Псевдогруппа преобразований

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия <math>M</math> — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия <math>M</math> в <math>M</math>, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение

Псевдогруппа преобразований <math>\Gamma</math> многообразия <math>M</math> состоит из локальных преобразований, то есть пар вида <math>p=(D_p,\bar p)</math>, где <math>D_p</math> — открытое подмножество в <math>M</math>, а <math>\bar p</math> — диффеоморфизм <math>D_p\to M</math>, причём предполагается, что

1. <math>p,q\in\Gamma \Rightarrow p\circ q=(\bar q^{-1}(D_p\cap \bar q(D_q)),\bar p\circ \bar q)\in \Gamma</math>
2. <math>p\in\Gamma\Rightarrow p^{-1}=(\bar p(D_p),\bar p^{-1})\in\Gamma</math>
3. <math>(M,id) \in \Gamma</math>,
4. если <math>p</math> — диффеоморфизм открытого подмножества <math>D</math> в <math>M</math> и <math>D=\cup_\alpha D_\alpha</math>, где <math>D_\alpha</math> — открытые подмножества в <math>M</math>, то <math>(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_\alpha,p)\in \Gamma</math> для любого <math>\alpha</math>.

Примеры

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть <math>M</math> гладкое многообразие и на котором гладко действует группа <math>G</math> тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество <math>\Omega</math> является псевдогруппой преобразований. Точнее <math>p=(D_p,\bar p)</math> содержится в псевдогруппе если <math>\bar p\in G</math> и <math>D_p, \bar p(D_p)\subset \Omega</math>.

Связанные определения

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на <math>M</math> отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогрупп

Псевдогруппа преобразований <math>\Gamma</math> многообразия <math>M</math> называется

• транзитивной, если <math>M</math> — её единственная орбита,
• примитивной, если в <math>M</math> нет нетривиальных гладких <math>\Gamma</math>-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.

Отрывок, характеризующий Псевдогруппа преобразований

– J'ai ete a Paris, j'y ai passe des annees, [Я был в Париже, я провел там целые годы,] – сказал Пьер.
– Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s'est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, – и заметив, что заключение слабее предыдущего, он поспешно прибавил: – Il n'y a qu'un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [О, это видно. Париж!.. Человек, который не знает Парижа, – дикарь. Парижанина узнаешь за две мили. Париж – это Тальма, Дюшенуа, Потье, Сорбонна, бульвары… Во всем мире один Париж. Вы были в Париже и остались русским. Ну что же, я вас за то не менее уважаю.]
Под влиянием выпитого вина и после дней, проведенных в уединении с своими мрачными мыслями, Пьер испытывал невольное удовольствие в разговоре с этим веселым и добродушным человеком.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d'aller s'enterrer dans les steppes, quand l'armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c'est autre chose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca. Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde… On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l'Empereur! [Но воротимся к вашим дамам: говорят, что они очень красивы. Что за дурацкая мысль поехать зарыться в степи, когда французская армия в Москве! Они пропустили чудесный случай. Ваши мужики, я понимаю, но вы – люди образованные – должны бы были знать нас лучше этого. Мы брали Вену, Берлин, Мадрид, Неаполь, Рим, Варшаву, все столицы мира. Нас боятся, но нас любят. Не вредно знать нас поближе. И потом император…] – начал он, но Пьер перебил его.
– L'Empereur, – повторил Пьер, и лицо его вдруг привяло грустное и сконфуженное выражение. – Est ce que l'Empereur?.. [Император… Что император?..]