Уравнение Пуассона

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Пуассона уравнение»)
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: <math>\Delta \varphi = f,</math>

где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа, или лапласиан, а <math>f</math> — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

<math>

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z). </math>

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме <math>\nabla^2</math> и уравнение Пуассона принимает вид:

<math>{\nabla}^2 \varphi = f.</math>

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

<math>\Delta \varphi = 0.</math>

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».





Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

<math>{\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_0},</math>

где <math> \phi</math> — электростатический потенциал (в вольтах), <math> \rho</math> — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а <math> \varepsilon_0</math> — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

<math>{\nabla}^2 \phi = - {4 \pi \rho}</math>

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

<math>\rho = 0,</math>

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

<math>{\nabla}^2 \phi = 0.</math>

Уравнение Пуассона выводится из закона Гаусса и определения статического потенциала:

<math>4 \pi \rho = \nabla \cdot \mathbf{E} = \nabla \cdot ( - \nabla \phi ) = - \nabla \cdot \nabla \phi = - \nabla^2 \phi,</math>
<math>\nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho.</math>

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

<math>\Phi_q =

{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } </math> - то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

<math>\Phi_1 (x,y,z) =

{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } </math> для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

<math>\Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\ </math>

где <math>\delta(x)</math> - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а <math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.</math>

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

<math>\Phi (x,y,z)

= \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta = </math>

<math>= \int

{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } { \rho(\xi,\eta,\zeta) \over \sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta. </math>

  • Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов <math>\rho dV</math>.

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда <math> \rho(r) </math>:

<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } </math>

даётся:

<math> \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

</math>

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением <math>{\nabla}^2 \Phi</math>. Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда <math> { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} </math>, как и можно было ожидать.

См. также

Напишите отзыв о статье "Уравнение Пуассона"

Ссылки

  • [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9