Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера <math>2n\times 2n</math>, и в этом случае его степень равна n.

Примеры

<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.</math>

<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}

0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>

Определение

Пусть <math>\Pi</math> обозначает множество всех разбиений множества <math>\{1, 2,\dots, 2n\}</math> на неупорядоченные пары (всего существует <math>(2n-1)!!</math> таких разбиений). Разбиение <math>\alpha\in \Pi</math> может быть записано

<math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>

где <math>i_k<j_k</math> и <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math>. Пусть

<math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>

обозначает соответствующую перестановку, а <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> — знак перестановки <math>\pi</math>. Нетрудно видеть, что <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> не зависит от выбора <math>\pi</math>.

Пусть <math>A = \{a_{ij}\}</math> обозначает <math>2n\times 2n</math> кососимметричную матрицу. Для разбиения <math>\alpha</math> определим

<math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

<math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера <math>n\times n</math> для нечётного n равен нулю по определению.

Альтернативное определение

Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A = \{a_{ij}\}</math> рассмотрим бивектор:

<math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.</math>

где <math>\{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\}</math> есть стандартный базис в <math>\mathbb R^{2n}</math>. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

<math>\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},</math>

где <math>\omega^{\wedge n}</math> обозначает внешнее произведение n копий <math>\omega</math>.

Свойства

Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A</math> и для произвольной <math>2n\times 2n</math> матрицы <math>B</math>:

• <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>

• <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>

• <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>

• <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>

• Для блок-диагональной матрицы

<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).</math>

• Для произвольной <math>n\times n</math> матрицы <math>M</math>:

<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} =

(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Литература

• Вялый М. Н. [www.mccme.ru/dubna/2004/material.htm Пфаффианы для задач перечисления] // Летняя школа «Современная математика». — 2004.
• Вялый М. Н. [www.mccme.ru/free-books/matprosa.html Пфаффианы или искусство расставлять знаки…] // Математическое Просвещение. — 2005. — № 9.

Отрывок, характеризующий Пфаффиан

– Ax, не говорите! Прошлую зиму она втерлась сюда и такие гадости, такие скверности наговорила графу на всех нас, особенно Sophie, – я повторить не могу, – что граф сделался болен и две недели не хотел нас видеть. В это время, я знаю, что он написал эту гадкую, мерзкую бумагу; но я думала, что эта бумага ничего не значит.
– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!


В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]