могла волновать его. Он закрыл глаза, потер себе лоб рукою, как будто изгоняя всякое участие к тому, что он читал, и прислушался к тому, что делалось в детской. Вдруг ему показался за дверью какой то странный звук. На него нашел страх; он боялся, не случилось ли чего с ребенком в то время, как он читал письмо. Он на цыпочках подошел к двери детской и отворил ее.
В ту минуту, как он входил, он увидал, что нянька с испуганным видом спрятала что то от него, и что княжны Марьи уже не было у кроватки.
– Мой друг, – послышался ему сзади отчаянный, как ему показалось, шопот княжны Марьи. Как это часто бывает после долгой бессонницы и долгого волнения, на него нашел беспричинный страх: ему пришло в голову, что ребенок умер. Всё, что oн видел и слышал, казалось ему подтверждением его страха.
«Всё кончено», подумал он, и холодный пот выступил у него на лбу! Он растерянно подошел к кроватке, уверенный, что он найдет ее пустою, что нянька прятала мертвого ребенка. Он раскрыл занавески, и долго его испуганные, разбегавшиеся глаза не могли отыскать ребенка. Наконец он увидал его: румяный мальчик, раскидавшись, лежал поперек кроватки, спустив голову ниже подушки и во сне чмокал, перебирая губками, и ровно дышал.
Князь Андрей обрадовался, увидав мальчика так, как будто бы он уже потерял его. Он нагнулся и, как учила его сестра, губами попробовал, есть ли жар у ребенка. Нежный лоб был влажен, он дотронулся рукой до головы – даже волосы были мокры: так сильно вспотел ребенок. Не только он не умер, но теперь очевидно было, что кризис совершился и что он выздоровел. Князю Андрею хотелось схватить, смять, прижать к своей груди это маленькое, беспомощное существо; он не смел этого сделать. Он стоял над ним, оглядывая его голову, ручки, ножки, определявшиеся под одеялом. Шорох послышался подле него, и какая то тень показалась ему под пологом кроватки. Он не оглядывался и всё слушал, глядя в лицо ребенка, его ровное дыханье. Темная тень была княжна Марья, которая неслышными шагами подошла к кроватке, подняла полог и опустила его за собою. Князь Андрей, не оглядываясь, узнал ее и протянул к ней руку. Она сжала его руку.