Теорема Пуассона

Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.

Формулировка

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли. Пусть <math>p_n</math> — вероятность «успеха», <math>\mu_n</math> — количество «успехов».

Тогда если

1. <math>\lim_{n \to \infty} p_n = 0 ;</math>
2. <math>\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda ; </math>
3. <math>\lambda > 0 ; </math>

то

<math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} . </math>

Доказательство

Используя формулу Бернулли, получим, что

<math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = C_n^m (p_n)^m (1-p_n)^{n-m} = \cfrac {n!} {m!(n-m)!} \bigg( \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} = </math>

<math> = \cfrac {1} {m!} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} \bigg( \lambda + o \bigg( \lambda \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} , </math>

так как

<math>\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda \; \Leftrightarrow \; p_n = \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)</math>

при

<math>\lim_{n \to \infty} \cfrac {o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)} {\cfrac {\lambda} {n}} = 0 . </math>

Но так как

1. <math>\lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} = \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1)} {n} \bigg) \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+2)} {n} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n)} {n} \bigg) = 1 ; </math>
2. <math>\lim_{n \to \infty} (\lambda + o(\lambda))^m = \lambda ^m ; </math>
3. <math>\lim_{n \to \infty} \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} = e^{-\lambda} , </math>

то полученное равенство превращается в

<math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} . </math>

Q.E.D.

Отрывок, характеризующий Теорема Пуассона

Получив известие о болезни Наташи, графиня, еще не совсем здоровая и слабая, с Петей и со всем домом приехала в Москву, и все семейство Ростовых перебралось от Марьи Дмитриевны в свой дом и совсем поселилось в Москве.
Болезнь Наташи была так серьезна, что, к счастию ее и к счастию родных, мысль о всем том, что было причиной ее болезни, ее поступок и разрыв с женихом перешли на второй план. Она была так больна, что нельзя было думать о том, насколько она была виновата во всем случившемся, тогда как она не ела, не спала, заметно худела, кашляла и была, как давали чувствовать доктора, в опасности. Надо было думать только о том, чтобы помочь ей. Доктора ездили к Наташе и отдельно и консилиумами, говорили много по французски, по немецки и по латыни, осуждали один другого, прописывали самые разнообразные лекарства от всех им известных болезней; но ни одному из них не приходила в голову та простая мысль, что им не может быть известна та болезнь, которой страдала Наташа, как не может быть известна ни одна болезнь, которой одержим живой человек: ибо каждый живой человек имеет свои особенности и всегда имеет особенную и свою новую, сложную, неизвестную медицине болезнь, не болезнь легких, печени, кожи, сердца, нервов и т. д., записанных в медицине, но болезнь, состоящую из одного из бесчисленных соединений в страданиях этих органов. Эта простая мысль не могла приходить докторам (так же, как не может прийти колдуну мысль, что он не может колдовать) потому, что их дело жизни состояло в том, чтобы лечить, потому, что за то они получали деньги, и потому, что на это дело они потратили лучшие годы своей жизни. Но главное – мысль эта не могла прийти докторам потому, что они видели, что они несомненно полезны, и были действительно полезны для всех домашних Ростовых. Они были полезны не потому, что заставляли проглатывать больную большей частью вредные вещества (вред этот был мало чувствителен, потому что вредные вещества давались в малом количестве), но они полезны, необходимы, неизбежны были (причина – почему всегда есть и будут мнимые излечители, ворожеи, гомеопаты и аллопаты) потому, что они удовлетворяли нравственной потребности больной и людей, любящих больную. Они удовлетворяли той вечной человеческой потребности надежды на облегчение, потребности сочувствия и деятельности, которые испытывает человек во время страдания. Они удовлетворяли той вечной, человеческой – заметной в ребенке в самой первобытной форме – потребности потереть то место, которое ушиблено. Ребенок убьется и тотчас же бежит в руки матери, няньки для того, чтобы ему поцеловали и потерли больное место, и ему делается легче, когда больное место потрут или поцелуют. Ребенок не верит, чтобы у сильнейших и мудрейших его не было средств помочь его боли. И надежда на облегчение и выражение сочувствия в то время, как мать трет его шишку, утешают его. Доктора для Наташи были полезны тем, что они целовали и терли бобо, уверяя, что сейчас пройдет, ежели кучер съездит в арбатскую аптеку и возьмет на рубль семь гривен порошков и пилюль в хорошенькой коробочке и ежели порошки эти непременно через два часа, никак не больше и не меньше, будет в отварной воде принимать больная.