Пространство непрерывных функций

Поделись знанием:


Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Перейти к: навигация, поиск

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке <math>[a,b]</math> функции (обычно обозначается <math>{\mathrm C}[a,b]</math>, иногда <math>C^0[a,b]</math> или <math>C^{(0)}[a,b]</math>) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

<math>||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</math>

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.



Свойства

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) <math>{\mathbf C}(X,Y)</math> называется множество всех непрерывных ограниченных функций <math>x:X\to Y</math> со введённой на нём нормой:

<math>||x||_{\mathbf C(X,Y)}=\sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.</math>

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

<math>||x||=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt</math>

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность <math>x_n</math>

<math>

x_n(t)= \begin{cases} 1,\quad t\ge\frac{1}{n}\\ nt,\quad t\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\ -1,\quad t\le-\frac{1}{n} \end{cases} </math>

Его пополнение есть <math>L_1[a,b]</math> — пространство суммируемых функций.

Напишите отзыв о статье "Пространство непрерывных функций"

Литература

  • А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
  • Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
  • M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
  • К. Иосида. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.


Отрывок, характеризующий Пространство непрерывных функций

– Я не во время кажется, – сказал он, – я бы не приехал, но мне дело есть, – сказал он холодно…
– Нет, я только удивляюсь, как ты из полка приехал. – «Dans un moment je suis a vous», [Сию минуту я к твоим услугам,] – обратился он на голос звавшего его.
– Я вижу, что я не во время, – повторил Ростов.
Выражение досады уже исчезло на лице Бориса; видимо обдумав и решив, что ему делать, он с особенным спокойствием взял его за обе руки и повел в соседнюю комнату. Глаза Бориса, спокойно и твердо глядевшие на Ростова, были как будто застланы чем то, как будто какая то заслонка – синие очки общежития – были надеты на них. Так казалось Ростову.
– Ах полно, пожалуйста, можешь ли ты быть не во время, – сказал Борис. – Борис ввел его в комнату, где был накрыт ужин, познакомил с гостями, назвав его и объяснив, что он был не статский, но гусарский офицер, его старый приятель. – Граф Жилинский, le comte N.N., le capitaine S.S., [граф Н.Н., капитан С.С.] – называл он гостей. Ростов нахмуренно глядел на французов, неохотно раскланивался и молчал.
Жилинский, видимо, не радостно принял это новое русское лицо в свой кружок и ничего не сказал Ростову. Борис, казалось, не замечал происшедшего стеснения от нового лица и с тем же приятным спокойствием и застланностью в глазах, с которыми он встретил Ростова, старался оживить разговор. Один из французов обратился с обыкновенной французской учтивостью к упорно молчавшему Ростову и сказал ему, что вероятно для того, чтобы увидать императора, он приехал в Тильзит.
– Нет, у меня есть дело, – коротко ответил Ростов.
Ростов сделался не в духе тотчас же после того, как он заметил неудовольствие на лице Бориса, и, как всегда бывает с людьми, которые не в духе, ему казалось, что все неприязненно смотрят на него и что всем он мешает. И действительно он мешал всем и один оставался вне вновь завязавшегося общего разговора. «И зачем он сидит тут?» говорили взгляды, которые бросали на него гости. Он встал и подошел к Борису.
– Однако я тебя стесняю, – сказал он ему тихо, – пойдем, поговорим о деле, и я уйду.
– Да нет, нисколько, сказал Борис. А ежели ты устал, пойдем в мою комнатку и ложись отдохни.
– И в самом деле…
Они вошли в маленькую комнатку, где спал Борис. Ростов, не садясь, тотчас же с раздраженьем – как будто Борис был в чем нибудь виноват перед ним – начал ему рассказывать дело Денисова, спрашивая, хочет ли и может ли он просить о Денисове через своего генерала у государя и через него передать письмо. Когда они остались вдвоем, Ростов в первый раз убедился, что ему неловко было смотреть в глаза Борису. Борис заложив ногу на ногу и поглаживая левой рукой тонкие пальцы правой руки, слушал Ростова, как слушает генерал доклад подчиненного, то глядя в сторону, то с тою же застланностию во взгляде прямо глядя в глаза Ростову. Ростову всякий раз при этом становилось неловко и он опускал глаза.
– Я слыхал про такого рода дела и знаю, что Государь очень строг в этих случаях. Я думаю, надо бы не доводить до Его Величества. По моему, лучше бы прямо просить корпусного командира… Но вообще я думаю…