Простая функция

Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.

Определение

Пусть <math>(X,\mathcal{F})</math> — измеримое пространство. Пусть <math>A_1,\ldots,A_n \in \mathcal{F}</math>, где <math>n \in \mathbb{N}</math> — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция <math>f:X\to \mathbb{R}(\mathbb{C})</math> называется простой, если она имеет вид:

<math>f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X</math>,

где <math>a_i\in \mathbb{R} (\mathbb{C}), \mathbf{1}_{A_i}</math> — индикатор множества <math>A_i, i = 1,\ldots,n</math>.

Замечания

• Если <math>(X,\mathcal{F}) \equiv (\Omega,\mathcal{F})</math> — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой, <math>f:X\to \mathbb{R}</math> простая, причём

<math>f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X</math>,

и <math>\mu(A_i) < \infty, \forall i = 1,\ldots,n</math>, то <math>f</math> интегрируема по Лебегу, и

<math>\int\limits_X f\, d\mu = \sum\limits_{i=1}^n a_i\, \mu(A_i)</math>.

Пример

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> — борелевская сигма-алгебра на <math>\mathbb{R}</math>, а <math>m</math> — мера Лебега. Тогда функция

<math> f(x) = \left\{

\begin{matrix} 1, & x > 0\\ 0, & x = 0\\ -1, & x < 0 \end{matrix} \right., x\in \mathbb{R}</math> простая, ибо измерима и принимает три разных значения.

Отрывок, характеризующий Простая функция

– И те же часы, и по аллеям прогулки? Станок? – спрашивал князь Андрей с чуть заметною улыбкой, показывавшею, что несмотря на всю свою любовь и уважение к отцу, он понимал его слабости.
– Те же часы и станок, еще математика и мои уроки геометрии, – радостно отвечала княжна Марья, как будто ее уроки из геометрии были одним из самых радостных впечатлений ее жизни.
Когда прошли те двадцать минут, которые нужны были для срока вставанья старого князя, Тихон пришел звать молодого князя к отцу. Старик сделал исключение в своем образе жизни в честь приезда сына: он велел впустить его в свою половину во время одевания перед обедом. Князь ходил по старинному, в кафтане и пудре. И в то время как князь Андрей (не с тем брюзгливым выражением лица и манерами, которые он напускал на себя в гостиных, а с тем оживленным лицом, которое у него было, когда он разговаривал с Пьером) входил к отцу, старик сидел в уборной на широком, сафьяном обитом, кресле, в пудроманте, предоставляя свою голову рукам Тихона.
– А! Воин! Бонапарта завоевать хочешь? – сказал старик и тряхнул напудренною головой, сколько позволяла это заплетаемая коса, находившаяся в руках Тихона. – Примись хоть ты за него хорошенько, а то он эдак скоро и нас своими подданными запишет. – Здорово! – И он выставил свою щеку.