Распределение Пуассона

Распределение Пуассона

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	<math>\mathrm{P}(\lambda)</math>
Параметры	<math>\lambda \in (0,\infty)</math>
Носитель	<math>k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>
Функция вероятности	<math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}</math>
Функция распределения	<math>\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}</math>
Математическое ожидание	<math>\lambda</math>
Медиана	<math>\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>
Мода	<math>\lfloor\lambda\rfloor</math>
Дисперсия	<math>\lambda</math>
Коэффициент асимметрии	<math>\lambda^{-1/2}</math>
Коэффициент эксцесса	<math>\lambda^{-1}</math>
Дифференциальная энтропия	<math>\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}</math>
Производящая функция моментов	<math>\exp(\lambda (e^t-1))</math>
Характеристическая функция	<math>\exp(\lambda (e^{it}-1))</math>

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число <math>\lambda > 0</math> и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

<math>p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}</math>,

где

• <math>\lambda </math> - математическое ожидание случайной величины,
• <math>k!</math> обозначает факториал числа <math>k</math>,
• <math>e = 2{,}718281828\ldots</math> — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина <math>Y</math> имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием <math>\lambda</math>, записывается: <math>Y \sim~ \mathrm{P}(\lambda)</math>.

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

<math>E_Y(t)=e^{\lambda\left(e^t-1\right)}</math>,

откуда

<math>\mathbb{M}[Y]=\lambda</math>,

<math>\mathbb{D}[Y]=\lambda</math>.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

<math>\mathbb{M}Y^{[k]}=\lambda^k</math>,

где <math>k=1,2,...</math>

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть <math>Y_i\sim\mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n</math>. Тогда

<math>Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)</math>.

• Пусть <math>Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,2</math>, и <math>Y = Y_1 + Y_2</math>. Тогда условное распределение <math>Y_1</math> при условии, что <math>Y = y</math>, биномиально. Более точно:

<math>Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) </math>.

• C увеличением <math>\lambda</math> распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением <math>\sigma=\sqrt{\lambda}</math> и сдвигом <math>\lambda</math>. Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора <math>\ln(\lambda/k)^k</math> в окрестности <math>k=\lambda</math> и тем, что в пределах пика распределения <math>\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}</math>. Тогда получается

<math>p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)</math>

Асимптотическое стремление к распределению

Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math>, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого <math>k</math> выполнено <math>P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> при <math>n \to \infty</math>.

Простейшим примером является случай, когда <math>\xi_n</math> имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха <math>\frac{\lambda}{n}</math> в каждом из <math>n</math> испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами

Рассмотрим последовательность случайных величин <math>\xi_1, \xi_2, \dots,</math> принимающих целые неотрицательные значения. Если <math>\mu_r({\xi_n}) \sim \lambda^r</math> при <math>n \to \infty</math> и любом фиксированном <math>r</math> (где <math>\mu_r({\xi_n})</math> — <math>r</math>-й факториальный момент), то для всякого <math>k</math> при <math>n \to \infty</math> выполнено <math>P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>.

Доказательство  

Лемма

Для начала докажем общую формулу вычисления вероятности появления конкретного значения случайной величины через факториальные моменты. Пусть для некоторого <math>\xi</math> известны все <math>\mu_r(\xi)</math> и <math>\mu_r(\xi) \to 0</math> при <math>r \to \infty</math>. Тогда

<math>\sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\mu_r(\xi)}{k!(r-k)!

= \sum \limits_{r=k}^{\infty} {\sum \limits_{s=r}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{s!}{k!(r-k)!(s-r)!} P\{\xi=s\}}}.</math>

Изменяя порядок суммирования, это выражение можно преобразовать в

<math>\sum \limits_{s=k}^{\infty} {P\{\xi=s\} \sum \limits_{r=k}^{s} {\frac{(-1)^{r-k} s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}} = \sum \limits_{s=k}^{\infty} {P\{\xi=s\} \frac{s!}{k!} \sum_{t=0}^{s-k} {\frac{(-1)^t}{t!((s-k)-t)!}}}.</math>

Далее, из известной формулы <math>\sum \limits_{k=0}^{n} {(-1)^k C_n^k}=0</math> получаем, что <math>\frac{s!}{k!} \sum_{t=0}^{s-k} {\frac{(-1)^t}{t!((s-k)-t)!}} = 0</math> при <math>s>k</math> и то же выражение вырождается в <math>1</math> при <math>s=k</math>.

Тем самым доказано, что <math>P\{\xi=k\} = \sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\mu_r(\xi)}{k!(r-k)!}}.</math>

Доказательство теоремы

Согласно лемме и условиям теоремы, <math>P\{\xi_n=k\} \sim \sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\lambda^r}{k!(r-k)!}} = \sum \limits_{r=0}^{\infty} {(-1)^r \frac{\lambda^{r+k}}{k!r!}} = \frac{\lambda^k}{k!} \sum \limits_{r=0}^{\infty} {\frac{(-\lambda)^r}{r!}} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> при <math>n \to \infty</math>.

Q.E.D.

}}

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к <math>\mathrm{P}(\lambda)</math> распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном <math>n</math>-вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью <math>p_n \sim \frac{2\lambda}{n^2}</math>.

История

Работа Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах» опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения и др.

См. также

• Биномиальное распределение;
• Пуассон, Симеон Дени.

Ссылки

• [k-tree.ru/articles/statistics/poisson.php Распределение Пуассона - онлайн калькулятор]

Литература

• С. Д. Пуассон. [www.sheynin.de/download/Poisson.pdf Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах] = S.-D. Poisson. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Берлин: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 с. — ISBN 978-3-942944-29-8. [www.sheynin.de/download/Poisson.pdf [Poisson.pdf]]. [web.archive.org/web/20141101141802/www.sheynin.de/download/Poisson.pdf Архивировано из первоисточника 1 ноября 2014].
• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., Теория вероятностей и её инженерные приложения, М.: 2000, С. 135. — ISBN 978-5-406-00565-1.
• Ральф Винс. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: «Альпина Паблишер», 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
• Guerriero V. (2012). «[www.sjmmf.org/Default.aspx Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics]». Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF) 1: 21–28.

</center>

Отрывок, характеризующий Распределение Пуассона

Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.


По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Князю Андрею вдруг стало от чего то больно. День был так хорош, солнце так ярко, кругом всё так весело; а эта тоненькая и хорошенькая девушка не знала и не хотела знать про его существование и была довольна, и счастлива какой то своей отдельной, – верно глупой – но веселой и счастливой жизнию. «Чему она так рада? о чем она думает! Не об уставе военном, не об устройстве рязанских оброчных. О чем она думает? И чем она счастлива?» невольно с любопытством спрашивал себя князь Андрей.
Граф Илья Андреич в 1809 м году жил в Отрадном всё так же как и прежде, то есть принимая почти всю губернию, с охотами, театрами, обедами и музыкантами. Он, как всякому новому гостю, был рад князю Андрею, и почти насильно оставил его ночевать.
В продолжение скучного дня, во время которого князя Андрея занимали старшие хозяева и почетнейшие из гостей, которыми по случаю приближающихся именин был полон дом старого графа, Болконский несколько раз взглядывая на Наташу чему то смеявшуюся и веселившуюся между другой молодой половиной общества, всё спрашивал себя: «о чем она думает? Чему она так рада!».
Вечером оставшись один на новом месте, он долго не мог заснуть. Он читал, потом потушил свечу и опять зажег ее. В комнате с закрытыми изнутри ставнями было жарко. Он досадовал на этого глупого старика (так он называл Ростова), который задержал его, уверяя, что нужные бумаги в городе, не доставлены еще, досадовал на себя за то, что остался.
Князь Андрей встал и подошел к окну, чтобы отворить его. Как только он открыл ставни, лунный свет, как будто он настороже у окна давно ждал этого, ворвался в комнату. Он отворил окно. Ночь была свежая и неподвижно светлая. Перед самым окном был ряд подстриженных дерев, черных с одной и серебристо освещенных с другой стороны. Под деревами была какая то сочная, мокрая, кудрявая растительность с серебристыми кое где листьями и стеблями. Далее за черными деревами была какая то блестящая росой крыша, правее большое кудрявое дерево, с ярко белым стволом и сучьями, и выше его почти полная луна на светлом, почти беззвездном, весеннем небе. Князь Андрей облокотился на окно и глаза его остановились на этом небе.
Комната князя Андрея была в среднем этаже; в комнатах над ним тоже жили и не спали. Он услыхал сверху женский говор.
– Только еще один раз, – сказал сверху женский голос, который сейчас узнал князь Андрей.
– Да когда же ты спать будешь? – отвечал другой голос.
– Я не буду, я не могу спать, что ж мне делать! Ну, последний раз…
Два женские голоса запели какую то музыкальную фразу, составлявшую конец чего то.
– Ах какая прелесть! Ну теперь спать, и конец.
– Ты спи, а я не могу, – отвечал первый голос, приблизившийся к окну. Она видимо совсем высунулась в окно, потому что слышно было шуршанье ее платья и даже дыханье. Всё затихло и окаменело, как и луна и ее свет и тени. Князь Андрей тоже боялся пошевелиться, чтобы не выдать своего невольного присутствия.
– Соня! Соня! – послышался опять первый голос. – Ну как можно спать! Да ты посмотри, что за прелесть! Ах, какая прелесть! Да проснись же, Соня, – сказала она почти со слезами в голосе. – Ведь этакой прелестной ночи никогда, никогда не бывало.
Соня неохотно что то отвечала.
– Нет, ты посмотри, что за луна!… Ах, какая прелесть! Ты поди сюда. Душенька, голубушка, поди сюда. Ну, видишь? Так бы вот села на корточки, вот так, подхватила бы себя под коленки, – туже, как можно туже – натужиться надо. Вот так!
– Полно, ты упадешь.
Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.