Процедура Кэли — Диксона

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом), с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением.





Общий случай

Если для некоторых чисел <math>\ a</math> и <math>\ b</math> существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как <math>\ |a|^2 = a \bar{a}</math> (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел <math>\ (a, b)</math>:

  • <math>\ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c})</math> — закон умножения пар,
  • <math>\ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b)</math> — сопряжённая пара.

Свойства

  • (расширенная) норма упорядоченной пары:
<math>\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2</math> — равна нулю только при a = b = 0.
  • Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление <math>\ r / q</math> определяется как <math>\ \frac{r \bar{q}}{|q|^2}</math> или <math>\ \frac{\bar{q}r }{|q|^2}</math> — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
  • Если для чисел выполняется <math>\ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a},</math> это выполняется и для упорядоченных пар:
<math>\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.

</math>

<math>\ |rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2.</math>

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней (англ. power associative).

Ослабляемые

  1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
  2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
  3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т.к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли—Диксона соответсвует определению комплексных чисел, как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион <math>\ q = a + bi + cj + dk</math>  можно представить в виде <math>\ q = (a + bi) + (c + di)j</math> или эквивалентно <math>\ q = z_1 + z_2 \cdot j, \quad z_1 = a + b\cdot i, \quad z_2 = c + d\cdot i,</math> где <math>\ z_1, z_2</math> — комплексные числа, поскольку <math>\ i^2 = -1</math> выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а <math> k = i\cdot j</math>.

Возьмём ещё один кватернион <math>\ r=w_1+w_2 j.</math> Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

<math>\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j + z_2 j w_1 + z_2 j w_2 j</math>.

Поскольку <math>\ zj=j \bar{z}, \; zw=wz,</math> то переставляя множители получим: <math>\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) + (w_2 z_1 + z_2 \bar{w_1}) j.</math>

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида <math>\ z_1 + z_2 \cdot j</math>, удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с <math>z_2=w_2=0</math>).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Напишите отзыв о статье "Процедура Кэли — Диксона"

Примечания

  1. Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки

  • Dickson, L. E. (1919), "[dx.doi.org/10.2307%2F1967865 On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem]", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN [worldcat.org/issn/0003-486X 0003-486X], DOI 10.2307/1967865 
  • HyperJeff [history.hyperjeff.net/hypercomplex.html Sketching the History of Hypercomplex Numbers] 1996–2006
  • И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
  • Е.А. Каратаев [karataev.nm.ru/hipclass/ «Гиперкомплексные числа. Классификатор»]
</math>) • ПериодыВычислимыеАрифметические |заголовок2=
Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • АльтернионыДуальныеГиперкомплексныеСупердействительныеГипервещественныеСюрреальные[en]

|заголовок3=
Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — ДиксонаТеорема ФробениусаТеорема Гурвица

|заголовок4=
Иерархия чисел
|список4=
<center>
<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа
<math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа
<math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа
<math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа
<math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы
<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> Седенионы
</center> |заголовок5=
Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

|заголовок6=
См. также

|список6=Двойные числаИррациональные числаТрансцендентные числаЧисловой лучБикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Процедура Кэли — Диксона

– Я правду говору, – улыбаясь сказал гусар.
– Всё о войне, – через стол прокричал граф. – Ведь у меня сын идет, Марья Дмитриевна, сын идет.
– А у меня четыре сына в армии, а я не тужу. На всё воля Божья: и на печи лежа умрешь, и в сражении Бог помилует, – прозвучал без всякого усилия, с того конца стола густой голос Марьи Дмитриевны.
– Это так.
И разговор опять сосредоточился – дамский на своем конце стола, мужской на своем.
– А вот не спросишь, – говорил маленький брат Наташе, – а вот не спросишь!
– Спрошу, – отвечала Наташа.
Лицо ее вдруг разгорелось, выражая отчаянную и веселую решимость. Она привстала, приглашая взглядом Пьера, сидевшего против нее, прислушаться, и обратилась к матери:
– Мама! – прозвучал по всему столу ее детски грудной голос.
– Что тебе? – спросила графиня испуганно, но, по лицу дочери увидев, что это была шалость, строго замахала ей рукой, делая угрожающий и отрицательный жест головой.
Разговор притих.
– Мама! какое пирожное будет? – еще решительнее, не срываясь, прозвучал голосок Наташи.
Графиня хотела хмуриться, но не могла. Марья Дмитриевна погрозила толстым пальцем.
– Казак, – проговорила она с угрозой.
Большинство гостей смотрели на старших, не зная, как следует принять эту выходку.
– Вот я тебя! – сказала графиня.
– Мама! что пирожное будет? – закричала Наташа уже смело и капризно весело, вперед уверенная, что выходка ее будет принята хорошо.
Соня и толстый Петя прятались от смеха.
– Вот и спросила, – прошептала Наташа маленькому брату и Пьеру, на которого она опять взглянула.
– Мороженое, только тебе не дадут, – сказала Марья Дмитриевна.
Наташа видела, что бояться нечего, и потому не побоялась и Марьи Дмитриевны.
– Марья Дмитриевна? какое мороженое! Я сливочное не люблю.
– Морковное.
– Нет, какое? Марья Дмитриевна, какое? – почти кричала она. – Я хочу знать!
Марья Дмитриевна и графиня засмеялись, и за ними все гости. Все смеялись не ответу Марьи Дмитриевны, но непостижимой смелости и ловкости этой девочки, умевшей и смевшей так обращаться с Марьей Дмитриевной.
Наташа отстала только тогда, когда ей сказали, что будет ананасное. Перед мороженым подали шампанское. Опять заиграла музыка, граф поцеловался с графинюшкою, и гости, вставая, поздравляли графиню, через стол чокались с графом, детьми и друг с другом. Опять забегали официанты, загремели стулья, и в том же порядке, но с более красными лицами, гости вернулись в гостиную и кабинет графа.


Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке.
Граф, распустив карты веером, с трудом удерживался от привычки послеобеденного сна и всему смеялся. Молодежь, подстрекаемая графиней, собралась около клавикорд и арфы. Жюли первая, по просьбе всех, сыграла на арфе пьеску с вариациями и вместе с другими девицами стала просить Наташу и Николая, известных своею музыкальностью, спеть что нибудь. Наташа, к которой обратились как к большой, была, видимо, этим очень горда, но вместе с тем и робела.
– Что будем петь? – спросила она.
– «Ключ», – отвечал Николай.
– Ну, давайте скорее. Борис, идите сюда, – сказала Наташа. – А где же Соня?
Она оглянулась и, увидав, что ее друга нет в комнате, побежала за ней.
Вбежав в Сонину комнату и не найдя там свою подругу, Наташа пробежала в детскую – и там не было Сони. Наташа поняла, что Соня была в коридоре на сундуке. Сундук в коридоре был место печалей женского молодого поколения дома Ростовых. Действительно, Соня в своем воздушном розовом платьице, приминая его, лежала ничком на грязной полосатой няниной перине, на сундуке и, закрыв лицо пальчиками, навзрыд плакала, подрагивая своими оголенными плечиками. Лицо Наташи, оживленное, целый день именинное, вдруг изменилось: глаза ее остановились, потом содрогнулась ее широкая шея, углы губ опустились.
– Соня! что ты?… Что, что с тобой? У у у!…
И Наташа, распустив свой большой рот и сделавшись совершенно дурною, заревела, как ребенок, не зная причины и только оттого, что Соня плакала. Соня хотела поднять голову, хотела отвечать, но не могла и еще больше спряталась. Наташа плакала, присев на синей перине и обнимая друга. Собравшись с силами, Соня приподнялась, начала утирать слезы и рассказывать.
– Николенька едет через неделю, его… бумага… вышла… он сам мне сказал… Да я бы всё не плакала… (она показала бумажку, которую держала в руке: то были стихи, написанные Николаем) я бы всё не плакала, но ты не можешь… никто не может понять… какая у него душа.
И она опять принялась плакать о том, что душа его была так хороша.
– Тебе хорошо… я не завидую… я тебя люблю, и Бориса тоже, – говорила она, собравшись немного с силами, – он милый… для вас нет препятствий. А Николай мне cousin… надобно… сам митрополит… и то нельзя. И потом, ежели маменьке… (Соня графиню и считала и называла матерью), она скажет, что я порчу карьеру Николая, у меня нет сердца, что я неблагодарная, а право… вот ей Богу… (она перекрестилась) я так люблю и ее, и всех вас, только Вера одна… За что? Что я ей сделала? Я так благодарна вам, что рада бы всем пожертвовать, да мне нечем…
Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга.