Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

<math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),</math>

где функции <math>P(t,x)</math> и <math>Q(t,x)</math> определены и непрерывны в некоторой области <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}</math>.

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}</math>, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции <math>U(t,x)</math>, т.е. определяются уравнением <math>U(t,x)=C</math> при всевозможных значениях произвольной постоянной <math>C</math>.

Если в области <math>\Omega</math> выполнено условие <math>Q(t,x)\ne0</math> , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения <math>U(t,x)=C</math> как неявная функция <math>x=\varphi(t,C)</math>. Через каждую точку области <math>\Omega</math> проходит единственная интегральная кривая <math>x=\varphi(t,C)</math> уравнения (1).

Если рассматриваемая область <math>\Omega</math> односвязна, а производные <math>\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}</math>также непрерывны в <math>\Omega</math>, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

<math>\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t} \qquad \forall(t,x)\in\Omega</math>

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция <math>\mu(t,x)\ne0</math> в <math>\Omega</math> называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение <math>\mu(Pdt+Qdx)=0</math> является уравнением в полных дифференциалах, то есть <math>\mu(Pdt+Qdx)=dU</math> для некоторой функции <math>U(t,x)</math>. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция <math>\mu(t,x)</math> является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

<math>\frac{\partial{\left(\mu P\right)}}{\partial x}=\frac{\partial{\left(\mu Q\right)}}{\partial t}\qquad \left(2\right)</math>

(область <math>\Omega</math> по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде <math>\mu=\mu(t)</math> или <math>\mu=\mu(x)</math>, но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}</math>

(2) <math>\begin{matrix}P'_x(t,x)=Q'_t(t,x)\end{matrix}</math>

(3) <math>\begin{matrix}U'_t=P(t,x) , U'_x=Q(t,x)\end{matrix}</math>

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) <math>\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x) dt+\varphi(x)\end{matrix}</math>

Подставим в (3).2:

<math>\begin{matrix}U'_x(t,x)=(\int P(t,x) dt)'_x+\varphi'_x(x)\end{matrix}</math>

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: <math>\begin{matrix}\varphi'_x(x)=g(x)\end{matrix}</math>. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) <math>P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)</math>, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

<math>T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\qquad \left(3\right)</math>

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения <math>X_1(x)T_2(t)=0</math> являются решениями (3).
  • Если область <math>\Omega</math> выбрана так, что <math>X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega</math>, то разделив на <math>X_1(x)T_2(t)</math> получим уравнение с разделёнными переменными

<math>\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.</math>

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку <math>(t_0,x_0)\in\Omega</math>, имеет вид:

<math>\int\limits_{t_0}^{t}{\frac{T_1}{T_2}dt}+\int\limits_{x_0}^{x}{\frac{X_2}{X_1}dx}=0.</math>

Пример дифференциального уравнения

<math>y'= \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x} </math>

Отрывок, характеризующий Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Весною 1809 года, князь Андрей поехал в рязанские именья своего сына, которого он был опекуном.
Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.


По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.